大學高等數(shù)學知識點

大學高等數(shù)學知識點本文介紹了大學高等數(shù)學中極限與連續(xù)的相關(guān)知識點和公式，包括數(shù)列函數(shù)、極限性質(zhì)、常用結(jié)論和必備公式等。一、數(shù)列函數(shù)包括數(shù)列、初等函數(shù)、分段函數(shù)、復合函數(shù)、隱式函數(shù)、參式函數(shù)、變限積分函數(shù)和級數(shù)和函數(shù)。它們的特征包括單調(diào)性、有界性、奇偶性、周期性等。二、極限性質(zhì)涉及到極限的類型、無窮小和無窮大、未定型和性質(zhì)等。三、常用結(jié)論包括數(shù)列極限、指數(shù)函數(shù)極限、對數(shù)函數(shù)極限、三角函數(shù)極限、自然對數(shù)極限、冪函數(shù)極限、反三角函數(shù)極限等。四、必備公式包括等價無窮小、泰勒公式、自然對數(shù)和歐拉公式等。五、常規(guī)方法包括極限的四則運算、夾逼定理、單調(diào)有界原理、洛必達法則、泰勒公式等。這些方法可以幫助我們更好地理解和掌握極限與連續(xù)的知識點。1.抓大棄?。涸谔幚順O限時，要抓住主要的部分，舍棄次要的部分，如當x趨近于無窮大時，x和x^2相比，可以拋棄x^2。2.無窮小與有界量乘積：當一個無窮小與一個有界量相乘時，其極限為0。例如，sinx/x在x趨近于0時的極限為1，而x在x趨近于0時的極限為0，因此sinx的極限為0。3.左右極限：在處理極限時，要分別考慮x趨近于0的左右極限以及x趨近于無窮大的左右極限，有時需要分段函數(shù)來描述。4.無窮小等價替換：當兩個無窮小之比的極限為1時，可以進行等價替換。例如，當x趨近于0時，sinx和x的極限相等，可以進行等價替換。5.洛必達法則：在處理極限時，可以使用洛必達法則，即對于某些不定式的極限，可以將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的導數(shù)之比。6.泰勒公式：泰勒公式可以用于處理和式中的無窮小，其余項可以用皮亞諾余項來描述。7.極限函數(shù)：極限函數(shù)的極限可以通過極限序列來描述。8.非常手段：在處理極限時，可以使用一些非常手段，如收斂準則、導數(shù)定義、積分和、中值定理和級數(shù)和等。在處理極限時，需要注意抓住主要部分，分別考慮左右極限和無窮小等價替換等問題。同時，可以使用洛必達法則和泰勒公式等方法來簡化計算。最后，還可以使用一些非常手段來求解極限問題。1.去除格式錯誤和明顯有問題的段落：無明顯問題的段落如下：f(x)ax]f(x)axbf(x)axb,(1x)連續(xù)性:(1)間斷點判別(個數(shù));(2)分段函數(shù)連續(xù)性(附:極限函數(shù),f'(x)連續(xù)性)[a,b]上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)31.連通性:f([a,b])[m,M](注:1,“平均”值:f(a)(1)f(b)f(x))2.介值定理:(附:達布定理)(1)零點存在定理:f(a)f(b)f(x)(根的個數(shù));(2)f(x)(xaff(x)dx)'.第二講:導數(shù)及應(yīng)用(一元)(含中值定理)一.基本概念:1.差商與導數(shù):f'(x)limx(f(x)f(x))/(xxf(x))f'(x)limxxxxx2.微分與導數(shù):ff(xx)f(x)f'(x)xo(x)dff'(x)dx二.求導準備:1.基本初等函數(shù)求導公式;2.法則:(1)四則運算;(2)復合法則;(3)反函數(shù)三.各類求導(方法步驟):1.定義導:(1)f'(a)與f'(x)xa;(2)分段函數(shù)左右導;(3)limh(f(xh)f(xh))/h2.初等導(公式加法則):(1)uf[g(x)],求:u'(x)(圖形題);(2)F(x)(3)yxaf(t)dt,求:F'(x)3.隱式(f(x,y))導:(1)存在定理;(2)微分法(一階微分的形式不變性);(3)對數(shù)求導法.f(x)ax]f(x)axb將f(x)-ax改寫為ax+b+α，其中b=-aα。f(x)axb,(1x)當x趨近于無窮大時，f(x)趨近于ax+b+α。連續(xù)性:(1)間斷點判別(個數(shù));(2)分段函數(shù)連續(xù)性(附:極限函數(shù),f'(x)連續(xù)性)討論函數(shù)的連續(xù)性，包括間斷點的個數(shù)和分段函數(shù)的連續(xù)性，同時也討論極限函數(shù)和導數(shù)的連續(xù)性。