初級(jí)中學(xué)幾何輔助線(xiàn)全套匯編

,.初中數(shù)學(xué)輔助線(xiàn)的添加淺談人們從來(lái)就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問(wèn)題的，當(dāng)問(wèn)題的條件精品文檔放心下載不夠時(shí)，添加輔助線(xiàn)構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立感謝閱讀已知與未知的橋梁，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問(wèn)題，這是解決問(wèn)題常用精品文檔放心下載的策略。一．添輔助線(xiàn)有二種情況：按定義添輔助線(xiàn)：如證明二直線(xiàn)垂直可延長(zhǎng)使它們 ,相交后證交角為 90°；證線(xiàn)段倍半關(guān)謝謝閱讀系可倍線(xiàn)段取中點(diǎn)或半線(xiàn)段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類(lèi)似添輔助線(xiàn)。精品文檔放心下載按基本圖形添輔助線(xiàn)：每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形，感謝閱讀添輔助線(xiàn)往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖謝謝閱讀形，因此“添線(xiàn)”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防止亂添線(xiàn)，添輔助線(xiàn)也有精品文檔放心下載規(guī)律可循。舉例如下：（1）平行線(xiàn)是個(gè)基本圖形：當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線(xiàn)時(shí)添輔助線(xiàn)的關(guān)鍵是添與二條平行線(xiàn)都相交的等謝謝閱讀第三條直線(xiàn)（2）等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形：當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線(xiàn)段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰三角感謝閱讀形。出現(xiàn)角平分線(xiàn)與平行線(xiàn)組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線(xiàn)與角的二邊相交得等腰三感謝閱讀角形。（3）等腰三角形中的重要線(xiàn)段是個(gè)重要的基本圖形：,.出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線(xiàn)；出現(xiàn)角平分線(xiàn)與垂線(xiàn)謝謝閱讀組合時(shí)可延長(zhǎng)垂線(xiàn)與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線(xiàn)段 的基本圖形。謝謝閱讀（4）直角三角形斜邊上中線(xiàn)基本圖形出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線(xiàn)。出現(xiàn)線(xiàn)段倍半關(guān)謝謝閱讀系且倍線(xiàn)段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線(xiàn)得直角三精品文檔放心下載角形斜邊上中線(xiàn)基本圖形。（5）三角形中位線(xiàn)基本圖形幾何問(wèn)題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)往往添加三角形中位線(xiàn)基本圖形進(jìn)行證明精品文檔放心下載當(dāng)有中點(diǎn)沒(méi)有中位線(xiàn)時(shí)則添中位線(xiàn)，當(dāng)有中位線(xiàn)三角形不完整時(shí)則需補(bǔ)完精品文檔放心下載整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線(xiàn)段倍半關(guān)系且與倍線(xiàn)段有公共端點(diǎn)的線(xiàn)段帶一個(gè)中點(diǎn)謝謝閱讀則可過(guò)這中點(diǎn)添倍線(xiàn)段的平行線(xiàn)得三角形中位線(xiàn)基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線(xiàn)段倍精品文檔放心下載半關(guān)系且與半線(xiàn)段的端點(diǎn)是某線(xiàn)段的中點(diǎn)，則可過(guò)帶中點(diǎn)線(xiàn)段的端點(diǎn)添半感謝閱讀線(xiàn)段的平行線(xiàn)得三角形中位線(xiàn)基本圖形。（6）全等三角形：全等三角形有軸對(duì)稱(chēng)形，中心對(duì)稱(chēng)形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)感謝閱讀兩條相等線(xiàn)段或兩個(gè)檔相等角關(guān)于某一直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)就可以添加軸對(duì)稱(chēng)形精品文檔放心下載全等三角形：或添對(duì)稱(chēng)軸，或?qū)⑷切窝貙?duì)稱(chēng)軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)感謝閱讀一組或兩組相等線(xiàn)段位于一組對(duì)頂角兩邊且成一直線(xiàn)時(shí)可添加中心對(duì)稱(chēng)形精品文檔放心下載全等三角形加以證明，添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過(guò)二端點(diǎn)添平行謝謝閱讀線(xiàn)（7）相似三角形：,.相似三角形有平行線(xiàn)型（帶平行線(xiàn)的相似三角形），相交線(xiàn)型，旋轉(zhuǎn)感謝閱讀型；當(dāng)出現(xiàn)相比線(xiàn)段重疊在一直線(xiàn)上時(shí)（中點(diǎn)可看成比為 1）可添加平行線(xiàn)謝謝閱讀得平行線(xiàn)型相似三角形。若平行線(xiàn)過(guò)端點(diǎn)添則可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線(xiàn)段謝謝閱讀為平行方向，這類(lèi)題目中往往有多種淺線(xiàn)方法。（8）特殊角直角三角形當(dāng)出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，謝謝閱讀利用45角直角三角形三邊比為 1：1：√2；30度角直角三角形三邊比為 1：謝謝閱讀2：√3進(jìn)行證明（9）半圓上的圓周角出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)，添 90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添謝謝閱讀它所對(duì)弦---直徑；平面幾何中總共只有二十多個(gè)基本圖形就像房子不外有感謝閱讀一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。二．基本圖形的輔助線(xiàn)的畫(huà)法1.三角形問(wèn)題添加輔助線(xiàn)方法方法1：有關(guān)三角形中線(xiàn)的題目，常將中線(xiàn)加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利謝謝閱讀用三角形的中位線(xiàn)，通過(guò)這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了精品文檔放心下載問(wèn)題。方法2：含有平分線(xiàn)的題目，常以角平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)精品文檔放心下載和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問(wèn)題。謝謝閱讀方法3：結(jié)論是兩線(xiàn)段相等的題目常畫(huà)輔助線(xiàn)構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于精品文檔放心下載平分線(xiàn)段的一些定理。方法4：結(jié)論是一條線(xiàn)段與另一條線(xiàn)段之和等于第三條線(xiàn)段這類(lèi)題目，常采感謝閱讀用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線(xiàn)段分成兩部分，證其中的一部分感謝閱讀等于第一條線(xiàn)段，而另一部分等于第二條線(xiàn)段。2.平行四邊形中常用輔助線(xiàn)的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線(xiàn)都具有精品文檔放心下載某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線(xiàn)方法上也有共同之處，目的都是造就線(xiàn)段的平行、謝謝閱讀垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方感謝閱讀形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：（1）連對(duì)角線(xiàn)或平移對(duì)角線(xiàn)：（2）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形（3）連接對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)作一邊的平行線(xiàn)，構(gòu)造精品文檔放心下載線(xiàn)段平行或中位線(xiàn)（4）連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線(xiàn)段或延長(zhǎng)這條線(xiàn)段，構(gòu)造三角形相似或等精品文檔放心下載積三角形。（5）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線(xiàn)的垂線(xiàn)，構(gòu)成線(xiàn)段平行或三角形全等.精品文檔放心下載3.梯形中常用輔助線(xiàn)的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過(guò)添加謝謝閱讀適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決。輔助線(xiàn)的謝謝閱讀添加成為問(wèn)題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線(xiàn)有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰（4）延長(zhǎng)兩腰（5）過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高（6）平移對(duì)角線(xiàn)（7）連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。（8）過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線(xiàn)。（9）作中位線(xiàn)當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線(xiàn)并不一定是固定不變的、單感謝閱讀一的。通過(guò)輔助線(xiàn)這座橋梁，將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)謝謝閱讀解決，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。4.圓中常用輔助線(xiàn)的添法在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，架起精品文檔放心下載題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問(wèn)題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活感謝閱讀掌握作輔助線(xiàn)的一般規(guī)律和常見(jiàn)方法，對(duì)提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是謝謝閱讀大有幫助的。（1）見(jiàn)弦作弦心距有關(guān)弦的問(wèn)題，常作其弦心距（有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑），通過(guò)垂徑平分精品文檔放心下載定理，來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。（2）見(jiàn)直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對(duì)的圓周角，利用"直徑所對(duì)的精品文檔放心下載圓周角是直角"這一特征來(lái)證明問(wèn)題。（3）見(jiàn)切線(xiàn)作半徑,.命題的條件中含有圓的切線(xiàn)，往往是連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用"切線(xiàn)與半徑精品文檔放心下載垂直"這一性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。（4）兩圓相切作公切線(xiàn)對(duì)兩圓相切的問(wèn)題，一般是經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線(xiàn)或作它們的連心線(xiàn)，通感謝閱讀過(guò)公切線(xiàn)可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。