FE-Ch013變分原理與里茲法課件

§1.3變分原理與里茲法“最速落徑問題”---質(zhì)量為m的小環(huán)從A處自由滑下，試選擇一條曲線使所需時(shí)間最短。（不計(jì)摩擦）ABXY設(shè)路徑為y=y（x）所需時(shí)間ay稱T為y（x）的泛函，y（x）為自變函數(shù)。即以函數(shù)作自變量以積分形式定義的函數(shù)為泛函。一.變分的一些基本概念§1.3變分原理與里茲法“最速落徑問題”---質(zhì)量為m的小1XAY變分運(yùn)算在形式上與微分運(yùn)算相同。y=y（x）x+dxdyx稱為y（x）的變分，它是一個無窮小的任意函數(shù)。微分與變分運(yùn)算次序可以交換。積分與變分運(yùn)算次序也可以交換。XAY變分運(yùn)算在形式上與微分運(yùn)算相同。y=y（x）x+dxd2二.函數(shù)的定義和泛函的定義1.函數(shù)的定義：若對于自變量x域中的每一個值，y有一值與之對應(yīng)，或數(shù)y對應(yīng)于數(shù)x的關(guān)系成立。則稱變量y是變量x的函數(shù)，即：y=y(x)。二.函數(shù)的定義和泛函的定義1.函數(shù)的定義：32.泛函的定義：若對于某一類函數(shù){y(x)}中的每一函數(shù)y(x)，有一值與之對應(yīng)，或數(shù)對應(yīng)于函數(shù)y(x)的關(guān)系成立。則稱變量是函數(shù)y(x)的泛函，即：

=(y(x))。2.泛函的定義：43.微分和變分微分:x的增量△x是指某兩值之差△x=x-x1.如果x的微分用dx表示，則dx也是增量的一種，即當(dāng)這種增量很小很小時(shí)，dx=△x。3.微分和變分5變分:y(x)的增量在它很小時(shí)稱為變分，用y(x)或y表示，y(x)是指y(x)和與它相接近的y1(x)之差，即y(x)=y(x)-y1(x);這里：y(x)也是x的函數(shù)，只是y(x)在指定的x域中都是微量。（假定y(x)在接近y1(x)的一類函數(shù)中是任意改變的）。變分:y(x)的增量在它很小時(shí)稱為變分，用y(x)或y64.函數(shù)的微分和泛函的變分函數(shù)的微分:函數(shù)的增量△y=y(x+△x)-y(x)可以展開為線性項(xiàng)和非線性項(xiàng)△y=A(x)△x+(x,△x)△x，其中A(x)和△x無關(guān)，(x,△x)則和△x有關(guān)，而且△x0時(shí)，(x,△x)0，稱y(x)是可微的，其線性部分稱為函數(shù)的微分。即dy=A(x)△x=y’(x)△x。A(x)=y’(x)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而且4.函數(shù)的微分和泛函的變分7函數(shù)的微分:設(shè)為一小參數(shù)，并將y(x+△x)對求導(dǎo)數(shù)，即得：當(dāng)趨近于零時(shí)證明y(x+△x)在=0處對的導(dǎo)數(shù)就等于y(x）在x處的微分。這個定義與拉格朗日處理變分的定義是相似的。函數(shù)的微分:設(shè)為一小參數(shù)，并將y(x+△x)對求導(dǎo)數(shù)，8泛函的變分:與函數(shù)的微分類似，泛函變分的定義也有兩個。

=[y(x)+y(x)]-[y(x)]=L[y(x)，y(x)]上式中L[y(x)，y(x)]就叫做泛函的變分，用表示。泛函的變分是泛函增量的主部，而且這個主部對于y(x)來說是線性的。泛函的變分:與函數(shù)的微分類似，泛函變分的定義也有兩個。9泛函的變分:泛函變分是[y(x)+y(x)]對的導(dǎo)數(shù)在=0時(shí)的值，且拉格朗日的泛函變分定義為：泛函的變分:泛函變分是[y(x)+y(x)]對105.極大極小問題如果函數(shù)y(x)在x=x0的附近的任意點(diǎn)上的值都不大（不小）于y(x0)，即dy=y(x)-y(x0)0(0)時(shí)，在x=x0上達(dá)到極大(極小)，在x=x0上，有:

5.極大極小問題11泛函極大極小泛函[y(x)]也有相類似的定義。如果泛函[y(x)]在任何一條與y=y0(x)

