2022年廣東省佛山市大瀝高級(jí)中學(xué) 高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022年廣東省佛山市大瀝高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)則，則實(shí)數(shù)的值等于

（

）

A．－3

B．－l或3

C．1

D．－3或l參考答案：D因?yàn)?，所以由得。?dāng)時(shí)，，所以。當(dāng)時(shí)，，解得。所以實(shí)數(shù)的值為或，選D.2.下列各式中值為的是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.若函數(shù)f（x）=，方程f[f（x）]=a只有四個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（2+ln2，e） B．（e，2+ln3） C．（2+ln2，3） D．（3，2+ln3）參考答案：D【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用分段函數(shù)求出方程左側(cè)的表達(dá)式，畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用兩個(gè)函數(shù)的圖形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求出的范圍．【解答】解：f[f（x）]==，畫(huà)出函數(shù)y=f[f（x）]與y=a的圖象，因?yàn)榉匠蘤[f（x）]=a只有四個(gè)不同的實(shí)根，函數(shù)的圖象的交點(diǎn)有4個(gè)，可知a∈（3，2+ln3）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷與求法，考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的解題的關(guān)鍵．4.設(shè)則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C5.已知點(diǎn)，若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則稱(chēng)該函數(shù)為“點(diǎn)距函數(shù)”，給定下列三個(gè)函數(shù):①；②；③，其中“點(diǎn)距函數(shù)”的個(gè)數(shù)是（

）A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C6.下列命題中的假命題是(

)A.且,都有B.,直線恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)

C.,函數(shù)都不是偶函數(shù)

D.,使是冪函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減參考答案：C7.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則

A.

B.

C.

D.參考答案：答案：D8.已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．(－1,0)

B．(－1,+∞)

C．(－2,0)

D．(－2,－1)

參考答案：A9.設(shè)z＝，則z的共軛復(fù)數(shù)為（

）A．－1-3 B．－1+3

C．1＋3

D．1－3參考答案：B【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的基本概念．L4

解析：,故選B.【思路點(diǎn)撥】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，則z的共軛可求．10.已知i是虛數(shù)單位，則（

）A.2+i

B.2-i

C.1+2i

D.1-2i

參考答案：D。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：

12.不等式組表示的是一個(gè)直角三角形圍成的平面區(qū)域，則

參考答案：或分兩種情形：1）直角由與形成，則；2）直角由與形成，則.13.已知直線的傾斜角大小是，則

.參考答案：略14.已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)__________.參考答案：(-1，-1/3)略15.數(shù)列為等比數(shù)列，且

.參考答案：1616.若函數(shù)的圖象在處的切線方程是，則

.參考答案：17.在正六邊形ABCDEF中，若AB=1，則=

．參考答案：﹣【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)向量的三角形法則，正六邊形的性質(zhì)結(jié)合向量數(shù)量積的定義，代入向量的數(shù)量積定義式計(jì)算即可得到所求值．【解答】解：六邊形ABCDEF是邊長(zhǎng)為1的正六邊形則=?（+）=?=?=||?||?cos∠BAF=1×1×cos120°=﹣．故答案為：﹣．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．參考答案：解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)x∈R，有f′(x)>0，∴當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)．當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)>0，解得x<－或x>；由f′(x)<0，解得－<x<，∴當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－，)．(2)∵f(x)在x＝－1處取得極值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，在x＝1處取得極小