（5）兩圓相交作公共弦對(duì)兩圓相交的問(wèn)題，通常是作出公共弦，通過(guò)公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái)，又可以謝謝閱讀把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來(lái)。,.作輔助線(xiàn)的方法一：中點(diǎn)、中位線(xiàn)，延線(xiàn)，平行線(xiàn)。如遇條件中有中點(diǎn)，中線(xiàn)、中位線(xiàn)等，那么過(guò)中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線(xiàn)或中位線(xiàn)作輔助線(xiàn)，使延精品文檔放心下載長(zhǎng)的某一段等于中線(xiàn)或中位線(xiàn)；另一種輔助線(xiàn)是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線(xiàn)段的平行線(xiàn)，以達(dá)到應(yīng)謝謝閱讀用某個(gè)定理或造成全等的目的。二：垂線(xiàn)、分角線(xiàn)，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線(xiàn)或角的平分線(xiàn)，可以把圖形按軸對(duì)稱(chēng)的方法，并借助其他條件，而感謝閱讀旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，，這時(shí)輔助線(xiàn)的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱(chēng)軸往往是垂線(xiàn)或角的感謝閱讀平分線(xiàn)。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定精品文檔放心下載的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線(xiàn)的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱(chēng)中心，因題而異，有謝謝閱讀時(shí)沒(méi)有中心。故可分“有心”和“無(wú)心”旋轉(zhuǎn)兩種。四:造角、平、相似，和、差、積、商見(jiàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線(xiàn)段或角的和差積商，往往與相似形精品文檔放心下載有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角；精品文檔放心下載第二，是把三角形中的某一線(xiàn)段進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見(jiàn)?！敝x謝閱讀托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線(xiàn)分別是造角和平移的代表）謝謝閱讀五：兩圓若相交，連心公共弦。,.如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線(xiàn)往往是連心線(xiàn)或公共弦。謝謝閱讀六：兩圓相切、離，連心，公切線(xiàn)。如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或相離（內(nèi)含、外離），那么，輔助線(xiàn)往往是連精品文檔放心下載心線(xiàn)或內(nèi)外公切線(xiàn)。七：切線(xiàn)連直徑，直角與半圓。如果條件中出現(xiàn)圓的切線(xiàn)，那么輔助線(xiàn)是過(guò)切點(diǎn)的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件謝謝閱讀中是圓的直徑，半徑，那么輔助線(xiàn)是過(guò)直徑（或半徑）端點(diǎn)的切線(xiàn)。即切線(xiàn)與直徑互為輔助感謝閱讀線(xiàn)。如果條件中有直角三角形，那么作輔助線(xiàn)往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，精品文檔放心下載條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角——直角為輔助線(xiàn)。即直角與半圓互為輔助線(xiàn)。謝謝閱讀八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，則弧上的弦是輔助線(xiàn)；如遇弦，則弦心距為輔助線(xiàn)。精品文檔放心下載如遇平行線(xiàn)，則平行線(xiàn)間的距離相等，距離為輔助線(xiàn)；反之，亦成立。感謝閱讀如遇平行弦，則平行線(xiàn)間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助謝謝閱讀線(xiàn)，反之，亦成立。有時(shí)，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線(xiàn)。感謝閱讀九：面積找底高，多邊變?nèi)?。如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線(xiàn)段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或感謝閱讀高為輔助線(xiàn)，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。,.如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。另外，我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線(xiàn)的做法，即“割補(bǔ)”有二百多種，感謝閱讀大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀薄?.三角形中作輔助線(xiàn)的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線(xiàn)段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)精品文檔放心下載或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線(xiàn)段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三謝謝閱讀角形三邊的不等關(guān)系證明，如：1：已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.精品文檔放心下載證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE;（1）在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋ECAAGFDEMNDEB圖11CB圖12C,.（法二：）如圖1-2，延長(zhǎng)BD交AC于F，延長(zhǎng)CE交BF于G，謝謝閱讀在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB＋AF＞BD＋DG＋GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）精品文檔放心下載GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………（2）謝謝閱讀DG＋GE＞DE（同上）……（3）感謝閱讀由（1）＋（2）＋（3）得：AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE感謝閱讀∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連感謝閱讀接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，謝謝閱讀小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：∠BDC＞∠BAC。感謝閱讀分析：因?yàn)椤螧DC與∠BAC不在同一個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系， A感謝閱讀可適當(dāng)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠ G E謝謝閱讀DBAC處于在內(nèi)角的位置；B F C圖2 1證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)∠BDC是△EDC的外角，謝謝閱讀∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC精品文檔放心下載證法二：連接AD，并延長(zhǎng)交BC于F,.∵∠BDF是△ABD的外角∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD即：∠BDC＞∠BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角謝謝閱讀放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線(xiàn)時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)A造全等三角形，如：NEF例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線(xiàn)，且∠1＝∠2,∠3＝∠1234CBD4,求證：BE＋CF＞EF。圖31分析：要證BE＋CF＞EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須感謝閱讀把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的兩邊截取相精品文檔放心下載等的線(xiàn)段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同一個(gè)三角形中。謝謝閱讀證明：在DA上截取DN＝DB，連接NE，NF，則DN＝DC，感謝閱讀在△DBE和△DNE中：DNDB(輔助線(xiàn)的作法)12(已知)EDED(公共邊)∴△DBE≌△DNE （SAS）,.∴BE＝NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF＝NF在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形兩邊之和大于第三邊）謝謝閱讀∴BE＋CF＞EF。注意：當(dāng)證題有角平分線(xiàn)時(shí)，常可考慮在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，然后感謝閱讀用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)元素相等。四、有以線(xiàn)段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形。感謝閱讀例如：如圖4-1：AD為△ABC的中線(xiàn)，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：BE＋CF＞EF謝謝閱讀證明：延長(zhǎng)ED至M，使DM=DE，連接ACM，MF。在△BDE和△CDM中， E FBDCD(中點(diǎn)的定義)1234C∵1CDM(對(duì)頂角相等)BDEDMD(輔助線(xiàn)的作法)圖41M∴△BDE≌△CDM （SAS）又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定義）∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90°∴∠FDM＝∠EDF＝90°,.在△EDF和△MDF中EDMD(輔助線(xiàn)的作法)EDFFDM(已證)DFDF(公共邊)感謝閱讀∴△EDF≌△MDF （SAS）∴EF＝MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形兩邊之和大于第三邊）謝謝閱讀∴BE＋CF＞EF注：上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線(xiàn)段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，精品文檔放心下載使題中分散的條件集中。五、有三角形中線(xiàn)時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形。精品文檔放心下載例如：如圖5-1：AD為△ABC的中線(xiàn)，求證：AB＋AC＞2AD。感謝閱讀分析：要證AB＋AC＞2AD，由圖想到：AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC謝謝閱讀＋BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左邊比要證結(jié)論多BD＋ACD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即精品文檔放心下載加倍中線(xiàn)，把所要證的線(xiàn)段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。B D C證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE謝謝閱讀E＝2AD,.∵AD為△ABC的中線(xiàn) （已知）∴BD＝CD （中線(xiàn)定義）在△ACD和△EBD中BDCD(已證)ADCEDB(對(duì)頂角相等)圖51ADED(輔助線(xiàn)的作法)感謝閱讀∴△ACD≌△EBD （SAS）∴BE＝CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形兩邊之和大于第三精品文檔放心下載邊）

