微積分下2第十章

一、二階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解二、二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解三、小結(jié)第八節(jié)二階常系數(shù)線性差分方程1.定義形如yx

+2

+

ayx

+1

+

byx

=

f

(

x)(其中a

,b

?0均為常數(shù)，f

(x

)為已知函數(shù))的差分方程，稱為二階常系數(shù)線性差分方程．f

(x)?0時稱為非齊次的，否則稱為齊次的．y

x

+2

+ay

x

+1

+by

x

=0稱為相應(yīng)的齊次方程．2.解的結(jié)構(gòu)定理

二階常系數(shù)線性差分方程的通解等于對應(yīng)齊次方程的通解加上非齊次方程的一個特解.即y

=

y

+

y*

.x

x

x—、二階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解設(shè)Yx

=

l

(l

?

0)為對應(yīng)齊次方程一個解

，代入得xlx+2

+

alx+1

+

blx

=

0即l2

+al

+b

=0此方程稱為對應(yīng)齊次方程的特征方程,其根2

2-

a

-

a

2

-

4b-

a

+

a

2

-

4b,

l2

=l1

=稱為相應(yīng)方程的特征根.現(xiàn)根據(jù)a

2

-4b的符號來確定其通解形式.有兩個相異的實(shí)特征根如下形式：l1與l2，此時的通解具有+A

l

x

(A

,A

為任意常數(shù))2

2

1

2x

1

1y

=

A

lx(2)第二種情形

a2

=

4b時的通解具有如下形式：221方程有兩個相等的實(shí)特征根l

=l

=-a

，此時21

2axyx

=(A1

+A2

x)(-)

(A

,A

為任意常數(shù))(1)第一種情形a

2>4b時(3)第三種情形

a2

<

4b時方程有一對共軛的復(fù)特征根,212l

=

-

1

a

-

i

4b

-

a

2

=

a

-

ib2l

=

-

1

a

+

i

4b

-

a

2

=

a

+

ib把它們化為三角表示式：a4b

-

a2r

=

a

2

+

b

2

=

b

,

tanq

=則a

=r

cosq,b

=r

sinq=

-ab\

l1

=

r(cosq

+

i

sinq

),

l2

=

r(cosq

-

i

sinq

)x(

2)

xx

2x(1)

xx

1=

l+

i

sinq

)-

i

sinq

)\

y

=

l

=

r

(cosqy

=

r

(cosq都是對應(yīng)齊次方程的特解．可以證明(2)

)x

x

x

x2

2i1

(

y(1)

+

y

(1)

-

y(2))及1

(y也都是特解．故可得具有以下形式的通解：y

=

rx

(

A

cos

qx

+

A

sin

qx

)x

1

2(

A1

,

A2

是任意常數(shù)

)二、二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解一項(xiàng)是該方程的一個特解yx

，另一項(xiàng)是對應(yīng)的齊次差分方程的通解Yx

.二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的通解由兩項(xiàng)的和組成：*即差分方程（2）的通解為y

=

Y

+

y*

.x

x

x(1)f

(x)=c(c為常數(shù)),即方程為yx+2

+

ayx+1

+

byx

=

c=

kx

s

.xy

*可設(shè)其特解形式為xi)當(dāng)1

+a

+b

?0時，取s

=0，即y*

=k,代入原方程得1

+

a

+

bck

=1

+

a

+

bcx\所求特解y

*

=2

+

acxc代入原方程得

k

=2

+

axy

*=\此時有特解xiii

)當(dāng)1

+a

+b

=0且a

=-2時，取s

=2，即y*

=kx

2，221cxyx*

=xii)當(dāng)1+a

+b

=0且a

?-2時,取s

=1,即y*

=kx，\此時有特解例1求差分方程yx

+2

+

yx

+1

-

2

yx

=

12的通解及y0

=

0,

y1

=

0的特解.解l2

+

l

-

2

=

0即(l

+2)(l

-1)=0解得l1

=

-2,

l2

=

1\

y

=

A

(-2)x

+

Ax

1

21

+a

+b

=1

+1

-2

=0,但a

=1

?-2,=

4

x12

xx\

y

=1

+

2*x

1

2\

所給方程通解為

y

=

4

x

+

A

(-2)

x

+

A由y0

=

A1

+

A2

,即A1

+

A2

=

0y1

=

4

-

2

A1

+

A2

,即2

A1

-

A2

=

43

31

2可得A

=

4

,

A

=

-

4=

4

x

+

4

(-2)

x

-

43

3x~y故此時特解為(2)f

(x)=cqx

(c,q

?1都是常數(shù))，即方程為xyx

+2

+

ayx

+1

+

byx

=

cq=kx

sq

x的特解.設(shè)其具有形式為xy

*i

)當(dāng)q2

+aq

+b

?0時,取s

=0，得其特解為q2

+

aq

+

bcqxxy*

=ii)當(dāng)q2

+aq

+b

?0但2q

+a

?0時，取s

=1得其特解為2q

+

acxqx

-1xy*

=4q

+

axy*

=iii)當(dāng)q2

+aq

+b

?0但2q

+a

=0時，取s

=2得其特解為cxqx

-1(3)f

(x)=cxn

(c為常數(shù))，即方程為nyx+2

+

ayx+1

+

byx

=

cxx

0

1

n設(shè)其具有形式為

y*

=

x

s

(

B

+

B x

+

+

B

xn

)的特解(其中B0

,B1

,,Bn為待定系數(shù)).i)當(dāng)1

+a

+b

?0時，取s

=0;ii)當(dāng)1

+a

+b

=0且a

?-2時，取s

=1;iii

)當(dāng)1

+a

+b

=0，且a

=-2時，取s

=2.分別就以上情形，將設(shè)定特解代入原方程,可確定其特解.例

1

求差分方程yx+2

+

5

yx+1

+

4

yx

=

x的特解．解1

+

a

+

b

=

1

+

5

+

4

=

10

?

0可設(shè)y*

=

B

+

B

xx

0

1代入方程B0

+

B1

(

x

+

2)

+

5B0

+

5B1

(

x

+

1)

+

4B0

+

4B1

x

=

x比較兩端同次項(xiàng)系數(shù)有10B1

=

110B0

+

7B1

=

0100

100

1\

B

=

-

7

,

B

=

1x則y*

=-100

10+

1

x7xxx故通解為y100

101=

-7

+2+

A

(-4)1x

+

A

(-1)例

2

求差分方程

yx+2

+

3

yx+1

-

4

yx

=

-2的通解．解1

+a

+b

=1

+3

-4

=0,且a

=3

?-2\

y*

=

x(B

+

B

x)x

0

1代入方程得:B

(

x

+

2)

+

B

(

x

+

2)2

+

3B

(

x

+

1)

+

3B

(

x

+

1)20

1

0

1-

4B x

-

4B x

2

=

x0

150

100

1可得B

=

-

7

,

B

=

150

107

1=

x(-

+

x),\

yx又y

=

A

(-4)x

+

A

,1

2x*通解為2150

107

1+

x)

+

A

(-4)+

Axxy

=

x(-三、小結(jié)二階常系數(shù)齊次線性差分方程求通解二階常系數(shù)非齊次線性差分方程求通解練習(xí)題1.求下列差分方程的通解及特解．yx

+2

-

4

yx

+1

+

16

yx

=

0,(

y0

=

1,

y1

=

1)yx

+2

-

2

yx

+1

+

2

yx

=

0,(

y0

=