28-鏡像法教學(xué)講解教學(xué)課件

鏡像法的實質(zhì)是在待求場域的區(qū)域以外,在適當(dāng)?shù)奈恢蒙先藶榈卦O(shè)置一些點電荷或線電荷來等效原邊界上復(fù)雜分布的實際電荷對待求場域的作用.從而可在保持原邊界條件不變的情況下,將原邊界面移去.鏡像法的理論依據(jù)就是電磁場的唯一性定理.鏡原電荷像電荷

邊界7/29/20231第二章2.8

鏡像法最后將求解有限區(qū)域的邊值問題轉(zhuǎn)換為無邊界的無限大均勻媒質(zhì)中的求解問題。鏡原電荷像電荷如何求鏡像電荷7/29/20232第二章2.8一、平面導(dǎo)體與點電荷無限大接地導(dǎo)體平面為的平面，（xoy）平面，點電荷q距導(dǎo)體平面的距離為h，其周圍是介電常數(shù)為的介質(zhì)，求介質(zhì)中任意一點的場。導(dǎo)體設(shè)置坐標(biāo)系：平面為導(dǎo)體平面，其參考電位為零。

點電荷與導(dǎo)體平面之間的電位滿足：＞0q所在點除外電位給定7/29/20233第二章2.8

鏡像電荷的設(shè)置：鏡，，，，，，將無限大導(dǎo)體平面去掉，整個空間充滿介電常數(shù)為的介質(zhì)，在的鏡像位置上置一電荷，則＞0q所在點除外因而，鏡像電荷的作用就相當(dāng)于原導(dǎo)體平面的作用，至此，有邊界的問題轉(zhuǎn)化為無邊界的問題。67/29/20234第二章2.8鏡，，，，

當(dāng)z，任意一點電位為：＞0即求解：4當(dāng)，當(dāng)＜0導(dǎo)體空間內(nèi),由于實際上無場源存在,故7/29/20235第二章2.8

導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷面密度由邊界條件：在邊界上即∴亦即導(dǎo)體127/29/20236第二章2.8

導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷Q：采用極坐標(biāo)系.如圖:即由上述分析可知:可將無限大接地導(dǎo)體平面視為一面鏡子,其像電荷只有一個，就是原電荷的虛像,且與q等值異號.平面鏡，，，，7/29/20237第二章2.8

平面導(dǎo)體與線電荷:鏡像電荷:在其鏡像位置上置一密度為的線電荷.見書31面.無限長直導(dǎo)線在任一點P的電場強度為故平面導(dǎo)體與線電荷在z>0的空間里任一點的電位為由高斯定理也可直接推出7/29/20238第二章2.8見書2-67式7/29/20239第二章2.8例:一水平架設(shè)的雙線傳輸線,距地面的高度為h,兩傳輸線的距離為D,導(dǎo)線的半徑為a,如圖.求雙線傳輸線單位長度的電容.設(shè)D>>a,h>>a.ahD12解:將大地視為無限大導(dǎo)體平面.

鏡像電荷:如圖所示.與在P點產(chǎn)生的電位為aD12A與在P點產(chǎn)生的電位為:7/29/202310第二章2.8故P點的電位為:aD12A由于導(dǎo)體是等位體,故取A點計算導(dǎo)線1的電位則導(dǎo)線1的電位為:7/29/202311第二章2.8aD12A同理,導(dǎo)線2的電位為:則導(dǎo)線1與導(dǎo)線2之間的電位差為:故兩平行傳輸線單位長度的電容為:7/29/202312第二章2.8

導(dǎo)體平面為互相垂直的兩無限大接地平面,求鏡像電荷:首先,鏡像電荷的出現(xiàn),必須保證原邊界條件不變.即

去掉導(dǎo)體平面則鏡像電荷為在B點的;

去掉導(dǎo)體平面則鏡像電荷為在C點的；7/29/202313第二章2.8，

B點的與A點的能保證平面的但不能使平面的,于是令B點的再對平面作鏡像,即D點再置一電荷.