EFAB D C圖52∴AB＋AC＞2AD。（常延長(zhǎng)中線(xiàn)加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)：已知△ABC，AD是BC邊上的中線(xiàn)，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰精品文檔放心下載直角三角形，如圖5-2，求證EF＝2AD。六、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線(xiàn)。例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P精品文檔放心下載A為AD上任一點(diǎn)。求證：AB－AC＞PB－PC。12NPCDB圖61M,.分析：要證：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因?yàn)橛C的是線(xiàn)段謝謝閱讀之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB－AC，故可在AB上截取AN等謝謝閱讀于AC，得AB－AC＝BN，再連接PN，則PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：精品文檔放心下載AB－AC＞PB－PC。證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取AN＝AC連接PN, 在△APN和△APC中謝謝閱讀ANAC(輔助線(xiàn)的作法)12(已知)APAP(公共邊)∴△APN≌△APC（SAS）∴PC＝PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△BPN中，有PB－PN＜BN（三角形兩邊之差小于第三邊）謝謝閱讀∴BP－PC＜AB－AC證明：（補(bǔ)短法） 延長(zhǎng)AC至M，使AM＝AB，連接PM，謝謝閱讀在△ABP和△AMP中ABAM(輔助線(xiàn)的作法)12(已知)APAP(公共邊)∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB＝PM （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）,.又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形兩邊之差小于第三邊)感謝閱讀∴AB－AC＞PB－PC。七、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B， 求證：AD＝BC謝謝閱讀分析：欲證AD＝BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：△ADC與△BCD，精品文檔放心下載△AOD與△BOC，△ABD與△BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無(wú)法證全等，差角的相等，因此可感謝閱讀設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng)DA，CB，它們的延長(zhǎng)交于E點(diǎn)，感謝閱讀∵AD⊥AC BC⊥BD （已知）

EAB∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定義）O在△DBE與△CAE中DC圖71EE(公共角)DBECAE(已證)BDAC(已知)精品文檔放心下載∴△DBE≌△CAE （AAS）∴ED＝EC EB＝EA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∴ED－EA＝EC－EB即：AD＝BC。,.（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過(guò)添加輔助線(xiàn)得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）謝謝閱讀八、連接四邊形的對(duì)角線(xiàn)，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。感謝閱讀例如：如圖8-1：AB∥CD，AD∥BC 求證：AB=CD。謝謝閱讀分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決。精品文檔放心下載證明：連接AC（或BD）∵AB∥CD AD∥BC （已知）∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）精品文檔放心下載A3D在△ABC與△CDA中112(已證)42∵B圖81CACCA(公共邊)34(已證)∴△ABC≌△CDA （ASA）∴AB＝CD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）九、有和角平分線(xiàn)垂直的線(xiàn)段時(shí)，通常把這條線(xiàn)段延長(zhǎng)。例如：如圖9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延長(zhǎng)于E。感謝閱讀求證：BD＝2CEF分析：要證BD＝2CE，想到要構(gòu)造線(xiàn)段2CE，同時(shí)CE精品文檔放心下載A ED12B C圖91,.與∠ABC的平分線(xiàn)垂直，想到要將其延長(zhǎng)。證明：分別延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F?！連E⊥CF （已知）∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定義）在△BEF與△BEC中，12(已知)BEBE(公共邊)BEFBEC(已證)∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=1CF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）謝謝閱讀2∵∠BAC=90° BE⊥CF（已知）∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°感謝閱讀∴∠BDA＝∠BFC在△ABD與△ACF中BACCAF(已證)BDABFC(已證)AB＝AC(已知)∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD＝CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∴BD＝2CE精品文檔放心下載十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點(diǎn)，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A＝∠謝謝閱讀,.D。分析：要證∠A＝∠D，可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和對(duì)精品文檔放心下載頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB＝DC，感謝閱讀AC＝BD，若連接BC，則△ABC和△DCB全等，所以，證得∠A＝∠D。感謝閱讀證明：連接BC，在△ABC和△DCB中ADOABDC(已知)∵BCACDB(已知)圖101BCCB(公共邊)∴△ABC≌△DCB(SSS)∴∠A＝∠D (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)十一、取線(xiàn)段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1：AB＝DC，∠A＝∠D求證：∠ABC＝∠DCB。感謝閱讀分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公理有△謝謝閱讀ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需證∠NBC＝∠NCB，再取BC的中點(diǎn)精品文檔放心下載M，連接MN，則由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。問(wèn)題得證。精品文檔放心下載證明：取AD，BC的中點(diǎn)N、M，連接NB，NM，NC。則NADAN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中∵ANDN(輔助線(xiàn)的作法)BMCAD(已知)圖111ABDC(已知),.∴△ABN≌△DCN （SAS）∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）謝謝閱讀在△NBM與△NCM中NB＝NC(已證)BM＝CM(輔助線(xiàn)的作法)NM＝NM(公共邊)∴△NMB≌△NCM，(SSS)∴∠NBC＝∠NCB（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∴∠NBC＋∠ABN＝精品文檔放心下載∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。,.巧求三角形中線(xiàn)段的比值1.如圖1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。感謝閱讀解：過(guò)點(diǎn)D作DG//AC，交BF于點(diǎn)G所以DG：FC＝BD：BC因?yàn)锽D：DC＝1：3 所以BD：BC＝1：4DG：FC＝1：4，F(xiàn)C＝4DG因?yàn)镈G：AF＝DE：AE 又因?yàn)锳E：ED＝2：3感謝閱讀所以DG：AF＝3：2即