接近的曲線上的值不大（不?。┯赱y0(x)]，即：

=[y(x)]-[y0(x)]

0(或0)時(shí)，則稱泛函[y(x)]在曲線y=y0(x)上達(dá)到極大值(或極小值)，而且在y=y0(x)上有:泛函極大極小12說明：泛函的極大(或極小)值，主要是說泛函的相對的極大

(或極小)值，也就是說，從互相接近的許多曲線來研究一個最大(或最小)的泛函值，但是曲線的接近，有不同的接近度。因此，在泛函的極大極小定義里，還應(yīng)該說明這些曲線有幾階的接近度。說明：泛函的極大(或極小)值，主要是說泛函的相對的極大(或13FE-Ch013變分原理與里茲法課件14強(qiáng)變分和強(qiáng)極大如果對于與y=y0(x)的接近度為零階的一切曲線而言，即對于y(x)-y0(x)非常小，但對于y’(x)-y’0(x)是否小毫無規(guī)定，泛函在曲線y=y0(x)上達(dá)到極大(或極小)值，則就把這類變分叫強(qiáng)變分。這樣達(dá)到的極大(或極小)值叫做強(qiáng)極大(強(qiáng)極小)，或強(qiáng)變分的極大(或極小).強(qiáng)變分和強(qiáng)極大15弱變分和弱極大如果只對于與y=y0(x)有一階接近度的曲線y=y(x)而言，或者只對于那些不僅在縱坐標(biāo)間而且切線方向間都接近的曲線而言，泛函在曲線y=y0(x)上達(dá)到極大(或極小)值，則就稱這種變分為弱變分。這樣達(dá)到的極大值(或極小值)叫做弱極大(弱極小)，或弱變分的極大(或極小).弱變分和弱極大166.變分法的基本預(yù)備定理變分法的基本預(yù)備定理

如果函數(shù)F(x)在線段(x1,x2)上連續(xù),且對于只滿足某些一般條件的任意選定的函數(shù)y(x)，有:6.變分法的基本預(yù)備定理17則在線段上(x1,x2)，有:F(x)=0y(x)的一般條件為：(1)一階或若干階可微分；(2)在線段(x1,x2)的端點(diǎn)處為0；(3)y(x)或y(x)及y’(x)等。變分法的基本預(yù)備定理：如果函數(shù)F(x)在線段(x1,x2)上連續(xù),且對于只滿足某些一般條件的任意選定的函數(shù)y(x)，有:則在線段上(x1,x2)，有:F(x)=0變分法的18（1）從物理問題上建立泛函及其條件；（2）通過泛函變分，利用變分法基本預(yù)備定理求得歐拉方程；（3）求解歐拉方程，這是微分方程求解問題。從泛函變分極值問題上可以看到變分法的幾個主要步驟：（1）從物理問題上建立泛函及其條件；（2）通過泛函變分，利用19由于ai的任意性，所以而對于等效積分的“弱”形式由于ai的任意性，所以而對于等效積分的“弱”形式20如果微分方程具有線性、自伴隨的性質(zhì)，則：不僅可以建立它的等效積分形式，并可利用加權(quán)余量法求其近似解；還可建立與之相等效的變分原理，基于它的另一種近似求解方法——Ritz法。1.線性、自伴隨微分算子二、里茲法和伽遼金法如果微分方程具有線性、自伴隨的性質(zhì)，則：不僅可以建立它的21微分方程in為微分算子若具有性質(zhì)：則稱為線性微分算子。線性、自伴隨微分方程的定義：微分方程in為微分算子若具有性質(zhì)：則稱為線性微分算子。22對上式分部積分，直至u的導(dǎo)數(shù)消失，得：邊界項(xiàng)若內(nèi)積后，求積；任意函數(shù)為的伴隨算子。稱若則稱算子是自伴隨。對上式分部積分，直至u的導(dǎo)數(shù)消失，得：邊界項(xiàng)若內(nèi)積后，求積232.泛函的構(gòu)造Galerkin（伽遼金）格式因?yàn)樗阕邮蔷€性、自伴隨的，所以：2.泛函的構(gòu)造Galerkin（伽遼金）格式因?yàn)樗阕邮蔷€性24FE-Ch013變分原理與里茲法課件25整理得到：微分方程的等效積分形式：整理得到：微分方程的等效積分形式：26某些問題的物理本質(zhì)往往能夠以變分原理的形式直接敘述出來。例如，彈性力學(xué)中的最小位能原理、粘性流體中最小能力耗散原理，稱為自然變分原理。3.自然變分原理某些問題的物理本質(zhì)往往能夠以變分原理的例如，彈性力學(xué)中的最小27對這類問題：是未知場函數(shù)，為特定算子。包含及的1至m階導(dǎo)數(shù)。連續(xù)介質(zhì)問題的解：使泛函取極值（或駐值）。存在泛函是一個標(biāo)量即：(這種泛函我們稱為單變量泛函，當(dāng)然可以有多變量)對這類問題：是未知場函數(shù)，為特定算子。包含及28體系總位能應(yīng)變能外力勢能例：最小位能原理體系總位能應(yīng)變能外力勢能例：最小位能原理29其中：近似解：其中：近似解：30其中：待定參數(shù)向量（未知）試探函數(shù)矩陣（事先選定）對三維問題：其中：待定參數(shù)向量（未知）試探函數(shù)矩陣（事先選定）對三維問題31泛函：變分：相互獨(dú)立，所以，或泛函：變分：相互獨(dú)立，所以，或32由： 得到矩陣形式其中共有3n