C點的與A點的能保證平面的,而與D點的也能使平面的.

鏡像電荷有3個,且等值.故A、B、C、D點四電荷共同作用的結(jié)果，在第一象限的電位就是原問題的解，復(fù)雜的邊界已不復(fù)存在。7/29/202314第二章2.83、角度為的半無限大導(dǎo)體平面角形區(qū)域內(nèi)的點電荷、線電荷，求其鏡像電荷：

n=3,總結(jié)：當(dāng)n為正整數(shù)時，鏡像電荷的數(shù)量為（2n-1)個。當(dāng)原電荷為點電荷時，像電荷也為點電荷；當(dāng)原電荷為線電荷時，像電荷也為線電荷。

且所有鏡像電荷都位于同一圓上。7/29/202315第二章2.8二、電介質(zhì)分界面與鏡像

問題：分界面為一無限大平面，位于介質(zhì)1中，距分界面的距離為，求介質(zhì)1及介質(zhì)2中的場？導(dǎo)體平面位于點電荷產(chǎn)生的電場中時，會在其上產(chǎn)生感應(yīng)電荷，其面電荷密度為，利用鏡像電荷可代替其感應(yīng)電荷的作用，從而將導(dǎo)體平面去掉。7/29/202316第二章2.8

那么，電介質(zhì)平面位于點電荷產(chǎn)生的電場中時，會在其上產(chǎn)生束縛（極化）電荷，則我們是否也可以利電荷（多少個？）場點的作用？答案是肯定的。代替其極化電荷對用鏡像7/29/202317第二章2.8取直角坐標(biāo)系，為分界面。＜0，

邊界條件與拉氏方程：＞0，（q點除外）邊界條件拉氏方程7/29/202318第二章2.8

介質(zhì)1中的場：利用鏡像法，去掉介質(zhì)分界面，整個空間充滿介質(zhì)1，在的鏡像位置放一像電荷，則＞0處.

=？即１2r

7/29/202319第二章2.8

介質(zhì)2中的場:利用鏡像法，去掉介質(zhì)分界面，整個空間充滿介質(zhì)2，在的鏡像位置放一像電荷(位于q處).則＜0處:？１7/29/202320第二章2.8利用邊界條件:時,即:1

即2聯(lián)立兩式:12、故鏡像電荷總與同性,則取決于兩介質(zhì)的介電常數(shù)的大小。7/29/202321第二章2.8三、球面導(dǎo)體與點電荷：1、接地導(dǎo)體球與點電荷如圖所示：求球外

鏡像電荷：P點在導(dǎo)體球面上17/29/202322第二章2.8

邊界條件：球面：如圖1即亦即P點在導(dǎo)體球面上126方法一：7/29/202323第二章2.8而由余弦定理：∴上式對所有均成立的充要條件為：則277/29/202324第二章2.8

邊界條件：球面：如圖1即24P點在導(dǎo)體球面上1取P點為特殊的兩點，即A、B兩點，則對于A點，有對于B點，有7/29/202325第二章2.8P點在導(dǎo)體球面上1故∴257/29/202326第二章2.8球外電位：如圖2P點在導(dǎo)體球面外27/29/202327第二章2.8

