自動控制-第3章課件

第三章線性系統(tǒng)的時域分析法3.1

動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標3.2

一階系統(tǒng)的時域分析3.3

二階系統(tǒng)的時域分析3.4

高階系統(tǒng)的時域分析3.5

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.6

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差3.7

基于MATLAB的線性系統(tǒng)時域分析小結3.1動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標3.1.1典型輸入信號

1.階躍函數(shù)階躍函數(shù)(見圖

(a))的時域表達式為(3.1)式中,R為常數(shù),當R＝1時,稱r(t)=1(t)為單位階躍函數(shù)。2.斜坡函數(shù)(速度函數(shù))斜坡函數(shù),也稱速度函數(shù)(見圖

(b))，其時域表達式為(3.2)式中,R為常數(shù)。當R＝1時,稱r(t)=t為單位斜坡函數(shù)。因為dr(t)/dt=R,所以斜坡函數(shù)代表勻速變化的信號。3.加速度函數(shù)加速度函數(shù)(見圖

(c))的時域表達式為(3.3)式中，R為常數(shù)。當R＝1時,稱r(t)=t2/2為單位加速度函數(shù)。因為d2r(t)/dt2=R,所以加速度函數(shù)代表勻加速變化的信號。4.脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)(見圖

(d))的時域表達式為(3.4)式中,h稱為脈沖寬度,脈沖的面積為1。若對脈沖的寬度取趨于零的極限,則有(3.5)及(3.6)稱此函數(shù)為理想脈沖函數(shù),又稱δ函數(shù)(見圖3-1(e))。5.正弦函數(shù)正弦函數(shù)(見圖3-1(f))的時域表達式為(3.7)式中,A為振幅,ω為角頻率。單位脈沖對時間的積分為單位階越函數(shù),單位脈沖函數(shù)具有篩選特性單位脈沖函數(shù)拉氏變換等于1圖3-1典型輸入信號3.1.2動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程

1.動態(tài)過程動態(tài)過程又稱過渡過程或瞬態(tài)過程,指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下,系統(tǒng)輸出量從開始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。由于實際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦以及其他一些原因,系統(tǒng)輸出量不可能完全復現(xiàn)輸入量的變化。根據(jù)系統(tǒng)結構和參數(shù)選擇的情況,動態(tài)過程表現(xiàn)為衰減、發(fā)散或等幅振蕩形式。顯然,一個可以實際運行的控制系統(tǒng),其動態(tài)過程必須是衰減的,即系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。動態(tài)過程除提供系統(tǒng)的穩(wěn)定性信息外,還可以給出響應速度、阻尼情況等信息。這些信息用動態(tài)性能描述。

2.穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程(穩(wěn)態(tài)響應),是指當時間t趨近于無窮大時,系統(tǒng)輸出狀態(tài)的表現(xiàn)形式。它表征系統(tǒng)輸出量最終復現(xiàn)輸入量的程度,提供系統(tǒng)有關穩(wěn)態(tài)誤差的信息,用穩(wěn)態(tài)性能來描述。

由此可見,控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的性能指標,通常由動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成。

1.動態(tài)性能

當系統(tǒng)的時間響應c(t)中的瞬態(tài)分量較大而不能忽略時,稱系統(tǒng)處于動態(tài)或過渡過程中,這時系統(tǒng)的特性稱為動態(tài)性能。動態(tài)性能指標通常根據(jù)系統(tǒng)的階躍響應曲線定義。設系統(tǒng)階躍響應曲線如圖3-2所示。圖中 為輸出的穩(wěn)態(tài)值。3.1.3動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運行的首要條件,因此只有當動態(tài)過程收斂時,研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能才有意義。

圖3-2動態(tài)性能指標時間tr上升峰值時間tpAB超調(diào)量σ%=AB100%調(diào)節(jié)時間ts動態(tài)性能指標通常有以下幾種:

延遲時間td:指響應曲線第一次達到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時間。

上升時間tr:

若階躍響應不超過穩(wěn)態(tài)值,上升時間指響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間;對于有振蕩的系統(tǒng),上升時間定義為響應從零第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。上升時間越短,響應速度越快。

峰值時間tp:指階躍響應曲線超過穩(wěn)態(tài)值,到達第一個峰值所需要的時間。

調(diào)節(jié)時間ts:在響應曲線的穩(wěn)態(tài)線上,用穩(wěn)態(tài)值的百分數(shù)(通常取5%或2%)作一個允許誤差范圍,響應曲線達到并永遠保持在這一允許誤差范圍內(nèi)所需的時間。最大超調(diào)量σp:設階躍響應的最大值為c(tp),則最大超調(diào)量σp可由下式確定:(3.8)振蕩次數(shù)N:在0≤t≤ts內(nèi),階躍響應曲線穿越穩(wěn)態(tài)值c(∞)次數(shù)的一半稱為振蕩次數(shù)。上述動態(tài)性能指標中,常用的指標有tr、ts和σp。上升時間tr評價系統(tǒng)的響應速度;σp評價系統(tǒng)的運行平穩(wěn)性或阻尼程度;ts是同時反映響應速度和阻尼程度的綜合性指標。應當指出,除簡單的一、二階系統(tǒng)外,要精確給出這些指標的解析表達式是很困難的。