所以AF：FC＝

：4DG

＝1：62.如圖2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD感謝閱讀解：過(guò)點(diǎn)C作CG//DE交AB于點(diǎn)G，則有EF：GC＝AF：AC感謝閱讀因?yàn)锳F＝FC 所以AF：AC＝1：2即EF：GC＝1：2，因?yàn)镃G：DE＝BC：BD所以BC：BD＝1：2

又因?yàn)锽C＝CDCG：DE＝1：2

即DE＝2GC因?yàn)镕D＝ED－EF＝ 所以EF：FD＝小結(jié)：以上兩例中，輔助線(xiàn)都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線(xiàn)段的交點(diǎn)處，且所作的輔助線(xiàn)與結(jié)論中出現(xiàn)的線(xiàn)段平行。請(qǐng)?jiān)倏磧衫?，讓我們感受其中的奧妙！感謝閱讀,.3.如圖3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。謝謝閱讀解：過(guò)點(diǎn)B作BG//AD，交CE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G。謝謝閱讀所以DF：BG＝CD：CB因?yàn)锽D：DC＝1：3 所以CD：CB＝3：4即DF：BG＝3：4，因?yàn)锳F：BG＝AE：EB又因?yàn)锳E：EB＝2：3所以AF：BG＝2：3 即所以AF：DF＝4.如圖4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。感謝閱讀解：過(guò)點(diǎn)D作DG//CE，交AB于點(diǎn)G所以EF：DG＝AF：AD因?yàn)锳F＝FD所以AF：AD＝1：2圖4即EF：DG＝1：2因?yàn)镈G：CE＝BD：BC，又因?yàn)锽D：CD＝1：3，所以BD：BC＝1：4即DG：CE＝1：4，CE＝4DG精品文檔放心下載因?yàn)镕C＝CE－EF＝所以EF：FC＝ ＝1：7,.練習(xí)：如圖5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。感謝閱讀如圖6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。感謝閱讀答案：1、1：10；2.9：1,.初中幾何輔助線(xiàn)一初中幾何常見(jiàn)輔助線(xiàn)口訣人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線(xiàn)。輔助線(xiàn)，如何添？把握定理和概念。謝謝閱讀還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形圖中有角平分線(xiàn)，可向兩邊作垂線(xiàn)。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。謝謝閱讀角平分線(xiàn)平行線(xiàn)，等腰三角形來(lái)添。角平分線(xiàn)加垂線(xiàn)，三線(xiàn)合一試試看。感謝閱讀線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)，常向兩端把線(xiàn)連。線(xiàn)段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。感謝閱讀線(xiàn)段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線(xiàn)。感謝閱讀三角形中有中線(xiàn)，延長(zhǎng)中線(xiàn)等中線(xiàn)。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱(chēng)中心等分點(diǎn)。梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱汀?。謝謝閱讀平移腰，移對(duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線(xiàn)。感謝閱讀上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線(xiàn)段，添線(xiàn)平行成習(xí)慣。謝謝閱讀等積式子比例換，尋找線(xiàn)段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。感謝閱讀斜邊上面作高線(xiàn)，比例中項(xiàng)一大片。圓形半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。圓上若有一切線(xiàn)，切點(diǎn)圓心半徑連。感謝閱讀切線(xiàn)長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線(xiàn)，半徑垂線(xiàn)仔細(xì)辨。精品文檔放心下載是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。感謝閱讀,.圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線(xiàn)弦，同弧對(duì)角等找完。感謝閱讀要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線(xiàn)。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線(xiàn)夢(mèng)圓精品文檔放心下載如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線(xiàn)。謝謝閱讀若是添上連心線(xiàn)，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。謝謝閱讀注意點(diǎn)輔助線(xiàn)，是虛線(xiàn)，畫(huà)圖注意勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。感謝閱讀基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。謝謝閱讀切勿盲目亂添線(xiàn)，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。精品文檔放心下載虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線(xiàn)。二由角平分線(xiàn)想到的輔助線(xiàn)口訣：圖中有角平分線(xiàn)，可向兩邊作垂線(xiàn)。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角謝謝閱讀平分線(xiàn)平行線(xiàn)，等腰三角形來(lái)添。角平分線(xiàn)加垂線(xiàn)，三線(xiàn)合一試試看。感謝閱讀角平分線(xiàn)具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱(chēng)性；b、角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離謝謝閱讀相等。對(duì)于有角平分線(xiàn)的輔助線(xiàn)的作法，一般有兩種。①?gòu)慕瞧椒志€(xiàn)上一點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)；②利用角平分線(xiàn)，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。謝謝閱讀通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線(xiàn)；其它情況下謝謝閱讀考慮構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。謝謝閱讀,.與角有關(guān)的輔助線(xiàn)EA（一）、截取構(gòu)全等ODC幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與F猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能圖1-1B掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問(wèn)題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。感謝閱讀下面就幾何中常見(jiàn)的定理所涉及到的輔助線(xiàn)作以介紹。如圖1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△感謝閱讀OFD，從而為我們證明線(xiàn)段、角相等創(chuàng)造了條AE件。例1．如圖1-2，AB//CD，BE平分∠BCBFD，CE平分∠BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC圖1-2=AB+CD。分析：此題中就涉及到角平分線(xiàn)，可以利用角平分線(xiàn)來(lái)構(gòu)造全等三角形，即精品文檔放心下載利用解平分線(xiàn)來(lái)構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)圖形，同時(shí)此題也是證明線(xiàn)段的和差倍分問(wèn)題，在證謝謝閱讀明線(xiàn)段的和差倍分問(wèn)題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來(lái)證明，延長(zhǎng)短的線(xiàn)段謝謝閱讀或在長(zhǎng)的線(xiàn)段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線(xiàn)段。但無(wú)論延長(zhǎng)還是截取都要證明線(xiàn)感謝閱讀段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線(xiàn)段與某條線(xiàn)段相等，截取要證明截取后剩下的精品文檔放心下載線(xiàn)段與某條線(xiàn)段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線(xiàn)段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達(dá)到精品文檔放心下載證明的目的。這里面用到了角平分線(xiàn)來(lái)構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。精品文檔放心下載此題的證明也可以延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)來(lái)證明。自已試一試。感謝閱讀