值f(1)＝－3.∵直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，∴結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，m的取值范圍是(－3,1)．略19.已知函數(shù)f（x）=lnx+x2﹣2ax+1，g（x）=ex+x2﹣2ax+1，（a為常數(shù)）．（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：|f（x）﹣g（x）|＞2．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，（x＞0），再討論g（x）=2x2﹣2ax+1的取值情況即可；（Ⅱ）|f（x）﹣g（x）|=|lnx﹣ex|=ex﹣lnx，只需F（X）=ex﹣lnx，，的最小值大于2即可．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）（x＞0），記g（x）=2x2﹣2ax+1…①當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)閤＞0，所以g（x）＞1＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；…②當(dāng)時(shí)，因?yàn)椤?4（a2﹣2）≤0，所以g（x）≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；…③當(dāng)時(shí)，由，解得，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．…（2）f（x）與g（x）的公共定義域?yàn)椋?，+∞），|f（x）﹣g（x）|=|lnx﹣ex|=ex﹣lnx，令F（X）=ex﹣lnx，，，所以F'（x）單調(diào)遞增因?yàn)?，所以存在唯一使得，∴且?dāng)x∈（0，x0）時(shí)F'（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)F'（x）＞0，F(xiàn)（x）當(dāng)遞增；所以故|f（x）﹣g（x）|＞2．…20.已知函數(shù)f（x）=x﹣+alnx（a∈R）．（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）已知g（x）=x2+（m﹣1）x+，m≤﹣，h（x）=f（x）+g（x），當(dāng)時(shí)a=1，h（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，求h（x1）﹣h（x2）的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．（2）求出函數(shù)h（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值，最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解．【解答】解：（1）∵f（x）=x﹣+alnx，∴f′（x）=1++，∵f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f′（x）=1++≥0在[1，+∞）上恒成立，∴a≥﹣（x+）在[1，+∞）上恒成立，∵y=﹣x﹣在[1，+∞）上單調(diào)遞減，∴y≤﹣2，∴a≥﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+x2+mx，其定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)得，h′（x）=，若h′（x）=0兩根分別為x1，x2，則有x1?x2=1，x1+x2=﹣m，∴x2=，從而有m=﹣x1﹣，∵m≤﹣，x1＜x2，∴x1∈（﹣∞，）∪（，+∞）則h（x1）﹣h（x2）=h（x1）﹣h（）=2lnx1+（﹣）+（﹣x1﹣）（x1﹣），令φ（x）=2lnx﹣（x2﹣），x∈[，1]．則[h（x1）﹣h（x2）]min=φ（x）min，φ′（x）=﹣，當(dāng)x∈（，1]時(shí)，φ′（x）＜0，∴φ（x）在[，1]上單調(diào)遞減，φ（x）min=φ（1）=0，∴h（x1）﹣h（x2）的最小值為0．21.我們國(guó)家正處于老齡化社會(huì)中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有戶籍人口400萬(wàn)，其中老人（年齡60歲及以上）人數(shù)約有66萬(wàn)，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機(jī)抽取600人并委托醫(yī)療機(jī)構(gòu)免費(fèi)為他們進(jìn)行健康評(píng)估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個(gè)等級(jí)，并以80歲為界限分成兩個(gè)群體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本分布被制作成如下圖表：（1）若采用分層抽樣的方法再?gòu)臉颖局械牟荒茏岳淼睦先酥谐槿?6人進(jìn)一步了解他們的生活狀況，則兩個(gè)群體中各應(yīng)抽取多少人？（2）估算該市80歲及以上長(zhǎng)者占全市戶籍人口的百分比；（3）政府計(jì)劃為80歲及以上長(zhǎng)者或生活不能自理的老人每人購(gòu)買(mǎi)1000元/年的醫(yī)療保險(xiǎn)，為其余老人每人購(gòu)買(mǎi)600元/年的醫(yī)療保險(xiǎn)，不可重復(fù)享受，試估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算．參考答案：（1）抽取16人中不能自理的80歲及以上長(zhǎng)者人數(shù)為6人，能自理的80歲及以上長(zhǎng)者人數(shù)為10人（2）2.75%（3）約為4.51億元試題分析：（1）有圖表得到分層比例，得抽取16人中不能自理的80歲及以上長(zhǎng)者人數(shù)為6人，能自理的80歲及以上長(zhǎng)者人數(shù)為10人；（2）80歲及以上長(zhǎng)者有：=11萬(wàn)人，百分比為：=2.75%；（3）用樣本估計(jì)總體，年度預(yù)算約為4.51億元。試題解析：（1）數(shù)據(jù)整理如下表：健康狀況健康基本健康不健康尚能自理不能自理80歲及以上2045201580歲以下2002255025

從圖表中知不能自理的80歲及以上長(zhǎng)者占比為：=故抽取16人中不能自理的80歲及以上長(zhǎng)者人數(shù)為6人，能自理的80歲及以上長(zhǎng)者人數(shù)為10人；

（2）在600人中80歲及以上長(zhǎng)者在老人中占比為：=所以80歲及以上長(zhǎng)者有：=11萬(wàn)人用樣本估計(jì)總體，80歲及以上長(zhǎng)者占戶籍人口的百分比為：=2.75%

（3）先計(jì)算抽樣的600人的預(yù)算，其中享受1