線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱

線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱一.重要概念、定理和結(jié)果矩陣加法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置，矩陣乘法的定義。矩陣運(yùn)算法則：加法的交換、結(jié)合律；數(shù)乘和矩陣乘法的結(jié)合律，及其與加法的分配律；^At}=A，(A+B>=At+Bt，(aA)t=aAt，(AB>=BtAt；(a-i)1"A,(aA)-1=1A-i(ar0),(At)-1=(A一)，(AB)-1=B-1A-1.a矩陣表達(dá)式的運(yùn)算、矩陣等式的變換：正確運(yùn)用矩陣運(yùn)算法則(尤其注意矩陣乘法沒(méi)有交換律)去括號(hào)或“因式分解”；對(duì)可逆的矩陣因子，采用左(右)乘其逆陣的方法消去；運(yùn)用單位陣技巧(在證明某些與矩陣乘積有關(guān)的等式或不等式時(shí)，可考慮左乘或右乘單位陣/,再根據(jù)實(shí)際需要將I改寫為某個(gè)矩陣與它的逆矩陣之積)。3.轉(zhuǎn)置伴隨陣adjA(或A*)：adjA□[AJ，A^=(-1)+仁.基本等式:A(adjA)=(adjA)A=(detA)I.由基本等式可得：detA-det(adjA)=(detA)?A可逆oadjA可逆，adjA=(detA)A-1,(adjA)-1=—,A-1=■宓*.j detAdetA4.可逆陣：〃階方陣A4.可逆陣：〃階方陣A可逆(非退化，非奇異，滿秩)o3B，s.t.AB=IorBA=I.odetAr0or(A)=noA可經(jīng)行(列)初等變換化為單位陣.oA的列向量(行向量)組線性無(wú)關(guān)onXn齊次線性方程組Ax=0只有零解.onXn非齊次線性方程組Ax=b有唯一解.oA的所有特征值非零A-1的求法：(1)作矩陣":I]，經(jīng)行初等變換變?yōu)?2)A-1adjA