DC,.例2．已知：如圖1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證DC⊥精品文檔放心下載AC分析：此題還是利用角平分線(xiàn)來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線(xiàn)段相等。其它問(wèn)題自已證明。 ACEDB 圖1-3例3．已知：如圖1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：AB感謝閱讀-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線(xiàn)，在證明A中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線(xiàn)段的和差倍分問(wèn)題。用到的是截取法來(lái)證明的，在長(zhǎng)的E線(xiàn)段上截取短的線(xiàn)段，來(lái)證明。試試看可否把短的BCD延長(zhǎng)來(lái)證明呢？圖1-4練習(xí)1． 已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC感謝閱讀2． 已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=謝謝閱讀2AC，求證：AE=2CE3．已知：在△ABC中，AB>AC,AD為∠BAC的平分線(xiàn)，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BM-CM>AB-AC精品文檔放心下載,.4． 已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分線(xiàn)AD上的任一點(diǎn)，連接D謝謝閱讀B、DC。求證：BD+CD>AB+AC。（二）、角分線(xiàn)上點(diǎn)向角兩邊作垂線(xiàn)構(gòu)全等過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)向角兩邊作垂線(xiàn)，利用角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明謝謝閱讀問(wèn)題。例1．如圖2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=精品文檔放心下載BC。

ADE FB求證：∠ADC+∠B=180C圖2-1分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線(xiàn)。近而證∠ADC與∠B之和為平角。謝謝閱讀例2．如圖2-2，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。精品文檔放心下載求證：BC=AB+ADA分析：過(guò)D作DE⊥BC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu) D謝謝閱讀造出全等三角形，從而得證。此題是證明線(xiàn)段的和差倍分 B C謝謝閱讀E圖2-2問(wèn)題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3．已知如圖2-3，△ABC的角平分線(xiàn)BM、CN相交于精品文檔放心下載點(diǎn)P。求證：∠BAC的平分線(xiàn)也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。 A分析：連接AP，證AP平分∠BAC即可，也就是證P到精品文檔放心下載NAB、AC的距離相等。 D MFB

P圖2-3 C,.練習(xí)：1．如圖2-4∠AOP=∠BOP=15，PC//OA，P精品文檔放心下載D⊥OA，如果PC=4，則PD=（ ）

BCPOA圖2-4DA 4 B 3 C 2 D 12．已知在△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，CD=感謝閱讀1.5,DB=2.5.求AC。3．已知：如圖2-5,∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，謝謝閱讀

A1AE=2（AB+AD）.求證：∠D+∠B=180。精品文檔放心下載

DEB C圖2-54.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC感謝閱讀上的點(diǎn)，∠FAE=∠DAE。求證：AF=AD+CF。謝謝閱讀5．已知：如圖2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90,CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠CAB交CD于F，過(guò)F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH。精品文檔放心下載AD

CEEFHB圖2-6FCADB圖2-7,.（三）：作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，感謝閱讀垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線(xiàn)又成為底邊上的中線(xiàn)和高，以利用中位線(xiàn)的性質(zhì)與等腰三精品文檔放心下載角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線(xiàn)的線(xiàn)段，則延長(zhǎng)該線(xiàn)段與角的另一精品文檔放心下載邊相交）。例1．已知：如圖3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD感謝閱讀于D，H是BC中點(diǎn)。求證：DH=1（AB-AC）謝謝閱讀2

A分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問(wèn)題可證。DCEBH圖示3-1F例2．已知：如圖3-2，AB=AC，∠BAC=90，AD為∠精品文檔放心下載ABC的平分線(xiàn)，CE⊥BE.求證：BD=2CE。

AD EB分析：給出了角平分線(xiàn)給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線(xiàn)的圖3-2C垂線(xiàn)，可延長(zhǎng)此垂線(xiàn)與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。謝謝閱讀3．已知：如圖3-3在△ABC中，AD、AE分別∠BAC的內(nèi)、外角平分線(xiàn)，過(guò)頂點(diǎn)B作BFAD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連結(jié)FC并延長(zhǎng)交AE于M。謝謝閱讀

AMBDCE求證：AM=ME。FN圖3-3分析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角平分線(xiàn)，可得EA⊥AF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線(xiàn)段證相等。,.例4．已知：如圖3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD精品文檔放心下載交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于M。求證：AM=1（AB+AC）感謝閱讀2分析：題設(shè)中給出了角平分線(xiàn)AD，自然想到以AD為軸作對(duì)稱(chēng)變換，作△謝謝閱讀ABD關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)△AED，然后只需證DM=1EC，謝謝閱讀2另外由求證的結(jié)果AM=1（AB+AC），即2AM=A謝謝閱讀2B+AC，也可嘗試作△ACM關(guān)于CM的對(duì)稱(chēng)△FCM，精品文檔放心下載然后只需證DF=CF即可。