[a,b]上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)在閉區(qū)間[a,b]上，連續(xù)函數(shù)的值域為[m,M]，其中任意一個介于m和M之間的值都可以表示為λf(a)+(1-λ)f(b)，其中0<λ<1。31.連通性:f([a,b])[m,M](注:1,“平均”值:f(a)(1)f(b)f(x))在閉區(qū)間[a,b]上，連續(xù)函數(shù)的值域為[m,M]，其中任意一個介于m和M之間的值都可以表示為λf(a)+(1-λ)f(b)，其中0<λ<1。2.介值定理:(附:達布定理)(1)零點存在定理:f(a)f(b)f(x)(根的個數(shù));如果f(a)和f(b)異號，則在區(qū)間[a,b]上一定存在至少一個零點。(2)f(x)(xaff(x)dx)'.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則它的原函數(shù)F(x)在[a,b]上可導，且F'(x)=f(x)。第二講:導數(shù)及應(yīng)用(一元)(含中值定理)一.基本概念:1.差商與導數(shù):f'(x)limx(f(x)f(x))/(xxf(x))f'(x)limxxxxx導數(shù)f'(x)可以用差商或極限的形式表示。2.微分與導數(shù):ff(xx)f(x)f'(x)xo(x)dff'(x)dx微分df表示函數(shù)f(x)的增量，即f(x+dx)-f(x)，而導數(shù)f'(x)表示函數(shù)f(x)在x處的變化率。二.求導準備:1.基本初等函數(shù)求導公式;2.法則:(1)四則運算;(2)復合法則;(3)反函數(shù)求導的準備工作包括基本初等函數(shù)求導公式和求導法則，其中求導法則包括四則運算法則、復合法則和反函數(shù)法則。三.各類求導(方法步驟):1.定義導:(1)f'(a)與f'(x)xa;(2)分段函數(shù)左右導;(3)limh(f(xh)f(xh))/h求導的方法包括定義導、分段函數(shù)左右導和極限導數(shù)。2.初等導(公式加法則):(1)uf[g(x)],求:u'(x)(圖形題);(2)F(x)(3)yxaf(t)dt,求:F'(x)初等函數(shù)的導數(shù)可以通過公式和求導法則求得，例如復合函數(shù)的導數(shù)可以用鏈式法則求得。3.隱式(f(x,y))導:(1)存在定理;(2)微分法(一階微分的形式不變性);(3)對數(shù)求導法.對于隱式函數(shù)f(x,y)=0，可以通過存在定理、微分法和對數(shù)求導法求導。2f(sinx)dx=2f(cosx)dx；∫πf(sinx)dx=2∫π/2f(sinx)dx，(5)∫πxf(sinx)dx=π/2∫πf(sinx)dx，5.分部積分(1)準備時“湊常數(shù)”；(2)已知f'(x)或∫af(x)dx時，求∫bf(x)dx。6.附：三角函數(shù)系的正交性：∫2πsinnxdx=∫2πcosnxdx=0，∫2πsinnxcosmxdx=0(n≠m)，∫2πsinnxsinmxdx=∫2πcosnxcosmxdx=π(n=m)。四.反常積分：1.類型：∫+∞af(x)dx,∫af(x)dx,∫+∞-∞f(x)dx(f(x)連續(xù))；∫baf(x)dx：(f(x)在x=a,x=b,x=c(a<c<b)處為無窮間斷)。2.斂散；3.計算：積分法、N-L公式、極限（可換元與分部）；4.特例：∫+∞1xpdx；∫11xpdx。五.應(yīng)用：（柱體側(cè)面積除外）1.面積：(1)S=∫ba[f(x)-g(x)]dx；(2)S=∫dcf-1(y)dy；(3)S=1/2∫αβr(θ)dθ；(4)側(cè)面積：S=∫ba2πf(x)√(1+f'2(x))dx。2.體積：(1)V=π∫ba[f2(x)-g2(x)]dx；(2)V=π∫d2y[f-1(y)]dy=2π∫caxf(x)dx；(3)Vx=x與Vy=y。3.弧長：ds=(dx)2+(dy)2(1)y=f(x)，x∈[a,b]，s=∫ba√(1+f'2(x))dx；(2){x=x(t),y=y(t)}，t∈[t1,t2]，s=∫t1t2√(x'2(t)+y'2(t))dt；(3)r=r(θ)，θ∈[α,β]，s=∫αβ√(r2(θ)+r'2(θ))dθ。