激波管產(chǎn)生的階躍壓力與測試系統(tǒng)的輸出激波管產(chǎn)生的階躍壓力沖擊波超壓測試系統(tǒng)的輸出模擬信號裝置

模擬壓力發(fā)生器高壓激波管

2.穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標,通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)或加速度函數(shù)作用下進行測定或計算。若時間趨于無窮時,系統(tǒng)輸出不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù),則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。動態(tài)性能：用控制系統(tǒng)在典型輸入下的響應來評價。穩(wěn)態(tài)性能：一般是通過系統(tǒng)在典型輸入信號下引起的穩(wěn)態(tài)誤差來評價。

3.2一階系統(tǒng)的時域分析圖3-3(a)一階系統(tǒng)結構圖；(b)簡化結構圖描述時間常數(shù)為T的一階系統(tǒng)的微分方程和傳遞函數(shù)分別如下：(3.9)(3.10)3.2.1一階系統(tǒng)的單位階躍響應對于單位階躍輸入有由拉氏反變換可以得到一階系統(tǒng)的單位階躍響應c(t)為(3.11)式中,cs(t)=1是穩(wěn)態(tài)分量,由輸入信號決定。ct(t)=-et/T是瞬態(tài)分量(暫態(tài)分量),它的變化規(guī)律由傳遞函數(shù)的極點s=-1/T決定。當t→∞時,瞬態(tài)分量按指數(shù)規(guī)律衰減到零。以下是一階系統(tǒng)單位階躍響應的典型數(shù)值。圖3-4一階系統(tǒng)單位階躍響應曲線3.2.2一階系統(tǒng)的單位脈沖響應

如果輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)

r(t)=δ(t),R(s)=1輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同,即這時的輸出響應稱為單位脈沖響應,記作g(t)。因為g(t)=L-1［G(s)］,其表達式為3.2.3一階系統(tǒng)的單位斜坡響應

對于單位斜坡函數(shù)可求得系統(tǒng)輸出信號的拉氏變換為取拉氏反變換可得系統(tǒng)的單位斜坡響應為

(t≥0)式中,cs(t)=t-T是穩(wěn)態(tài)分量,它是一個與輸入信號等斜率的斜坡函數(shù),但時間上滯后一個時間常數(shù)T;ct(t)=Te-t/T是瞬態(tài)分量,當t→∞時,ct(t)按指數(shù)規(guī)律衰減到零,衰減速度由極點s=-1/T決定。單位斜坡響應也可由單位階躍響應積分得到,其中初始條件為零。(3.14)當t→∞時, 。這表明一階系統(tǒng)的單位斜坡響應在過渡過程結束后存在常值誤差,其值等于時間常數(shù)T。系統(tǒng)的誤差信號e(t)為

一階系統(tǒng)單位斜坡響應曲線如圖3-5所示。由圖可知,時間常數(shù)越小,響應越快,跟蹤誤差越小,輸出信號的滯后時間也越短。圖3-5一階系統(tǒng)的單位斜坡響應

本節(jié)最后給出線性定常系統(tǒng)的一個重要特性——等價關系,即線性定常系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應,等于此系統(tǒng)對該輸入信號響應的導數(shù);線性定常系統(tǒng)對輸入信號積分的響應,就等于此系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分,積分常數(shù)由零初始條件確定。這個重要特性適用于任何階線性定常系統(tǒng),但不適用于線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。因此,研究線性定常系統(tǒng)的時間響應,不必對每種輸入信號進行測定和計算,往往只取其中一種典型形式進行研究。

3.3二階系統(tǒng)的時域分析3.3.1二階系統(tǒng)的標準形式圖3-6二階系統(tǒng)結構圖（b）

典型的二階系統(tǒng)的結構圖是由一個慣性環(huán)節(jié)和一個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成前向通道的單位負反饋系統(tǒng)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為令ω2n=K1K2/τ,1/τ=2ζ

ωn,則可將二階系統(tǒng)化為如下標準形式:(3.15)對應的系統(tǒng)微分方程為(3.16)式中,ζ

稱為阻尼比,ωn稱為無阻尼自振角頻率。(3.17)所以,系統(tǒng)的兩個特征根(極點)為(3.18)隨著阻尼比ζ

的不同,二階系統(tǒng)特征根(極點)也不相同。二階系統(tǒng)的動態(tài)特性,可以用ζ

和ωn這兩個參量的形式加以描述。這兩個參數(shù)是二階系統(tǒng)的重要結構參數(shù)。由式(3.15)可得二階系統(tǒng)的特征方程為1.欠阻尼(0＜ζ

＜1)這是一對共軛復數(shù)根,如圖a所示。當0＜ζ

＜1時,兩特征根為

2.臨界阻尼(ζ

=1)s1,2=-ωn此時,s1,s2如圖(b)所示。

當ξ=1時,特征方程有兩個相同的負實根,即3.過阻尼(ζ

＞1)當ζ

＞1時,兩特征根為這是兩個不同的實根,如圖

(c)所示。4.無阻尼(ζ

=0)當ξ=0時,特征方程具有一對共軛純虛數(shù)根,即此時,s1,s2如(d)所示。圖3-7復平面上二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布3.3.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應令r(t)=1(t),則有R(s)=1/s。(3.19)對上式求拉氏反變換,可得二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的過渡過程為所以,可得二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下輸出信號的拉氏變換為