個方程，若為完備的函數(shù)系列則，時(shí)，收斂于精確解，若n為有限項(xiàng)，則為近似解。上述方法為Ritz法由： 得到矩陣形式332）將代入Ritz（里茲）法——基于變分原理的近似解法1.求解步驟：1）假設(shè)近似解：為待定參數(shù)，滿足強(qiáng)制邊界條件。泛函的極值問題（求函數(shù)u），轉(zhuǎn)化為求多元（）函數(shù)的極值問題。2）將代入Ritz（里茲）法——基于變分原理的近似解法343）求解線性代數(shù)方程組u的近似解3）求解線性代數(shù)方程組u的近似解352.解的收斂性1）連續(xù)性要求滿足階連續(xù)性2）完備性要求取自完備的函數(shù)序列2.解的收斂性1）連續(xù)性要求滿足階連續(xù)性363.特點(diǎn)1)近似解對全域而言2)試探函數(shù)要求滿足一定的邊界條件，近似解的精度與試探函數(shù)的選擇有密切關(guān)系。3)待定系數(shù)任意，不表示特定的物理意義。4)如果我們對問題了解比較清楚，能找到合適的試函數(shù)，可以說事半功倍，但缺乏一般性。3.特點(diǎn)1)近似解對全域而言2)試探函數(shù)要求滿足一定的邊374.討論：1）經(jīng)典意義上的泛函變分理論只適應(yīng)于線性自伴隨微分方程。2）收斂性有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)（泛函分析）。3）事先滿足強(qiáng)制邊界條件，則解有明確的上下界性質(zhì)。如不事先滿足，需要進(jìn)行處理（約束變分原理）。4.討論：1）經(jīng)典意義上的泛函變分理論只適應(yīng)于線性38但是未知函數(shù)往往還需要服從一些附加條件，1.修正（約束）變分原理建立了自然變分原理后，問題的解為泛函取駐值。約束條件我們把這些變分原理稱之為“具有附加條件的變分原理”。但是未知函數(shù)往往還需要服從一些附加條件，1.修正（約束39可以將附加條件引入泛函，重新構(gòu)造一個“修正泛函”，把問題轉(zhuǎn)化為求修正泛函的駐值問題。常用方法：Lagrange乘子法，罰函數(shù)法?？梢詫⒏郊訔l件引入泛函，重新構(gòu)造一個“修正泛函”，把40原泛函的約束變分問題，轉(zhuǎn)化為修正泛函*的無約束變分，代價(jià)是修正泛函增加了附加未知函數(shù)。2.Lagrange乘子法(乘子法)修正泛函*：原泛函的約束變分問題，轉(zhuǎn)化為修正泛函*的2.Lagra41單變量泛函雙變量修正泛函.近似解：，線性修正泛函的變分：單變量泛函雙變量修正泛函.近似解：42其中：可得：其中：可得：43即的系數(shù)陣為0。所以方程中不含項(xiàng)，對線性問題，得線性方程組；因?yàn)椋赫淼玫郊吹南禂?shù)陣為0。所以方44討論（放松約束條件的代價(jià)）：1）很明顯方程的階數(shù)增加了。2）方程的系數(shù)矩陣主元（對角元素）出現(xiàn)零元素，對求解方程增加了困難。（不能用一般的消元法）3）一般的物理問題中得到的自然變分問題是一極值問題。而對修正的泛函，由于附加項(xiàng)的積分性質(zhì)不清，一般為駐值問題。（不再有極值性質(zhì)）4）利用乘子法，彈性力學(xué)各種變分原理的轉(zhuǎn)換。討論（放松約束條件的代價(jià)）：453.罰函數(shù)法修正泛函其中稱為罰數(shù)正定的，對為極小值問題，取正數(shù)；值越大，約束條件滿足的越好。(近似性越好)這種方法好處很明顯，不增加任何未知函數(shù)。(是事先給定的)3.罰函數(shù)法修正泛函其中稱為罰數(shù)正定的，對為極小值問題，46例：極值問題（函數(shù)極值問題）約束條件，所以：解方程，得：例：極值問題（函數(shù)極值問題）約束條件，所以：解方程，得：47上述方程可寫為矩陣形式分析方程：來自原來的泛函，