4.物理（數(shù)一、二）：功、引力、水壓力、質(zhì)心；5.平均值（中值定理）：(1)f[a,b]=1/(b-a)∫baf(x)dx；(2)f[0,+∞)=limx→+∞∫x0f(t)dt，（f以T為周期：f=1/T∫T0f(t)dt）。微分方程基本概念常識：初值問題、通解和特解（注意應(yīng)用題中的隱含條件）。變換方程：1.令x=x(t)，則y'=“Dy”（如歐拉方程）。2.令u=u(x,y)，則y=y(x,u)，y'（如伯努利方程）。建立應(yīng)用題中方程的能力。一階方程：1.形式：(1)y'=f(x,y)；(2)M(x,y)dx+N(x,y)dy=0；(3)y(a)=b。2.變量分離型：y'=f(x)g(y)。(1)解法：∫dy/g(y)=∫f(x)dx，得G(y)=F(x)+C。(2)“偏”微分方程：?z/?x=f(x,y)。3.一階線性（重點）：y'+p(x)y=q(x)。(1)解法（積分因子法）：M(x)=e^∫xp(x)dx，得y=[∫M(x)q(x)dx+y]/M(x)。(2)變化：x'+p(y)x=q(y)。(3)推廣：伯努利（數(shù)一）：y'+p(x)y=q(x)y^α。4.齊次方程：y'=Φ(y/x)。(1)解法：令u=y/x，化為u+xdu/dx=Φ(u)，∫du/Φ(u)-u/x=C/x。(2)特例：dy/dx=(a1x+b1)/(a2x+b2y)，化為(a2x+b2y)dy-(a1x+b1)dx=0，令u=a2x+b2y，化為du/u=Cdx/x。5.全微分方程（數(shù)一）：M(x,y)dx+N(x,y)dy=dU，且?N/?M=?y/?x。解法：求U(x,y)=C。6.一階差分方程（數(shù)三）：y(x+1)-ay(x)=bp(x)y(x)。解法：設(shè)y(x)=xQ(x)，代入方程解得Q(x)。二階降階方程：1.y"=f(x)，解為y=F(x)+C1x+C2。2.y"=f(x,y')，令y'=p(x)，則y"=dp/dx=f(x,p)，轉(zhuǎn)化為一階方程解出p(x)，再代入求解y(x)。3.y"=f(y,y')，令y'=p(y)，則y"=dp/dy=f(y,p)，轉(zhuǎn)化為一階方程解出p(y)，再代入求解y(x)。高階線性方程：a(x)y"+b(x)y'+c(x)y=f(x)。1.通解結(jié)構(gòu)：(1)齊次解：y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)。(2)非齊次特解：y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)+y*(x)。2.常系數(shù)方程：ay"+by'+cy=f(x)。(1)特征方程：aλ^2+bλ+c=0。(2)非齊次特解形式確定：待定系數(shù)法（附：對于f(x)=ke，可使用算子法）。(3)由已知解反求方程。dz0,求zx和zy的偏導數(shù)三.二重積分1.二重積分的概念與性質(zhì):(1)定義:極限過程與Riemann和;(2)性質(zhì):線性性,可加性,保號性,單調(diào)性;(3)計算:極坐標,換元法,對稱性,輪換對稱性;2.二重積分的應(yīng)用:(1)幾何應(yīng)用:面積,質(zhì)心,轉(zhuǎn)動慣量;(2)物理應(yīng)用:質(zhì)量,密度,電荷,電流;(3)概率應(yīng)用:概率密度函數(shù),期望值,方差;(4)工程應(yīng)用:受力分布,應(yīng)力分布,流量分布。一、二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值包括顯式或隱式的極值和條件極值。必要條件為駐點，充分條件為判別式。條件極值可通過拉格朗日乘數(shù)法求解，其中目標函數(shù)與約束條件為z=f(x,y)和Φ(x,y)，求駐點即可。有界閉域上的最值是重點。例如距離問題。二、二重積分計算在計算二重積分前，需要了解概念與性質(zhì)。對稱性包括D域軸對稱、f奇偶對稱、字母輪換對稱和重心坐標。分塊積分包括D=D1+D2、f(x,y)分片定義和f(x,y)奇偶。計算時需要選擇直角坐標或極坐標，以D為主；交換積分次序；以及使用極坐標轉(zhuǎn)換。特例包括單變量f(x)或f(y)，以及利用重心求積分，其中已知D的面積S和重心(x,y)。三、無界域上的反常二重積分無界域上的反常二重積分是數(shù)學三的內(nèi)容。