1.欠阻尼情況(0＜

ζ

＜1)在這種情況下,可以展成如下部分分式形式:(3.20)式中, 稱為有阻尼自振角頻率。方程(3.20)的拉氏反變換為(3.21)上式還可以改寫為(3.22)式中,由式(3.22)可知,在欠阻尼情況下,二階系統(tǒng)的單位階躍響應是衰減的正弦振蕩曲線。衰減速度取決于特征根實部的絕對值ζωn的大小,振蕩角頻率是特征根虛部的絕對值,即有阻尼自振角頻率ωd,振蕩周期為(3.23)小球垂直下落，懸臂梁振蕩2.無阻尼情況(ζ

=0)當ζ

=0時,系統(tǒng)的單位階躍響應為所以,無阻尼情況下系統(tǒng)的階躍響應是等幅正(余)弦振蕩曲線,振蕩角頻率是ωn。3.臨界阻尼情況(ζ

=1)當ζ

=1時,可得對上式進行拉氏反變換得(3.25)所以,二階系統(tǒng)臨界阻尼情況下的單位階躍響應是一條無超調(diào)的單調(diào)上升曲線。4.過阻尼情況(ζ

＞1)這種情況下,系統(tǒng)存在兩個不等的實根,即由式可得式中,取上式的拉氏反變換可得過阻尼情況下二階系統(tǒng)的單位階躍響應為(3.26)(t≥0)顯然,這時系統(tǒng)的響應c(t)包含兩個衰減的指數(shù)項,其過渡過程曲線如圖所示。此時的二階系統(tǒng)就是兩個慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。有關分析表明,當ξ≥2時,兩極點s1和s2與虛軸的距離相差很大,此時靠近虛軸的極點所對應的慣性環(huán)節(jié)的時間響應與原二階系統(tǒng)非常接近,可以用該慣性環(huán)節(jié)來代替原來的二階系統(tǒng)。過阻尼圖3-8二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線從圖中可以看出,隨著阻尼比ζ的減小,階躍響應的振蕩程度加劇。

ζ=0時是等幅振蕩,ζ≥1時是無振蕩的單調(diào)上升曲線,其中臨界阻尼對應的過渡過程時間最短。在欠阻尼的狀態(tài)下,當0.4＜ζ＜0.8時,過渡過程時間比臨界阻尼時更短,而且振蕩也不嚴重。因此在控制工程中,除了那些不允許產(chǎn)生超調(diào)和振蕩的情況外,通常都希望二階系統(tǒng)工作在0.4＜ζ

＜0.8的欠阻尼狀態(tài)。二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應有如下特點：參數(shù)ζ

對瞬態(tài)響應曲線的形狀影響極大。當ζ

＝0，瞬態(tài)響應是等幅振蕩，頻率為ωn。ωn稱為無阻尼振蕩角頻率，系統(tǒng)被稱為無阻尼系統(tǒng)。

0<ζ

<1時，瞬態(tài)過程是一個按指數(shù)衰減的振蕩過程，ζ越小，衰減越慢，振蕩也就越劇烈，振蕩頻率也就越高。振蕩頻率稱為阻尼振蕩角頻率。系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)。ζ

>1時，瞬態(tài)響應是一個從-1到0單調(diào)遞增的過程。ζ—阻尼系數(shù)ζ和ωn決定了二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應特征，稱為二階系統(tǒng)的特征參數(shù)。√ξ2-1S1,2=-ξωn±ωnS1,2=-ξωn-ωn=S1,2=±jωn0＜ξ＜1ξ＝1ξ＝0ξ＞1j0j0j0j0二階系統(tǒng)單位

階躍響應定性分析2Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2-±j√1-ξ2ωnS1,2=ωnξh(t)=1T2tT1T21e+T1tT2T11e+h(t)=1-(1+ωnt)e-ω

tnh(t)=1-cosωntj0j0j0j0T11T21ξ＞1ξ＝10＜ξ＜1ξ＝0sin(ωdt+β)e-ξωth(t)=√1-ξ211n過阻尼臨界阻尼欠阻尼零阻尼3.3.3二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標

在許多實際情況中,評價控制系統(tǒng)動態(tài)性能的好壞是通過系統(tǒng)反映單位階躍函數(shù)的過渡過程的特征量來表示的。在一般情況下,希望二階系統(tǒng)工作在0.4＜ξ＜0.7的欠阻尼狀態(tài)下。因此,下面有關性能指標的定義和定量關系的推導主要是針對二階系統(tǒng)的欠阻尼工作狀態(tài)進行的。另外,系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的過渡過程與初始條件有關,為了便于比較各種系統(tǒng)的過渡過程性能,通常假設系統(tǒng)的初始條件為零。ωns1s2jωβσ0欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(1)上升時間tr,1.上升時間tr在暫態(tài)過程中，第一次達到穩(wěn)態(tài)值的時間。上升時間滿足所以有或根據(jù)反三角函數(shù)的性質(zhì)和

的表達式可得因此,二階系統(tǒng)階躍響應的上升時間為(3.27)2.峰值時間tp將式(3.22)對時間求導,并令其為零,即得整理、變換根據(jù)三角函數(shù)的周期性,上式成立需滿足:ωdtp=0,π,2π,3π，…由于峰值時間是過渡過程達到第一個峰值所對應的時間,因此應取即二階系統(tǒng)過渡過程峰值時間為(3.28)3.最大超調(diào)量Mp由最大超調(diào)量的定義和系統(tǒng)的階躍響應式(3.21)可得即(3.29)

