在解題過程中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力

在解題過程中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力福建省寧化縣教師進(jìn)修學(xué)校吳景中在解數(shù)學(xué)問題的過程中，大多數(shù)的學(xué)生都希望迅速確定解題方案，得出最佳答案，這是集中思維的表現(xiàn)；學(xué)生在解題時(shí)，首先應(yīng)弄清題目的條件與結(jié)論，在這一過程中會(huì)有大量的聯(lián)想產(chǎn)生出來，這是發(fā)散思維的表現(xiàn)；接下來便會(huì)想出幾種可能的解題方法，這仍表現(xiàn)為發(fā)散思維；然后會(huì)對(duì)一個(gè)或幾個(gè)可能的解題途徑加以檢驗(yàn)，直到確定正確的答案為止，這又表現(xiàn)為集中思維。發(fā)散思維富于聯(lián)想，思路寬廣，善于分解、組合、引伸、拓展和變通，一般來說，數(shù)學(xué)的新概念、新方法乃至新思想往往起源于人們的發(fā)散思維。如何培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力？這是一個(gè)值得我們教育工作者深入思考和探究的問題，以下是本人在教學(xué)實(shí)踐中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力的一些做法。一、對(duì)問題的條件進(jìn)行發(fā)散對(duì)問題的條件進(jìn)行發(fā)散是指問題的結(jié)論確定以后，盡可能變化已知條件，從不同的解度，用不同的方法來解決問題。這樣，一方面可以充分揭示數(shù)學(xué)問題的層次，另一方面，又可以充分暴露學(xué)生自身的思維層次，使學(xué)生從中吸取知識(shí)的營養(yǎng)。例1在四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，現(xiàn)已有條件AB∥CD，再加上條件（填一個(gè)即可），就可確定四邊形ABCD一定是平行四邊形。條件的給法可以有多種：⑴AB＝CD⑵AD∥BC⑶∠CAD＝∠ACB⑷∠ADB＝∠DBC⑸AC、BD互相平分⑹△ABO≌△CDO⑺△AOD≌△COB.通過這樣的訓(xùn)練，學(xué)生能夠?qū)W會(huì)根據(jù)所學(xué)知識(shí)自己出題自己解答，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的輕松感和快樂感，即使學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較差的學(xué)生，也會(huì)覺得自己可以試一試。二、對(duì)問題的結(jié)論進(jìn)行發(fā)散與已知條件的發(fā)散相反，結(jié)論的發(fā)散是確定了已知條件后，沒有固定的結(jié)論，讓學(xué)生盡可能多地確定未知元素，并去求解這些未知元素。這個(gè)過程是充分展示學(xué)生思維的廣度和深度的過程。例2如圖，已知⊙O內(nèi)切于四邊形ABCD，AB＝AD，連接AC、BD，圖中除A、B、C、D、O五個(gè)字母外，不再標(biāo)注其他字母，不再添加任何輔助線。由這些條件可推導(dǎo)出哪些結(jié)論？在解題過程中，由于學(xué)生的基礎(chǔ)不同，因而得出的結(jié)論也各異，反映出學(xué)生思維水平的不同，綜合學(xué)生得出的結(jié)論，有如下幾種情況：⑴A、O、C三點(diǎn)共線⑵∠ABD＝∠ADB⑶∠ABC＝∠ADC⑷∠CBD＝∠CDB⑸CB＝CD⑹AC平分∠BAD⑺CA平分∠BCD⑻AC垂直平分BD⑼∠BAC＋∠ABD＝90°⑽∠DAC＋∠ADB＝90°⑾∠BCA＋∠DBC＝90°⑿∠DCA＋∠BDC＝90°⒀S四邊形ABCD＝AC·BD⒁S△ABC＝S△ADC三、對(duì)圖形進(jìn)行發(fā)散圖形的發(fā)散是指通過改變圖形中某些要素的位置，從而產(chǎn)生一系列新的圖形。這樣，不僅可以達(dá)到舉一反三，觸類旁通的目的，而且還可以通過圖形的演變找出特殊與一般的關(guān)系。例3點(diǎn)A是⊙O直徑上的一點(diǎn)，OB是和這條直徑垂直的半徑，BA和⊙O相交于另一點(diǎn)C，過點(diǎn)C的切線和OA的延長線相交于點(diǎn)D，如圖①。求證：DA＝DC。引伸：⑴如圖②，將直線DA向上平移至與半徑OB垂直相交于點(diǎn)H時(shí)，也有DA＝DC。⑵如圖③，將直線DA向上平移至⊙O外與半徑OB的延長線垂直相交于點(diǎn)H時(shí)，也有DA＝DC。⑶如果將直線DA向上平移至半徑OB外端B點(diǎn)處（點(diǎn)B與點(diǎn)A重合）時(shí)，仍然還有DA＝DC。由此可見，通過將直線DA平行移動(dòng)得出一系列新的圖形后，題目的結(jié)論仍然成立。四、對(duì)解法進(jìn)行發(fā)散解法的發(fā)散即一題多解，要求學(xué)生會(huì)靈活運(yùn)用題目的已知條件進(jìn)行解題。例4某校2013年秋季七年級(jí)和高一招生總數(shù)為500人，計(jì)劃2014年秋季七年級(jí)招生人數(shù)增加20﹪，高一招生人數(shù)增加15﹪，這樣2014年秋季七年級(jí)和高一招生總?cè)藬?shù)將比2013年增加18﹪.求該校2014年秋季七年級(jí)和高一計(jì)劃招生數(shù)各為多少人？解法一：設(shè)2013年秋季七年級(jí)招生數(shù)為x人，高一招生數(shù)為y人。根據(jù)題意，得解得∴2014年秋季七年級(jí)招生數(shù)為：x（1+20%）＝360（人），高一招生數(shù)為：y（1+15%）＝230（人）．答：該校2014年秋季七年級(jí)和高一招生數(shù)分別為360人和230人．解法二：設(shè)2014年秋季七年級(jí)招生數(shù)為x人，高一招生數(shù)為y人。根據(jù)題意，得解得答：該校2014年秋季七年級(jí)和高一招生數(shù)分別為360人和230人．解法三：設(shè)2014年秋季七年級(jí)招生數(shù)比2013年增加x人，高一年級(jí)招生數(shù)比2013年增加y人。根據(jù)題意，得解得∴2014年秋季七年級(jí)招生數(shù)為：+x＝360(人)2014年秋季高一年級(jí)招生數(shù)為：+y＝230(人)答：該校2014年秋季七年級(jí)和高一招生數(shù)分別為360人和230人。一題多解已被普遍認(rèn)為是開拓思路，發(fā)展智力，培養(yǎng)發(fā)散思維