detA重要結(jié)論：同階方陣 =I重要結(jié)論：同階方陣 =InA,B均可逆，A=B-i.5.mxn矩陣A等價(jià)于Bo3可逆陣R，C，s.tA=RBC(R為若干個(gè)行初等陣之積，C為若干個(gè)列初等陣之積)，記作A~B.任何mx任何mxn矩陣A?N=IOOo其中r=r(A).重要結(jié)論：等價(jià)矩陣的秩相等.于是當(dāng)A=RBC時(shí)(其中R,C為可逆陣)，則有r(A)=r(B).行列式的定義，求三階行列式的值的對(duì)角線法則，求行列式的值：按任一行(列)展開(kāi)：detA=l^aA(i=1,2,…,n),detA=l^aA(j=1,2,…,n)ijij ijij三角行列式等于主對(duì)角元之積;j=1 i=1三角行列式等于主對(duì)角元之積;對(duì)換兩列(行)，行列式值反號(hào)；某列(或行)元的公因子可提出行列式號(hào);兩列(行)元對(duì)應(yīng)成比例，行列式為0；拆項(xiàng)性質(zhì)；等值變形法則：將某一行(列)的常數(shù)倍加到另一行(列)上去，行列式的值不變。det以A=以ndetAdet(T=)det重要等式：det(AB)=(detA)(detB)(或?qū)懽鱅"=AB).detA-1=1/detA(或?qū)懽鰽-1=二)A計(jì)算行列式最常用的方法:用行或列的等值變形法則，在一行(或一列)形成盡可能多的0,按此行(列)展開(kāi)從而降階.特別注意運(yùn)用行等和或列等和的特點(diǎn).矩陣的秩r(A)=矩陣中非零子式的最高階數(shù)=列向量組的秩即列向量最大線性無(wú)關(guān)組中所含的向量個(gè)數(shù).=行向量組的秩即行向量最大線性無(wú)關(guān)組中所含的向量個(gè)數(shù).設(shè)A、B是兩個(gè)任意的mXn矩陣，a是不等于零的數(shù)，則r(AT)=r(A),r(aA)=r(A),r(A+B)<r(A)+r(B)設(shè)A是mXn矩陣，B是nXp矩陣，貝。r(A)+r(B)-n<r(AB)<min(r(A),r(B)求矩陣的秩的方法：用行初等變換變?yōu)殡A梯矩陣，非0行個(gè)數(shù)即為矩陣的秩。向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)；一個(gè)向量由(依)其它向量線性表出；向量組的最大線性無(wú)關(guān)組；向量組的秩.重要結(jié)果：向量組V,V，…,V(k>2)線性相關(guān)o其中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表出.TOC\o"1-5"\h\z1 2k設(shè)V,V，…,V線性無(wú)關(guān)，而V,V，…,V,u線性相關(guān)，則u可由V,V，…,V線性表出，且表示式唯一;12k 12k 12k向量組V,V,...,V線性無(wú)關(guān)o矩陣［VV...V］的秩=向量的個(gè)數(shù)k；1 2k 12k向量組V,V,...,V線性相關(guān)o矩陣［VV...V］的秩<向量的個(gè)數(shù)k.1 2k 12k第一組向量可由第二組向量線性表出，則第一組向量的秩W第二組向量的秩等價(jià)的兩個(gè)向量組，它們的秩相等.解決問(wèn)題的基本方法：將矩陣［V1V2...Vk］用行變換變?yōu)殡A梯矩陣：非零行個(gè)數(shù)為向量組的秩及最大線性無(wú)關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)；比較秩與向量的個(gè)數(shù)判斷是否線性相關(guān)；各非零行首個(gè)非零元所在列為一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。當(dāng)[七v2...匕]為方陣(即k個(gè)k維向量)：可用行列式是否為零來(lái)判斷k個(gè)向量是否線性相關(guān)。向量空間、子空間，向量空間的基(即為線性空間的最大無(wú)關(guān)組)——(1)b1,b,...bk線性無(wú)關(guān).(2)空間中的任一向量可由b1,b2，???bk線性表出.線性空間的維一一組成基的向量個(gè)數(shù).幾個(gè)常用的線性空間：R2={3,工)Tx,xeR},e=(1,0)t,e=(0,1)T為它的一組基(自然基)；12 12 1 2R3={(X,x,x)T|x,x,xeR},e=(1,0,0)T,e=(0,1,0)T,e=(0,0,1)T為它的一組基(自然基)；1 2 3 11 2 3 1 2 3重要例子：n元齊次線性方程組Ax=0的全體解(向量)的集合是Rn的一個(gè)子空間一一解空間N(A),解空間的任意一組基稱為齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系mXn矩陣A的列向量生成Rm的一個(gè)子空間——A的列空間R(A),Ax=b有解obeR(A)。維數(shù)公式：dimN(A)+dimR(A)=n.如何求dim(span(b19b29...bj?dim(span(b,b,...b))=b,b,...b的最大線性無(wú)關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)。1 2k 1 2k齊次線性方程組解的定理：mxn齊次線性方程組Ax=0的解集非空，且解空間N(A)是n-r(A)維的.即rU)=n時(shí)，只有平凡解(零解)x=0.r(A)<n時(shí)，方程組有無(wú)窮多個(gè)解(包括零解和無(wú)窮多個(gè)非零解).此時(shí)：方程組Ax=0有n—r(A)個(gè)自由未知數(shù)；方程組=0的基礎(chǔ)解系中有n—r(A)個(gè)解向量；方程組=0的通解中有n—r(A)個(gè)任意常數(shù).特別地，當(dāng)m=n時(shí)，有：當(dāng)detA。0時(shí)，只有平凡解(零解)x=0.當(dāng)detA=0時(shí)，有無(wú)窮多個(gè)解(包括零解和無(wú)窮多個(gè)非零解).11.非齊次線性方程組相容性定理：mxn非齊次線性方程組Ax=b有解or(A)=r(A'.b)，具體地有:'當(dāng)r(A)<r(A:b)時(shí),無(wú)解;Ax=b: (r(A)<n時(shí)，無(wú)窮多解；當(dāng)r(A)=r(A:b)時(shí),唯一解或無(wú)窮多解 \[ [r(A)=n時(shí),唯一解當(dāng)有無(wú)窮多解時(shí)，通解的形式是:x=x+x，其中x是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的通解，x是ghp h pAx=b的一個(gè)特解，通解中含n—r(A)個(gè)任意常數(shù).特別地，當(dāng)m=n時(shí)，有：當(dāng)detA。0時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)detA=0時(shí)，方程組有無(wú)窮多解或無(wú)解:

（當(dāng)r（4）=rSb）時(shí)，無(wú)窮多解；當(dāng)r（A）＜r3b）時(shí)，無(wú)解）.12.線性方程組的解法:（1） mxn齊次線性方程組Ax=0求解的一般方法：對(duì)矩陣A作行初等變換變?yōu)樘菥仃?（2） mxn非齊次線性方程組Ax=b求解的一般方法：對(duì)增廣矩陣La^］作行初等變換變?yōu)樘菥仃?（3）detA豐0時(shí),nxn非齊次線性方程組=b求唯一解的方法：Cramer法則.對(duì)增廣矩陣"％］作行初等變換變?yōu)椋?:x］，則x=A-ib.（系數(shù)矩陣A中含有參數(shù)的nxn非齊次線性方程組，先討論系數(shù)行列式為零的條件比較好）13.特征值與特征向量：氣是方陣A的特征值om非零向量x，s.t.Ax=X0x（x稱為屬于氣的特征向量）.odet（A—人I）=0,即人是特征方程det（A-人I）=0的根.00o齊次線性方程組（A-人01）x=0有非零解（此非零解即為屬于氣的特征向量）&=tr（A）,IH人=det（A）,a有特征值0oa為不可逆陣（退化陣，降秩陣）i ii=1 i=1給定方陣A求所有特征值：解一元n次方程|A-人I|=0；已知特征值氣，求屬于氣的特征向量：解齊次線性方程組（A-人0I）x=0.已知特征向量x，求屬于它的特征值：根據(jù)定義Ax=人x確定人.00二.解決問(wèn)題的主要方法行初等變換：用行初等變換可以解決以下問(wèn)題（1） 討論線性方程組的解的情況并在有解時(shí)求出解一一用行初等變換把系數(shù)矩陣（齊次）或增廣陣（非齊次）化為梯矩陣.（2） 增廣矩陣法求逆矩陣一一用行初等變換把增廣陣［A:I］變換為［I:A-1■.⑶求矩陣或向量組的一一用行初等變換把相應(yīng)矩陣化為梯矩陣.（4）求向量組的最大線性無(wú)關(guān)組并求出其它向量用最大線性無(wú)關(guān)組線性表出的表達(dá)式一用行初等變換把相應(yīng)矩陣化為梯矩陣.建立線性方程組并求解：x.】:=V的解：x.】:xnxn（1）求n維空間Rn中的向量v對(duì)一組基b,...,b的坐標(biāo)，即求線性表示式v=人b+人b+..?+人b的系1n 11 22=lb..?bI1v.數(shù)人,人,...,人 求非齊次線性方程組lb..=lb..?bI1v.1 2n 1n（2）討論向量組a...a線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)——是否存在不全為零的人...人使人a+...+人a=0,1k 1k11 kk=0是否有非零解=0是否有非零解（即按線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)的定義討論），因此只需即討論齊次線性方程組a,,七］即討論齊次線性方程組a,,七人「】k討論系數(shù)矩陣fa」.%^的秩是否小于k.

⑶求矩陣A的屬于特征值X0的特征向量一求齊次線性方程組（Al01k=。的非零解判斷行列式是否為0,何時(shí)為零：(1)(1)（2）（3）判斷n階方陣是否可逆;（（3）判斷n階方陣是否可逆;（4）判斷n個(gè)n維向量是否線性相關(guān);（5）求矩陣的特征向量。400210400210-101例1設(shè)adjA=-1=2(I-A1-)1-一1 _ 、 .B=2(I-adjA)-1=-4(adjA-21)-1=-42「200一-1200「-200-2-10=-41-10=-440-10-110204—-12,detA>0,A-iBA=A-iB+21,求B.解：A-1BA-A-1B=21nA-1B(A-1)=2IB=2A(A-1)-1=2[(A-1)A1det(adjA)=4,detA-det(adjA)=(detA)3ndetA=A-1=adjA=-adjAdetA2'ax1+x2+x3=1,例2a,b取什么值時(shí)，方程組＜例2a,b取什么值時(shí)，方程組＜2x+x+bx=3,無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解?12 32x+x+3bx=112 3在有無(wú)窮多解時(shí)求出其通解。a22解：detA=1

b

3b1b=2b(a-2)2ba111-「a111--當(dāng)b=0時(shí)，A=2103r?(-1)23-21032101000-2方程組有唯一解。,方程組無(wú)解。當(dāng)a=2時(shí)，當(dāng)a。2且b。0時(shí)，2111-「21 1 1「「21 11-/1、「211121b3r12~1)00b-12頃T)00b-12r3(2)?001-3213b1^13(-1)003b-1000 2-6)0003b-1A=1。時(shí)，方程組無(wú)解。J

~1~~3~4"1例3 已知向量a=3,及向量6=2均為矩陣0=10-111V1 -1的特征向量,~4U1~~1~~7~解:⑴a為a的特征向量，故存在、使Aa=%a,即10-13=X]3nvV1-111試求：（1）〃，v的值；（2）A的全部特征值。28+3〃+1=7入7—\=3X17v+3—1=人1解得