4.過渡過程時間ts欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線c(t)位于一對曲線之內(nèi),這對曲線稱為響應曲線的包絡線。可以采用包絡線代替實際響應曲線估算過渡過程時間ts,所得結果一般略偏大。若允許誤差帶是Δ,則可以認為ts就是包絡線衰減到Δ區(qū)域所需的時間,則有解得(3.30)若取Δ=5%,并忽略

時,則得若取Δ=2%,并忽略 時,則得

(0＜ξ＜0.9)(3.31)(3.32)5.振蕩次數(shù)N根據(jù)振蕩次數(shù)的定義,有當Δ=5%和Δ=2%時,由式(3.31)和式(3.32)可得若已知Mp,考慮到 ,

即求得振蕩次數(shù)N與最大超調(diào)量之間的關系為(3.36)(3.37)圖3-9二階系統(tǒng)結構圖課堂練習

例3-1

某二階系統(tǒng)如圖3-9所示,其中系統(tǒng)的結構參數(shù)ξ=0.6,ωn=5rad/s。輸入信號為階躍函數(shù),求性能指標tr、tp、ts、Mp和N的數(shù)值。

所以解根據(jù)給定的參數(shù)可以得出圖3-10控制系統(tǒng)框圖

例3-2

設一個帶速度反饋的伺服系統(tǒng),其結構圖如圖3-10所示。要求系統(tǒng)的性能指標為Mp=20%,tp=1s。試確定系統(tǒng)的K和KA值,并計算性能指標tr、ts和N。

解首先,根據(jù)要求的Mp求取相應的阻尼比ξ:解得ξ=0.456。其次,由已知條件tp=1s和已求出的ξ=0.456求無阻尼自振頻率ωn,即解得ωn=3.53rad/s,將此二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)與標準形式比較,求K和KA值。由圖3-10得比較上式兩端,得所以K=12.5,KA=0.178。最后計算tr、ts和N:§３－３二階系統(tǒng)的時域響應

取橫坐標為，不同阻尼比值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線族如圖所示：

從圖可見：（１）越小，振蕩越厲害，當增大到１以后，曲線變?yōu)閱握{(diào)上升。（２）之間時，欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快達到穩(wěn)態(tài)值。（３）在無振蕩時，臨界阻尼系統(tǒng)具有最快的響應。（４）過阻尼系統(tǒng)過渡過程時間長。二階系統(tǒng)ts與ξ的關系設計二階系統(tǒng)時，一般取ξ=0.707為最佳阻尼比，此時不但ts最小，而且最大超調(diào)量也不大。ξts§３－３二階系統(tǒng)的時域響應結論：（１）根據(jù)值的大小可以間接判斷一個二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性。，單位階躍響應為單調(diào)曲線，沒有超調(diào)和振蕩，但調(diào)整時間較長，系統(tǒng)反應遲緩．，響應為單調(diào)曲線，調(diào)整時間比的情況短．，輸出為等幅振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。一般希望二階系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)下，但不能過小，否則大，振蕩次數(shù)多，長，為了限制超調(diào)量，應在0.4～0.8之間，這時超調(diào)量將在25%~2.5%之間。

§３－３二階系統(tǒng)的時域響應因為只和有關，常根據(jù)允許的來選擇。（２）以閉環(huán)極點在Ｓ平面上的位置可以大致估計和的大小。與閉環(huán)極點到實軸的距離成反比?？山频卣J為與閉環(huán)極點到虛軸的距離成反比。在一定時，可通過改變來改變，越大，越短。§３－３二階系統(tǒng)的時域響應二階系統(tǒng)的脈沖響應通過對單位階躍響應求導可得到單位脈沖響應§３－３二階系統(tǒng)的時域響應１．臨界阻尼和過阻尼情況，單位脈沖響應總是大于０，系統(tǒng)的單位階躍響應是單調(diào)曲線．２．欠阻尼時，響應曲線圍繞零值衰減振蕩．３．根據(jù)單位階躍響應與單位脈沖響應之間的關系，單位脈沖響應以一段曲線下所包圍的面積等于，曲線與t軸所包圍面積的總和（或數(shù)和）為１。tptC（t）0傳遞函數(shù)含有零點的二階系統(tǒng)響應在二階系統(tǒng)的前向主通道中加入串聯(lián)比例微分環(huán)節(jié)比例系數(shù)變大加入比例微分環(huán)節(jié)系統(tǒng)變化在欠阻尼時，可以有效減小原二階系統(tǒng)的階躍響應的超調(diào)量。由于微分的作用，使系統(tǒng)階躍響應的速度提高了，縮短了調(diào)整時間。實際使用：輸出響應的微分反饋3.4高階系統(tǒng)的時域分析凡是用高于二階的常微分方程描述輸出信號與輸入信號之間關系的控制系統(tǒng),均稱為高階系統(tǒng)。嚴格地說,大多數(shù)控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng),這些高階系統(tǒng)往往是由若干慣性子系統(tǒng)(一階系統(tǒng))或振蕩子系統(tǒng)(二階系統(tǒng))所組成的。由于高階系統(tǒng)動態(tài)性能指標的確定是復雜的,因此這里只對高階系統(tǒng)時間響應進行簡要的定性說明。設高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為設此傳遞函數(shù)的零、極點分別為-zi(i=1,2,…,m)和-si(i=1,2,…,n),增益為K,則有(3.38)(3.39)令系統(tǒng)所有零、極點互不相同,且極點有實數(shù)極點和復數(shù)極點,零點均為實數(shù)零點。當輸入單位階躍函數(shù)時,則有(3.40)式中,n=q+2r,q為實極點的個數(shù),r為復數(shù)極點的個數(shù)。將式(3.40)展成部分分式得對上式求拉氏反變換得(3.41)由此可見,單位階躍函數(shù)作用下高階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量為A0,其瞬態(tài)分量是一階和二階系統(tǒng)瞬態(tài)分量的合成。分析表明,高階系統(tǒng)有如下結論:

(1)高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應各分量的衰減快慢由指數(shù)衰減系數(shù)pj和ζ

kωnk決定。如果某極點遠離虛軸(對應的衰減系數(shù)大),那么其相應的瞬態(tài)分量比較小,且持續(xù)時間較短（衰減較快）。

(2)高階系統(tǒng)各瞬態(tài)分量的系數(shù)Ak、Bk和Ck不僅與復平面中極點的位置有關,而且與零點的位置有關。當某極點pj越靠近某零點zi而遠離其他極點,同時與復平面原點的距離也很遠時,相應瞬態(tài)分量的系數(shù)就越小,該瞬態(tài)分量的影響就越小。極端情況下,當pj和zi重合時(稱這對重合的零極點為偶極子),該極點對系統(tǒng)的瞬態(tài)響應幾乎沒有影響。因此,對于系數(shù)很小的瞬態(tài)分量,以及遠離虛軸的極點對應的快速衰減的瞬態(tài)分量?？梢院雎浴Ｓ谑歉唠A系統(tǒng)的響應就可以用低階系統(tǒng)的響應去近似。

(3)在系統(tǒng)中,如果距虛軸最近的極點，其實部的絕對值為其他極點實部絕對值的1/5甚至更小,并且在其附近沒有零點存在,則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應將主要由此極點左右。這種支配系統(tǒng)瞬態(tài)響應的極點叫做系統(tǒng)的主導極點。一般高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應是有振蕩的,因此它的近似低階系統(tǒng)的主導極點往往是一對共軛的復數(shù)極點。3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.5.1穩(wěn)定性的基本概念設一個線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài),若它瞬間受到某一擾動的作用偏離了原來的平衡狀態(tài),當擾動消失后,如果系統(tǒng)還能回到原有的平衡狀態(tài),則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之,系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。這表明穩(wěn)定性是表征系統(tǒng)在擾動消失后自身的一種恢復能力,它是系統(tǒng)的一種固有特性。

系統(tǒng)的穩(wěn)定性又分為兩種:一是大范圍的穩(wěn)定,即初始偏差可以很大,但系統(tǒng)仍穩(wěn)定;另一種是小范圍的穩(wěn)定,即初始偏差必須在一定限度內(nèi)系統(tǒng)才穩(wěn)定,超出了這個限定值則不穩(wěn)定。對于線性系統(tǒng),如果小范圍內(nèi)是穩(wěn)定的,則它一定也是大范圍穩(wěn)定的。而非線性系統(tǒng)不存在類似結論。通常而言,線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性表現(xiàn)為其時域響應的收斂性。當把控制系統(tǒng)的響應分為過渡狀態(tài)和穩(wěn)定狀態(tài)來考慮時,若隨著時間的推移,其過渡過程會逐漸衰減,系統(tǒng)的響應最終收斂到穩(wěn)定狀態(tài),則稱該控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的;而如果過渡過程是發(fā)散的,則該系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。俄國學者李亞普諾夫首先提出系統(tǒng)運動穩(wěn)定性的一般定義。他提出的穩(wěn)定，并不要求系統(tǒng)最終恢復原始的平衡狀態(tài)，而只要求回到某一允許偏差區(qū)域ε內(nèi)。與此相應，系統(tǒng)的初始條件只能局限于相當小的一個區(qū)域內(nèi)。3.5.2線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件