AEFDnCB圖3-4練習(xí)：1．已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點(diǎn)，AE是∠BAC的平分線(xiàn)，且CE⊥AE于E，連接DE，求DE。謝謝閱讀2． 已知BE、BF分別是△ABC的∠ABC的內(nèi)角與外角的平分線(xiàn)，AF⊥B謝謝閱讀F于F，AE⊥BE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=1BC謝謝閱讀2（四）、以角分線(xiàn)上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線(xiàn)有角平分線(xiàn)時(shí)，常過(guò)角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線(xiàn)，從而構(gòu)造等腰精品文檔放心下載三角形?；蛲ㄟ^(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線(xiàn)的平行線(xiàn)與另外一邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交，謝謝閱讀從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。精品文檔放心下載CAHIDFECGBAB圖4-2圖4-1,.例4 如圖，AB>AC,∠1=∠2，求證：AB－AC>BD－CD。謝謝閱讀CA 1 D2B例5 如圖，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求證：∠A+∠C=180。謝謝閱讀AB DC例6 如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB精品文檔放心下載D C+CD。EA B練習(xí)：,.已知，如圖，∠C=2∠A，AC=2BC。求證：△ABC是直角三角形。精品文檔放心下載CAB2．已知：如圖，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求證：DC⊥AC精品文檔放心下載A12CB D3．已知CE、AD是△ABC的角平分線(xiàn)，∠B=60°，求證：AC=AE+CD感謝閱讀AEB D C4．已知：如圖在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，求證：BC=AB+AD謝謝閱讀ADB C,.三由線(xiàn)段和差想到的輔助線(xiàn)口訣：線(xiàn)段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線(xiàn)段和差不等式，移到同一三角去。謝謝閱讀遇到求證一條線(xiàn)段等于另兩條線(xiàn)段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：謝謝閱讀1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線(xiàn)段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等感謝閱讀于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線(xiàn)段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線(xiàn)段，然后證明新線(xiàn)謝謝閱讀段等于長(zhǎng)線(xiàn)段。對(duì)于證明有關(guān)線(xiàn)段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線(xiàn)段之和大于第感謝閱讀三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。精品文檔放心下載一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線(xiàn)段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可謝謝閱讀連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線(xiàn)段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，精品文檔放心下載再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+AC>BD+DE+CE.感謝閱讀證明：（法一）A將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N，M D E N在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）感謝閱讀B C圖1 1,.在△BDM中，MB+MD>BD；（2）在△CEN中，CN+NE>CE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE謝謝閱讀∴AB+AC>BD+DE+ECA（法二：圖1-2）G延長(zhǎng)BD交AC于F，廷長(zhǎng)CE交BF于G，在△ABFDEB圖12和△GFC和△GDE中有：AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）…（1）精品文檔放心下載GF+FC>GE+CE（同上）（2）ADG+GE>DE（同上）（3）G由（1）+（2）+（3）得：DAB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+BF圖21DE

FCEC∴AB+AC>BD+DE+EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：感謝閱讀例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：∠BDC>∠BAC。謝謝閱讀分析：因?yàn)椤螧DC與∠BAC不在同個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添精品文檔放心下載加輔助線(xiàn)構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位感謝閱讀置；,.證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)∠BDC是△EDC的外角，感謝閱讀∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC謝謝閱讀證法二：連接AD，并廷長(zhǎng)交BC于F，這時(shí)∠BDF是△ABD的感謝閱讀外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF+精品文檔放心下載∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。精品文檔放心下載注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外精品文檔放心下載角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。謝謝閱讀三、有角平分線(xiàn)時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，謝謝閱讀如：A例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線(xiàn)，且∠1=N∠2,∠3=∠4,求證：BE+CF>EF。EF分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定1234CBD理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由圖31已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。謝謝閱讀證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，感謝閱讀在△DBE和△NDE中：DN=DB（輔助線(xiàn)作法）∠1=∠2（已知）ED=ED（公共邊）∴△DBE≌△NDE（SAS）,.∴BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在△EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）謝謝閱讀∴BE+CF>EF。注意：當(dāng)證題有角平分線(xiàn)時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全感謝閱讀等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線(xiàn)。例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P為AD謝謝閱讀上任一點(diǎn)求證：AB-AC>PB-PC。分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線(xiàn)段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在△PNB中，PB-PN<BN，感謝閱讀即：AB-AC>PB-PC。證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取AN=AC連接PN,在△APN和△APC中感謝閱讀AN=AC（輔助線(xiàn)作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）感謝閱讀∵在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）謝謝閱讀,.∴BP-PC<AB-AC證明：（補(bǔ)短法）A延長(zhǎng)AC至M，使AM=AB，連接PM，12PNCD在△ABP和△AMP中MB圖61AB=AM（輔助線(xiàn)作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB=PM（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊)感謝閱讀∴AB-AC>PB-PC。1．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD精品文檔放心下載A D+BE。E CB2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=感謝閱讀2AE，求證：∠ADC+∠B=180oDCA E B,.3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分A感謝閱讀BC。求證：BC=AB+DC。ADB C4如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分線(xiàn)，DM⊥感謝閱讀1 AAB于M，且AM=MB。求證：CD=2DB。 M謝謝閱讀C D B1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+C感謝閱讀D。D CEA B,.2.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過(guò)A的一條直線(xiàn)，且B，精品文檔放心下載C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求證：BD=DE+CE感謝閱讀四由中點(diǎn)想到的輔助線(xiàn)口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線(xiàn)。三角形中有中線(xiàn)，延長(zhǎng)中線(xiàn)等中線(xiàn)。感謝閱讀在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到感謝閱讀三角形的中線(xiàn)、中位線(xiàn)、加倍延長(zhǎng)中線(xiàn)及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線(xiàn)性質(zhì)、謝謝閱讀等腰三角形底邊中線(xiàn)性質(zhì)），然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。精品文檔放心下載（一）、中線(xiàn)把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，AD是ΔABC的中線(xiàn)，則SΔABD=SΔACD= SΔABC（因?yàn)棣BD與精品文檔放心下載ΔACD是等底同高的）。1．如圖2，ΔABC中，AD是中線(xiàn)，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，DF是精品文檔放心下載ΔDCE的中線(xiàn)。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。精品文檔放心下載,.解：因?yàn)锳D是ΔABC的中線(xiàn)，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中線(xiàn)，故SΔCDE=SΔACD=1，謝謝閱讀DF是ΔCDE的中線(xiàn)，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。感謝閱讀∴ΔCDF的面積為。（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線(xiàn)例2．如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交EF的延長(zhǎng)線(xiàn)G、H。求證：∠BGE=∠CHE。謝謝閱讀證明：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF，感謝閱讀∵M(jìn)E是ΔBCD的中位線(xiàn)，∴ME CD，∴∠MEF=∠CHE，∵M(jìn)F是ΔABD的中位線(xiàn)，∴MF AB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，從而∠BGE=∠CHE。,.（三）、由中線(xiàn)應(yīng)想到延長(zhǎng)中線(xiàn)3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線(xiàn)AD=2，求BC的長(zhǎng)。感謝閱讀解：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。感謝閱讀在ΔACD和ΔEBD中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，從而B(niǎo)E=AC=3。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，精品文檔放心下載∴BD= = = ，故BC=2BD=2 。4．如圖5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，AD又是BC邊上的中線(xiàn)。求證：ΔABC是等腰三角形。謝謝閱讀證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD。仿例3可證：ΔBED≌ΔCAD，EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。精品文檔放心下載,.（四）、直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)5．如圖6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：謝謝閱讀AC=BD。證明：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線(xiàn)，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。精品文檔放心下載∵AB//DC，∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∴∠1=∠2，在ΔADE和ΔBCE中，∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。感謝閱讀（五）、角平分線(xiàn)且垂直一線(xiàn)段，應(yīng)想到等腰三角形的中線(xiàn)精品文檔放心下載6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。精品文檔放心下載證明：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，在ΔBEF和ΔBEC中，感謝閱讀∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，謝謝閱讀∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。謝謝閱讀又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，感謝閱讀,.∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。精品文檔放心下載注：此例中BE是等腰ΔBCF的底邊CF的中線(xiàn)。感謝閱讀（六）中線(xiàn)延長(zhǎng)口訣：三角形中有中線(xiàn)，延長(zhǎng)中線(xiàn)等中線(xiàn)。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線(xiàn)，常延長(zhǎng)加倍此線(xiàn)段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可精品文檔放心下載得到全等三角形。例一：如圖4-1：AD為△ABC的中線(xiàn)，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+C精品文檔放心下載F>EF。A證明：廷長(zhǎng)ED至M，使DM=DE，連接CM，EFMF。在△BDE和△CDM中，234BD=CD（中點(diǎn)定義）1CBD∠1=∠5（對(duì)頂角相等）ED=MD（輔助線(xiàn)作法）圖41M∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定義）∴∠3+∠2=90°即：∠EDF=90°∴∠FDM=∠EDF=90°在△EDF和△MDF中ED=MD（輔助線(xiàn)作法）,.∠EDF=∠FDM（已證）DF=DF（公共邊）∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF=MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）感謝閱讀∴BE+CF>EF上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線(xiàn)段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線(xiàn)段，構(gòu)感謝閱讀造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：AD為△ABC的中線(xiàn)，求證：AB+AC>2AD。感謝閱讀分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線(xiàn)，把所要證的線(xiàn)段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去謝謝閱讀證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，CE感謝閱讀A∵AD為△ABC的中線(xiàn)（已知）∴BD=CD（中線(xiàn)定義）DB在△ACD和△EBD中BD=CD（已證）E∠1=∠2（對(duì)頂角相等）圖51AD=ED（輔助線(xiàn)作法）∴△ACD≌△EBD（SAS）

