《利用二分法求方程的近似解》

利用二分法求方程的近似解

如何更快地準確解決下邊的問題：如果有一天，三峽到西安的高壓線路出現(xiàn)故障，工程師應該怎樣檢測才能很快并且準確的發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)故障的地方？

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假設，在區(qū)間[-1,5]上，f(x)的圖像是一條連續(xù)的曲線，且f(-1)>0,f(5)<0即f(-1)f(5)<0，我們依如下方法可以求得方程f(x)=0的一個解。取[-1,5]的一個中點2，因為f(2)>0,f(5)<0,即f(2)f(5)<0,所以在區(qū)間[2,5]內(nèi)有方程的解，于是再取[2,5]的中點3.5，……如果取到某個區(qū)間的中點x0,恰好使f(x0)=0,則x0就是所求的一個解；如果區(qū)間中點的函數(shù)總不為0，那么，不斷重復上述操作，端點逐步逼近方程的解，可以求方程的近似解.-1f(x)yxO123451-1例1.利用二分法，求方程x2-2x-1=0的一個正實數(shù)解，（精確到0.1）解:令函數(shù)f(x)=x2-2x-1,可知,f(2)=-1,f(3)=2,即f(2)·f(3)<0

,所以方程x2-2x-1=0在[2,3]內(nèi)有正解.利用二分法縮小區(qū)間,列表計算如下:

次數(shù)左端點左端點函數(shù)值右端點右端點函數(shù)值第一次2-132第二次2-12.50.25第三次2.25-0.43752.50.25第四次2.375-0.1093752.50.25第五次2.375-0.1093752.43750.06640625由于|2.4375-2.375|=0.0625<0.1所以，方程的一個正實數(shù)解可取為2.4-1f(x)=x2-2x-1yxO123451-12例2、利用二分法，求方程x3-3x-1=0的一個正實數(shù)解（精確到0.1）次數(shù)左端點左端點函數(shù)值右端點右端點函數(shù)值第一次1-321第二次1.5-2.12521第三次1.75-0.89062521第四次1.875-0.033203121第五次1.875-0.03320311.93750.460693所以，方程的一個正實數(shù)解可取為1.9

解：作y=x3及y=3x+1的圖象,觀察圖象得,方程x3-3x-1=0在區(qū)間[1，2]內(nèi)有正解.利用二分法縮小區(qū)間,列表計算如下:

由于|1.875-1.9375|=0.0625<0.1-1yxO123451-12y=x3y=3x+1例2利用二分法，求方程lgx+x-3=0的近似解.（精確到0.1）解：作y=lgx及y=3-x的圖象,觀察圖象得,方程lgx+x-3=0在區(qū)間[2，3]內(nèi)有唯一解.令函數(shù)f(x)=lgx+x-3。利用二分法縮小區(qū)間,列表計算如下:次數(shù)左端點函數(shù)值判斷右端點函數(shù)值判斷第一次2f(2)<03f(3)>0第二次2.5f(2.5)<03f(3)>0第三次2.5f(2.5)<02.75f(2.75)>0第四次2.5f(2.5)<02.625f(2.625)>0第五次2.5625f(2.5625)<02.625f(2.625)>0由于|2.625-2.5625|=0.0625<0.1所以，方程lgx+x-3=0的近似解2.6

x12340y1y=lgxy=3-x1.初始區(qū)間是一個兩端函數(shù)值符號相反的區(qū)間2.“M”的意思是取新區(qū)間，其中一個端點是原區(qū)間端點，另一個端點是原區(qū)間的中點3.“N”的意思是方程的解滿足要求的精確度。抽象概括：利用二分法求方程實數(shù)解的過程選定初始區(qū)間是取區(qū)間的中點中點函數(shù)值為0MN否是否結(jié)束抽象概括：利用二分法求方程實數(shù)解的過程1.初始區(qū)間是一個兩端函數(shù)值符號相反的區(qū)間2.“M”的意思是取新區(qū)間，其中一個端點是原區(qū)間端點，另一個端點是原區(qū)間的中點3.“N”的意思是方程的解滿足要求的精確度。選定初始區(qū)間是取區(qū)間的中點中點函數(shù)值為0MN否是否結(jié)束2.二分法在求方程近似解的