線性系統(tǒng)的特性或狀態(tài)是由線性微分方程來描述的,而微分方程的解通常就是系統(tǒng)輸出量的時間表達式,它包含兩個部分:穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量？。其中穩(wěn)態(tài)分量對應微分方程的特解,與外部輸入有關;瞬態(tài)分量對應微分方程的通解,只與系統(tǒng)本身的參數(shù)、結構和初始條件有關,而與外部作用無關。研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性,就是研究系統(tǒng)輸出量中瞬態(tài)分量的運動形式。這種運動形式完全取決于系統(tǒng)的特征方程,即齊次微分方程,這個特征方程反映了擾動消除之后輸出量的運動情況。穩(wěn)態(tài)分量——特解瞬態(tài)分量——特征方程單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為系統(tǒng)的特征方程式為從常微分方程理論可知,微分方程解的收斂性完全取決于其相應特征方程的根。如果特征方程的所有根都是負實數(shù)或實部為負的復數(shù),則微分方程的解是收斂的;如果特征方程存在正實數(shù)根或正實部的復根,則微分方程的解中就會出現(xiàn)發(fā)散項。此方程的根稱為特征根,它由系統(tǒng)本身的參數(shù)和結構所決定。由上述討論可以得出如下結論:線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是,特征方程式的所有根均為負實根或其實部為負的復根,即特征方程的根均在復平面的左半平面。由于系統(tǒng)特征方程的根就是系統(tǒng)的極點,因此也可以說,線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的極點均在復平面的左半部分。對于復平面右半平面沒有極點,但虛軸上存在極點的線性定常系統(tǒng),稱之為臨界穩(wěn)定的,該系統(tǒng)在擾動消除后的響應通常是等幅振蕩的。在工程上,臨界穩(wěn)定屬于不穩(wěn)定,因為參數(shù)的微小變化就會使極點具有正實部,從而導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。根據(jù)線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件,可以通過求取系統(tǒng)特征方程式的所有根,并檢查所有特征根實部的符號來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。但由于一般特征方程式為高次代數(shù)方程,因此要計算其特征根必須依賴計算機進行數(shù)值計算。采用勞斯穩(wěn)定判據(jù),可以不用求解方程,只根據(jù)方程系數(shù)做簡單的運算,就可以確定方程是否有(以及有幾個)正實部的根,從而判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。以下是勞斯判據(jù)的具體內(nèi)容。？3.5.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)設控制系統(tǒng)的特征方程式為(3.42)首先,勞斯穩(wěn)定判據(jù)給出控制系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是:控制系統(tǒng)特征方程式式(3.42)的所有系數(shù)ai(i=0,1,2,…,n)均為正值,且特征方程式不缺項。如果方程式(3.42)所有系數(shù)都是正值,將多項式的系數(shù)排成下面形式的行和列,即為勞斯表:表中,系數(shù)b的計算,一直進行到后面的b全部為零時為止。同樣采用上面兩行系數(shù)交叉相乘的方法,可以求出c,d,e,f等系數(shù),即這個過程一共進行到第n+1行為止。其中第n+1行僅第一列有值,且正好是方程最后一項an。勞斯表是三角形。注意,在展開的勞斯表中,為了簡化其后的數(shù)值運算,可以用一個正整數(shù)去除或乘某一整個行,這時并不改變穩(wěn)定性結論。因此,采用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性時,如果必要條件不滿足(即特征方程系數(shù)不全為正或缺項),則可斷定系統(tǒng)是不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定的;如果必要條件滿足,就需要列出勞斯表,檢查表中第一列的數(shù)值是否均為正值,如果是,則系統(tǒng)穩(wěn)定,否則系統(tǒng)不穩(wěn)定,并且系統(tǒng)在復平面右半平面極點的個數(shù)等于勞斯表第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。

其次,

勞斯穩(wěn)定判據(jù)給出控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是:勞斯表中第一列所有項均為正號。例3-3

設控制系統(tǒng)的特征方程式為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于該表第一列系數(shù)的符號變化了兩次,因此該方程中有兩個根在復平面的右半平面,故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。解：系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)均大于零,并且沒有缺項,所以穩(wěn)定的必要條件滿足。列勞斯表+_+例3-4

設有一個三階系統(tǒng)的特征方程式中所有系數(shù)均為正數(shù)。試證明該系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是a1a2＞a0a3。證明上式對應的勞斯表為根據(jù)勞斯判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表第一列系數(shù)均大于零。所以有a1a2＞a0a3

（練習）

例3-5

考慮圖3-11所示的系統(tǒng),確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。圖3-11控制系統(tǒng)框圖解由圖3-11可知,系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為所以系統(tǒng)的特征方程為由穩(wěn)定的必要條件可知,K＞0。列勞斯表如下:根據(jù)勞斯判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足因此,使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的K的取值范圍為當K=14/9時,系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。需要指出,在運用勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時,有時會遇到下列兩種特殊情況:(1)在勞斯表的某一行中,出現(xiàn)第一個元為零,而其余各元均不為零,或部分不為零的情況;(2)在勞斯表的某一行中,出現(xiàn)所有元均為零的情況。在這兩種情況下,表明系統(tǒng)在復平面內(nèi)存在正根或存在兩個大小相等符號相反的實根或存在兩個共軛虛根,系統(tǒng)處在不穩(wěn)定狀態(tài)或臨界穩(wěn)定狀態(tài)。下面通過實例說明這時應如何排勞斯表。若遇到第一種情況,可用一個很小的正數(shù)ε代替為零的元素,然后繼續(xù)進行計算,完成勞斯表。其勞斯表為因為勞斯表第一列元素的符號改變了兩次,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,且有兩個正實部的特征根。例如,系統(tǒng)的特征方程為若遇到第二種情況,先用全零行的上一行元素構成一個輔助方程,它的次數(shù)總是偶數(shù),它表示特征根中出現(xiàn)關于原點對稱的根的數(shù)目(這些根或為共軛虛根;或為符號相異但絕對值相同的成對實根;或上述情況同時存在)。再將上述輔助方程對s求導,用求導后的方程系數(shù)代替全零行的元素,繼續(xù)完成勞斯表。例如,系統(tǒng)的特征方程為勞斯表為→輔助方程2s2+2=0←輔助方程求導后的系數(shù)由以上可以看出,勞斯表第一列元素符號均大于零,故系統(tǒng)不含具有正實部的根,而含一對純虛根,可由輔助方程2s2+2=0解出±j。3.5.4赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)適用范圍：6階以下系統(tǒng)的穩(wěn)定性行列式中，對角線上各元為特征方程中自第二項開始的各項系數(shù)。每行以對角線上各元為準，寫對角線左方各元時，系數(shù)a的腳標遞增；寫對角線右方各元時，系數(shù)a的腳標遞減。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件在a0>0的情況下，上述行列式的各階主子式均大于零。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件在a0>0的情況下，上述行列式的各階主子式均大于零。對穩(wěn)定系統(tǒng)來說要求：設反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，求滿足穩(wěn)定要求時K的臨界值?！?/sK/(s+1)(s+5)C(s)+_R(s)傳遞函數(shù)G(s)=K/[s(s+1)(s+5)+K]特征方程為D(s)=s3+6s2+5s+K=0小參量對閉環(huán)控制系統(tǒng)性能的影響將小參量忽略不計時數(shù)學模型降階的分析