C,.∴BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）感謝閱讀∴AB+AC>2AD。練習(xí)：如圖，AB=6，AC=8，D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍。謝謝閱讀A6 8B D C2 如圖，AB=CD，E為BC的中點(diǎn)，∠BAC=∠BCA，求證：AD=2AE。感謝閱讀AB E C D3 如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點(diǎn)，∠BAC=∠DAE=90°。求證：精品文檔放心下載AM⊥DC。AB M CD D EDD,.4，已知△ABC，AD是BC邊上的中線(xiàn)，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。感謝閱讀EFAB D C圖5 25．已知：如圖AD為△ABC的中線(xiàn)，AE=EF，求證：BF=ACA精品文檔放心下載EF五全等三角形輔助線(xiàn)BDC找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線(xiàn)段（或角）分別在哪兩個(gè)可精品文檔放心下載能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等；謝謝閱讀（3）從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等；謝謝閱讀（4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形。感謝閱讀三角形中常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法：①延長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形；②利用翻折，構(gòu)造全等三角形；,.③引平行線(xiàn)構(gòu)造全等三角形；④作連線(xiàn)構(gòu)造等腰三角形。常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法有以下幾種：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”．感謝閱讀遇到三角形的中線(xiàn)，倍長(zhǎng)中線(xiàn)，使延長(zhǎng)線(xiàn)段與原中線(xiàn)長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．感謝閱讀遇到角平分線(xiàn)，可以自角平分線(xiàn)上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理或逆定理．謝謝閱讀過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”感謝閱讀截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線(xiàn)段上截取一條線(xiàn)段與特定線(xiàn)段相等，或是將某條線(xiàn)段延長(zhǎng)，是之與特定線(xiàn)段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明．這種作法，適合于證明線(xiàn)段的和、差、倍、分等類(lèi)的題目．感謝閱讀特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類(lèi)的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線(xiàn)段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答．謝謝閱讀（一）、倍長(zhǎng)中線(xiàn)（線(xiàn)段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線(xiàn)AD的取值范圍是謝謝閱讀A_________.B D C,.2：如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比感謝閱讀較BE+CF與EF的大小. AEFB D C3：如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分∠BA感謝閱讀E.AB D E C中考應(yīng)用（09崇文二模）以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和精品文檔放心下載等腰RtACE，BADCAE90,連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．探感謝閱讀究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是精品文檔放心下載，線(xiàn)段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖①中的等腰RtABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0<<90)后，感謝閱讀如圖②所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由．謝謝閱讀,.（二）、截長(zhǎng)補(bǔ)短1.如圖，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求證：CD⊥謝謝閱讀ACACBD2：如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,感謝閱讀

∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)A

DE，求證;AB＝AC+BDEB C,.3：如圖，已知在VABC內(nèi)，BAC600，C400，P，Q分別在BC，C謝謝閱讀A上，并且AP，BQ分別是BAC，ABC的角平分線(xiàn)。求證：BAQ+AQ=AB+BPBQPC4：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求證：謝謝閱讀AC1800 ADB C5:如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-A感謝閱讀C＞PB-PCA12PBCD中考應(yīng)用（08海淀一模）,.（三）、平移變換1.AD為△ABC的角平分線(xiàn)，直線(xiàn)MN⊥AD于A.E為MN上一點(diǎn)，△ABC周長(zhǎng)記為PA，△EBC周長(zhǎng)記為PB.求證PB＞PA.謝謝閱讀2：如圖，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+精品文檔放心下載AE.AB D E C（四）、借助角平分線(xiàn)造全等,.1：如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線(xiàn)AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：精品文檔放心下載OE=OD AEOB CD2：（06鄭州市中考題）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分感謝閱讀BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）說(shuō)明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，精品文檔放心下載AC=b，求AE、BE的長(zhǎng). AEB G CFD中考應(yīng)用（06北京中考）如圖①，OP是∠MON的平分線(xiàn)，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)謝謝閱讀以O(shè)P所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解謝謝閱讀答下列問(wèn)題：（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠B感謝閱讀AC、∠BCA的平分線(xiàn)，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的精品文檔放心下載數(shù)量關(guān)系；（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，謝謝閱讀B請(qǐng)問(wèn)，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明MB理由。EFDEFDPOACAC圖①N圖③圖②(第23題圖),.（五）、旋轉(zhuǎn)1：正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的 一點(diǎn)，BE感謝閱讀A D+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).FB E C2：D為等腰RtABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。謝謝閱讀（1） 當(dāng)MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。謝謝閱讀B（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積。AEM C F AN,.如圖，ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，BDC是等腰三角形，且精品文檔放心下載BDC1200，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)600角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC精品文檔放心下載AMNB C于點(diǎn)N，連接MN，則AMN的周長(zhǎng)為 ； D精品文檔放心下載中考應(yīng)用（07佳木斯）已知四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，謝謝閱讀∠ABC120o，∠MBN60o，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或感謝閱讀它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于E，F(xiàn)．當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)（如圖1），易證AECFEF．謝謝閱讀當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)精品文檔放心下載論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線(xiàn)段AE，CF，EF又有怎樣的謝謝閱讀數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．A A AB E M B E M BC F D C F D F C DN N N E（西城09年一模）已知:PA= 2,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、謝謝閱讀M（圖1） （圖2） （圖3）D兩點(diǎn)落在直線(xiàn)AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)∠APB=45°時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);謝謝閱讀(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.謝謝閱讀,.（09崇文一模）在等邊ABC的兩邊AB、AC所在直線(xiàn)上分別有兩點(diǎn)M、感謝閱讀N，D為VABC外一點(diǎn)，且MDN60,BDC120,BD=DC.探究：當(dāng)M、N感謝閱讀分別在直線(xiàn)AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及AMN的周感謝閱讀長(zhǎng)Q與等邊ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系．圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN謝謝閱讀之間的數(shù)量關(guān)系是

；此時(shí)QL

；（II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的精品文檔放心下載兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明；（III）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，精品文檔放心下載若AN=x，則Q= （用x、L表示）．精品文檔放心下載,.六梯形的輔助線(xiàn)口訣：梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱汀?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線(xiàn)。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。謝謝閱讀通常情況下，通過(guò)做輔助線(xiàn)，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問(wèn)題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見(jiàn)的幾種輔助線(xiàn)的作法如下：謝謝閱讀作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。B平移對(duì)角線(xiàn)。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。B延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。B作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩B形。

A DCEA DC EEA DCDEFC中位線(xiàn)與腰中點(diǎn)連線(xiàn)。

,.A DEB CF（一）、平移1、平移一腰：例1.如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°， AB謝謝閱讀∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的長(zhǎng). D C精品文檔放心下載解：過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E.又AB∥CD，所以四邊形BCDE是平行四邊形.感謝閱讀所以DE＝BC＝17，CD＝BE.

A BD C在R△DAE中，由勾股定理，得tAE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.ABE所以AE＝8.所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.CD＝8.2如圖，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范圍。謝謝閱讀解：過(guò)點(diǎn)B作BM//AD交CD于點(diǎn)M，感謝閱讀在△BCM中，BM=AD=4，,.CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范圍是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。2、平移兩腰：3如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、謝謝閱讀F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長(zhǎng)。謝謝閱讀解：過(guò)點(diǎn)E分別作AB、CD的平行線(xiàn)，交BC于點(diǎn)G、H，可得感謝閱讀∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°則△EGH是直角三角形因?yàn)镋、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，容易證得F是GH的中點(diǎn)精品文檔放心下載所以EF12GH12(BCBGCH)精品文檔放心下載12(BCAEDE)12[BC(AEDE)]精品文檔放心下載12(BCAD)12(31)1謝謝閱讀3、平移對(duì)角線(xiàn)：4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，感謝閱讀求梯形ABCD的面積．解：如圖，作DE∥AC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E點(diǎn)．精品文檔放心下載∵AD∥BC ∴四邊形ACED是平行四邊形A D∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4謝謝閱讀B H C E,.∵在△DBE中，BD=3，DE=4，BE=5∴∠BDE=90°．DH⊥BC于H，則DHBDED12精品文檔放心下載BE5512S(ADBC)DH56．梯形ABCD225如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=52，精品文檔放心下載求證：AC⊥BD。解：過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線(xiàn)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，易得四邊形BCED是平行四邊形，感謝閱讀DE=BC，CE=BD=52，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=52，所以在△ACE中，AC2CE2(52)2(52)2100AE2，從而AC⊥CE，于是AC⊥BD。6如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積。精品文檔放心下載解：過(guò)點(diǎn)D作DE//AC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，謝謝閱讀,.則四邊形ACED是平行四邊形，SABDSACDSDCE。所以SS梯形ABCDDBE由勾股定理得EH DE2DH2 AC2DH2感謝閱讀1521229（cm）BHBD2DH220212216（cm）S1BEDH1(916)12150(cm2)所以DBE22，即梯形ABCD的面積150cm2。（二）、延長(zhǎng)即延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。7如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的長(zhǎng)。謝謝閱讀解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E。在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。所以∠E=50°，從而B(niǎo)C=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EC－ED=5－2=3,.8.如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.精品文檔放心下載判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.D C解：四邊形ABCD是等腰梯形.A B證明：延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E，如圖所示.∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，∴△DAB≌△CBA.∴∠DAB＝∠CBA.E∴EA＝EB.DC又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，AB∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.又AD不平行于BC，∴四邊形ABCD是等腰梯形.（三）、作對(duì)角線(xiàn)即通過(guò)作對(duì)角線(xiàn)，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。9如圖6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于點(diǎn)E，求證：AD=DE。感謝閱讀解：連結(jié)BD，AD//BC，得∠ADB=∠DBE；,.BC=CD，得∠DBC=∠BDC。所以∠ADB=∠BDE。又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。（四）、作梯形的高1、作一條高10如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對(duì)角線(xiàn)AC⊥BD，垂足為F，過(guò)點(diǎn)F作EF//AB，交AD于點(diǎn)E，求證：四邊形AB