四、一類積分的應(yīng)用一類積分的應(yīng)用包括“尺寸”、質(zhì)量、重心和轉(zhuǎn)動慣量，為三重積分、格林公式和曲面投影作準備。五、級數(shù)概念級數(shù)的定義包括{an}和Sn=a1+a2+...，其中l(wèi)iman=0且limSnexists。級數(shù)的性質(zhì)包括收斂的必要條件是liman=0，加括號后發(fā)散則原級數(shù)必發(fā)散，以及伸縮級數(shù)。1+x+x^2,x∈(-1,1);1-x+x^2,x∈(-1,1)ln(1+x)=x-x^2+x^3/3,x∈(-1,1]ln(1-x)=-x-x^2-x^3/3,x∈[-1,1)arctanx=x-1/3x^3+1/5x^5-...,x∈[-1,1]2.分解：f(x)=g(x)+h(x)（注：中心移動）（特別地，對于ax^2+bx+c，x→x）3.考察導函數(shù)：g(x)f'(x)→f(x)=∫g(x)dx+f(0)4.考察原函數(shù)：g(x)∫f(x)dx→f(x)=g'(x)5.冪級數(shù)求和法（注：先求收斂域，變量替換）：(1)S(x)=∑anxn+∑bnx^n(2)S'(x)=∑nanx^(n-1)(注意首項變化)(3)S(x)=(∑anxn)'(求導得到冪級數(shù))(4)S(x)推導微分方程(5)應(yīng)用：∑an→∑anx=S(x)→∑an=S(1)6.方程的冪級數(shù)解法7.經(jīng)濟應(yīng)用（數(shù)學三）：(1)復利：A(1+p)^n(2)現(xiàn)值：A(1+p)^(-n)二.傅里葉級數(shù)（數(shù)學一）：(T=2π)1.傅里葉級數(shù)（三角級數(shù)）：S(x)=a0/2+∑(an*cos(nx)+bn*sin(nx))2.Dirichlet充分條件（收斂定理）：(1)由f(x)→S(x)（和函數(shù)）(2)S(x)=(1/2)[f(x-)+f(x+)]3.系數(shù)公式：an=(1/π)∫(-π)^πf(x)cos(nx)dxbn=(1/π)∫(-π)^πf(x)sin(nx)dx4.題型：（注：f(x)=S(x)，x∈？）(1)T=2π，f(x)=，x∈(-π,π]（分段表示）(2)x∈(-π,π]或x∈[0,2π](3)x∈[0,π]正弦或余弦*(4)x∈[0,π]（T=π）*(5)T=2l6.附產(chǎn)品：f(x)→S(x)=(1/2)[f(x-)+f(x+)]在這篇文章中，我們將學習三維空間中的幾何應(yīng)用和三重積分以及線面積分的相關(guān)知識。一、三維空間中的幾何應(yīng)用1.曲面(1)法向量：對于曲面F(x,y,z)=0，其法向量為n=(F_x,F_y,F_z)。對于曲面z=f(x,y)，其法向量為n=(f_x,f_y,-1)。(2)切平面與法線：切平面與法線分別為曲面上某一點的切平面和法向量。2.曲線(1)切向量：對于曲線x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，其切向量為s=(x',y',z')。(2)切線與法平面：切線為曲線上某一點的切線，法平面為切線與該點的法向量所確定的平面。3.綜合：對于曲面F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，其法向量分別為n1和n2，則它們的交線為曲線Γ，其切向量為s=n1×n2。二、方向?qū)?shù)與梯度1.方向?qū)?shù)：對于函數(shù)u=f(x,y,z)，其在方向l=(m,n,p)上的方向?qū)?shù)為du/dl=u_xcosα+u_ycosβ+u_zcosγ。2.梯度：對于函數(shù)u=f(x,y,z)，其梯度為G=gradu=(u_x,u_y,u_z)。其中，G(M)為函數(shù)u在點M處的最大變化率方向。三、三重積分1.特征：對于空間域Ω，其特征包括對稱性、投影法、截面法等。2.計算：對于函數(shù)f(x,y,z)，其三重積分為?Ωf(x,y,z)dV。3.方法：選擇最適合的方法進行計算，包括利用對稱性、截面法和投影法等。四、線面積分線面積分的計算與三重積分類似，需要選擇最適合的方法進行計算。常見的線面積分包括第一類曲線積分、第二類曲線積分和曲面積分等?？傊S空間中的幾何應(yīng)用、方向?qū)?shù)與梯度以及三重積分和線面積分都是數(shù)學中重要的概念和方法，對于解決實際問題具有重要意義。二.第一類線積分前置準備：1.ds=