開環(huán)系統(tǒng)，忽略小參量只需考慮系統(tǒng)的時間常數(shù)的數(shù)值相對大小即可。

閉環(huán)系統(tǒng)，不僅考慮時間常數(shù)的數(shù)值相對大小，還要考慮系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)。3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)控制精度的,在控制系統(tǒng)設計中作為穩(wěn)態(tài)指標。實際的控制系統(tǒng)由于本身結構和輸入信號的不同,其穩(wěn)態(tài)輸出量不可能完全與輸入量一致,也不可能在任何擾動作用下都能準確地恢復到原有的平衡點。另外,系統(tǒng)中還存在摩擦、間隙和死區(qū)等非線性因素。因此,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差總是不可避免的。控制系統(tǒng)設計時應盡可能減小穩(wěn)態(tài)誤差。當穩(wěn)態(tài)誤差足夠小，可以忽略不計的時候,認為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零,這種系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng),而穩(wěn)態(tài)誤差不為零的系統(tǒng)則稱為有差系統(tǒng)。只有當系統(tǒng)穩(wěn)定時,才可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)響應：時間趨于無窮大時，系統(tǒng)對某一輸入信號的固定響應。穩(wěn)態(tài)誤差：穩(wěn)態(tài)響應的期望值與實際值之間的誤差（經(jīng)過足夠長的時間暫態(tài)響應衰減得很?。?。穩(wěn)態(tài)誤差分為給定穩(wěn)態(tài)誤差及擾動穩(wěn)態(tài)誤差。3.6.1誤差與穩(wěn)態(tài)誤差根據(jù)控制系統(tǒng)的一般結構(如圖3-12所示),可以定義系統(tǒng)的誤差與穩(wěn)態(tài)誤差。圖3-12控制系統(tǒng)的一般結構擾動N(s)控制環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)被控環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)反饋環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)從輸出端定義的誤差是系統(tǒng)輸出量的期望值與實際值之差,即式中cr(t)是與系統(tǒng)設定輸入量r(t)相應的期望輸出量。這種定義物理意義明確,但在實際系統(tǒng)中往往不可測量。式中b(t)是實際輸出量經(jīng)反饋后送到輸入端的主反饋量。這樣定義的誤差可用系統(tǒng)結構圖中相應的量表示,便于進行理論分析,在實際系統(tǒng)中也可以測量。(3.42)(3.43)從輸入端定義的誤差是系統(tǒng)設定輸入量與主反饋量之差,即在單位負反饋情況下,兩種誤差的定義是一致的。在某些情況下,誤差也可以定義為在工程實踐中,還會遇到更復雜的情況,對誤差的定義可視具體情況和要求而異。為了討論方便,這里取誤差為式(3.43)的形式。(3.44)

穩(wěn)態(tài)誤差是指一個穩(wěn)定的系統(tǒng)在設定的輸入或擾動作用下,經(jīng)歷過渡過程進入穩(wěn)態(tài)后的誤差,即3.6.2系統(tǒng)的類型

穩(wěn)態(tài)誤差的計算與系統(tǒng)的類型有關,而系統(tǒng)的類型是由開環(huán)傳遞函數(shù)決定的。一般情況下,

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表示為其中K為系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù);τi和Tj為時間常數(shù);γ為開環(huán)傳遞函數(shù)中積分單元的個數(shù),即開環(huán)傳遞函數(shù)在原點處極點的重數(shù)。并且開環(huán)放大倍數(shù)K可以定義如下:

γ=0,1和2的系統(tǒng)分別稱為0型系統(tǒng)、Ⅰ型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng)。Ⅲ型以上的系統(tǒng)很少見。(3.45)γ的階次和系統(tǒng)的型次一致

3.6.3穩(wěn)態(tài)誤差的計算

計算穩(wěn)態(tài)誤差的基本系統(tǒng)結構圖如圖3-12所示,并以輸入端定義的誤差信號作為研究基礎。給定誤差的象函數(shù)是開環(huán)傳遞函數(shù)給定誤差傳遞函數(shù)

圖3-12(3.47)擾動量的響應就是擾動誤差擾動誤差的象函數(shù)誤差傳遞函數(shù)由式(3.47)可知,系統(tǒng)的誤差由兩部分組成：由系統(tǒng)給定輸入信號引起的誤差為系統(tǒng)誤差或原理誤差(對應式中第一項)，它反映了系統(tǒng)跟蹤輸入信號的能力；