來自約束條件。上述方程可寫為矩陣形式分析方程：來自原來的泛函，來自約束條48而，必須是奇異，才有非零解。討論：1）此方法的優(yōu)點(diǎn)是不增加最后的線性方程組階數(shù)2）為奇異陣相對可以忽略。而，必須是奇異，才有非零解。討論：1）此方法49從實(shí)例中可見，為奇異的。實(shí)例計(jì)算中需證明的奇異性。從實(shí)例中可見，為奇異的。503）的取值問題 太小，約束條件滿足較差。 太大，系數(shù)矩陣接近奇異，方程組病態(tài)。取值要合適。原則上要使的取值引起的不滿足約束條件的誤差。與前一項(xiàng)計(jì)算中的誤差為同一量級為最好。一般取1012——1015。4）在有限元法中常用于引入位移邊界條件。3）的取值問題51小結(jié)有限單元法的理論基礎(chǔ)——加權(quán)余量法和變分原理

本章重點(diǎn)和應(yīng)掌握的內(nèi)容微分方程的等效積分形式及其“弱”形式的實(shí)質(zhì)和構(gòu)造方法，任意函數(shù)和場函數(shù)應(yīng)滿足的條件。不同形式加權(quán)余量法中權(quán)函數(shù)的形式和近似解的求解步驟，以及Galerkin法的特點(diǎn)。小結(jié)本章重點(diǎn)和應(yīng)掌握的內(nèi)容52線性自伴隨微分方程的變分原理的構(gòu)造方法和泛函的性質(zhì)，以及自然邊界條件和強(qiáng)制邊界條件的區(qū)別。經(jīng)典Ritz方法的求解步驟、收斂條件及其局限性線性自伴隨微分方程的變分原理的構(gòu)造方法和泛函的性53兩種形式虛功原理（虛位移原理和虛應(yīng)力原理）的實(shí)質(zhì)和構(gòu)造方法。從虛功原理導(dǎo)出最小位能原理和最小余能原理的途徑，各自的性質(zhì)以及場函數(shù)事先應(yīng)滿足的條件兩種形式虛功原理（虛位移原理和虛應(yīng)力原理）的實(shí)質(zhì)和構(gòu)造方法54等效積分形式等效積分“弱”形式泛函和變分原理強(qiáng)制邊界條件關(guān)鍵概念加權(quán)余量法Galerkin方法線性自伴隨算子自然邊界條件泛函的駐值和極值Ritz方法虛位移原理虛應(yīng)力原理最小位能原理最小余能原理等效積分形式等效積分“弱”形式泛函和變分原理551.已知一個數(shù)學(xué)微分方程,如何建立它的等效積分形式?如何證明二者是等效的?復(fù)習(xí)題3.不同形式的加權(quán)余量法之間的區(qū)別何在?除書中已列舉的幾種方法外,你還能提出其它形式的加權(quán)余量法嗎?如能,分析新方法有什么特點(diǎn).2.等效積分形式和等效積分“弱”形式的區(qū)別何在?為什么后者在數(shù)值分析中得到更多的應(yīng)用?1.已知一個數(shù)學(xué)微分方程,如何建立它的等效積分形式?復(fù)習(xí)題3564.什么是加權(quán)余量法的Galerkin方法,它有什么特點(diǎn)5.如何識別一個微分算子是線性自伴隨的?識別它的意義何在?6.如何建立與自伴隨微分方程相等效的泛函和變