由擾動輸入信號引起的誤差稱為擾動誤差(對應式中第二項)，它反映了系統(tǒng)抑制擾動的能力。1.給定輸入作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算給定輸入作用下的系統(tǒng)誤差為(3.48)根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差的定義(式(3.44))和拉氏變換的終值定理(假設E(s)的極點全位于復平面的左半平面),可得(3.49)對于給定輸入為單位階躍函數(shù)時

r(t)=1(t),R(s)=1/s階躍誤差常數(shù)：給定穩(wěn)態(tài)誤差終值為位置誤差系數(shù)對于給定輸入為單位斜坡函數(shù)時

r(t)=t,R(s)=1/s2斜坡誤差常數(shù)：給定穩(wěn)態(tài)誤差終值為速度誤差系數(shù)對于給定輸入為單位拋物線函數(shù)時

r(t)=1/2t2,R(s)=1/s3斜坡誤差常數(shù)：給定穩(wěn)態(tài)誤差終值為加速度誤差系數(shù)為便于討論,定義如下一組穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)：(3.50)穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù):(3.51)穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù):(3.52)在單位斜坡信號輸入作用下,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(3.54)在單位加速度信號輸入作用下,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(3.55)則在單位階躍輸入信號作用下,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(3.53)表3-1給定輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差根據(jù)以上對三種典型輸入、三種類型系統(tǒng)的分析,可以得到如下結論:0型系統(tǒng)對于階躍輸入是有差系統(tǒng),并且無法跟蹤斜坡信號；Ⅰ型系統(tǒng)由于含有一個積分環(huán)節(jié),所以對于階躍輸入是無差的，但對斜坡輸入是有差的,因此,Ⅰ型系統(tǒng)也稱一階無差系統(tǒng)；Ⅱ型系統(tǒng)由于含有兩個積分環(huán)節(jié),對于階躍輸入和斜坡輸入都是無差的,但對加速度信號是有差的,因此,Ⅱ型系統(tǒng)也稱二階無差系統(tǒng)。怎樣給出誤差隨時間的變化？給定穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)的計算假定輸入信號r(t)是任意分段連續(xù)函數(shù)，則可以利用卷積分公式計算給定誤差泰勒級數(shù)展開利用上式計算穩(wěn)態(tài)誤差，則應在系統(tǒng)暫態(tài)響應已經(jīng)衰減到微不足道的程度之后，故應將上式積分的上限取為無窮大。給定穩(wěn)態(tài)誤差為rs(t)——r(t)的穩(wěn)態(tài)分量。如將給定誤差系數(shù)規(guī)定為在已知Фe

(t)的情況下，根據(jù)拉普拉斯變換有則給定誤差系數(shù)為n=0、1、2、3…

2.擾動輸入作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算對于擾動輸入作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算,也可以按照類似設定輸入情況的方法進行計算。在這種情況下,穩(wěn)定誤差的計算稍復雜些。應當指出的是,對Ⅰ型以上的系統(tǒng),由擾動作用引起的穩(wěn)態(tài)誤差與擾動作用點之前的系統(tǒng)結構和參數(shù)有關。例3-6

已知某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)輸入分別為1(t),10t,3t2時,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析可知,該系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的。由于此系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)為

當r(t)=1(t)時,穩(wěn)態(tài)誤差ess=0;

當r(t)=10t時,穩(wěn)態(tài)誤差 ;

當r(t)=3t2時,穩(wěn)態(tài)誤差ess=∞。圖3-13例3-7圖例3-7

已知兩個系統(tǒng)分別如圖3-13(a)、(b)所示。輸入r(t)=4+6t+3t2,試分別計算兩個系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解圖3-13(a)為Ⅰ型系統(tǒng),它不能跟蹤輸入信號的加速度分量3t2,所以該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess=∞。圖3-13(b)為Ⅱ型系統(tǒng),開環(huán)放大倍數(shù)為K=10/4。查表可知,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為需要指出的是,標準的加速度信號為t2/2,所以本題中的3t2是標準輸入的6倍,因此,用標準輸入下的公式計算穩(wěn)態(tài)誤差時要乘上這個倍數(shù)。3.6.4穩(wěn)態(tài)誤差的抑制措施

1.提高系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)

0型系統(tǒng)跟蹤單位階躍信號、Ⅰ型系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號、Ⅱ型系統(tǒng)跟蹤恒加速信號時,其系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差均為常值,且都與開環(huán)放大倍數(shù)K有關。若增大開環(huán)放大倍數(shù)K,則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可以顯著下降。提高開環(huán)放大倍數(shù)K固然可以使穩(wěn)態(tài)誤差下降,但K值取得過大會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變壞,甚至造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定。如何解決這個矛盾,將是本書以后幾章中討論的中心問題。

2.增大系統(tǒng)的類型數(shù)若開環(huán)傳遞函數(shù)(H(s)=1時,開環(huán)傳遞函數(shù)就是系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù))中沒有積分環(huán)節(jié),即0型系統(tǒng)時,跟蹤階躍輸入信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差為常值;

若開環(huán)傳遞函數(shù)中含有一個積分環(huán)節(jié),即Ⅰ型系統(tǒng)時,跟蹤階躍輸入信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差為零;

若開環(huán)傳遞函數(shù)中含有兩個積分環(huán)節(jié),即Ⅱ型系統(tǒng)時,則系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號、斜坡輸入信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差為零。

3.采用復合控制采用復合控制,即在反饋控制基礎上引入順饋(也稱前饋)補償。這種方法可以在基本不改變系統(tǒng)動態(tài)性能的前提下,有效改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。3.7基于MATLAB的線性系統(tǒng)時域分析

1.用MATLAB進行動態(tài)響應分析通過MATLAB提供的函數(shù)step()和inpulse(),可以方便地求出各階系統(tǒng)在階躍函數(shù)和脈沖函數(shù)作用下的輸出響應。在單位階躍函數(shù)作用下的響應曲線。例3-8

試用MATLAB繪制系統(tǒng)解:獲取上述兩系統(tǒng)單位階躍響應的程序如下:%ex-3-8num1=[1];den1=[2,1];G1=tf(num1,den1);num2=[25];den2=[1,3,25];G2=tf(num2,den2);