球面上感應(yīng)電荷面密度（自由電荷）由邊界條件：介質(zhì)2為球內(nèi)：-7/29/202328第二章2.8

球面上感應(yīng)的總電荷Q：故7/29/202329第二章2.82、對地絕緣的導(dǎo)體球與點電荷，如圖所示，求球外電位

球面邊界條件：時，

導(dǎo)體球上的凈電荷為零。

鏡像電荷的設(shè)置：P點在導(dǎo)體球面上1球面為等位面

7/29/202330第二章2.8P點在導(dǎo)體球面上1則不滿足邊界條件1）

球心再置一鏡像電荷，如圖：則為常數(shù)為保證導(dǎo)體球上的凈電荷為零。則至此，滿足邊界條件1）和2）7/29/202331第二章2.8P點在導(dǎo)體球面外2球外任意一點P的電位：如圖27/29/202332第二章2.83、導(dǎo)體球殼與球殼內(nèi)的點電荷：求球內(nèi)球殼為接地的情況：分析：球殼內(nèi)表面的感應(yīng)電荷可在球外連線上置一鏡像電荷來等效。7/29/202333第二章2.8根據(jù)前面的結(jié)論：當(dāng)時，則球殼為零電位。故球殼內(nèi)的場為兩點電荷產(chǎn)生的場。、∴即接地7/29/202334第二章2.8球殼不接地：球殼表面上將有感應(yīng)電荷，由于它的存在，球殼內(nèi)的電位為：（設(shè)球外介質(zhì)均勻）若球外介質(zhì)均勻，則球殼外的感應(yīng)電荷分布均勻。提高了一個電位常數(shù)7/29/202335第二章2.8球殼外的場：則根據(jù)高斯定理：球?qū)ΨQ分布。球外電位：好似在點一樣。7/29/202336第二章2.8例：一個點電荷Q與無窮大導(dǎo)體平面相距為d,如果把它移到無窮遠處，需要作多少功？解：用鏡像法計算。導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷的影響用鏡像電荷來代替，鏡像電荷的大小為–Q，位于和原電荷對稱的位置。當(dāng)電荷Q離導(dǎo)體板的距離為x時，電荷Q受到的靜電力為根據(jù)庫侖定律靜電力為引力，要將其移動到無窮遠處，必須加一個和靜電力相反的外力。7/29/202337第二章2.8在移動過程中，外力f所作的功為當(dāng)用外力將電荷Q移動到無窮遠處，同時也要將鏡像電荷移動到無窮遠處，所以，在整個過程中，外力作的總功為7/29/202338第二章2.8方法二：用靜電能計算。在移動以前，系統(tǒng)的靜電能等于兩個點電荷之間的相互作用能：移動點電荷Q到無窮遠以后，系統(tǒng)的靜電能為零。因此，在這個過程中，外力作功等于系統(tǒng)靜電能的增量，即外力作功為7/29/202339第二章2.8例：接地?zé)o限大導(dǎo)體平板上有一個半徑為a的半球形突起，在點（0，0，d)處有一個點電荷q（如圖所示），求導(dǎo)體上方的電位。解：計算導(dǎo)體上方的電位時，要保持導(dǎo)體平板部分和半球部分的電位都為零。7/29/202340第二章2.8先找平面導(dǎo)體的鏡像電荷位于（0，0，-d)處。再找球面鏡像電荷

位于（0，0，處，當(dāng)疊加這兩個鏡像電荷和原電荷共同產(chǎn)生的電位時，在導(dǎo)體平面上和球面上都不為零，應(yīng)當(dāng)在球內(nèi)再加上一個鏡像電荷位于（0，0，）處，這時，三個鏡像電荷和原電荷共同產(chǎn)生的電位在導(dǎo)體平面和球面上都為零，且三個鏡像電荷都在要計算的區(qū)域以外。7/29/202341第二章2.8故導(dǎo)體上方的電位為四個點電荷電位的疊加。7/29/202342第二章2.8例：證明一個點電荷和一個帶有電荷、半徑為的導(dǎo)體球之間的作用力為其中D是到球心的距離（D＞R）D7/29/202343第二章2.8證明：使用鏡像法分析。由于導(dǎo)體球不接地，本身又帶電Q，必須在導(dǎo)體球內(nèi)加上兩個鏡像電荷來等效導(dǎo)體球外的影響。在距離球心處，鏡像電荷；在球心處，鏡像電荷。點電荷受導(dǎo)體球的作用力就等于球內(nèi)兩個鏡像點電荷對的作用力，即D7/29/202344第二章2.8D證畢7/29/202345第二章2.8例：兩個點電荷和位于一個半徑為的接地導(dǎo)體球的直徑處延長線上，分別距離球心和。

證明鏡像電荷構(gòu)成一電偶極子，位于球心，偶極矩為。令和分別趨于無窮，同時保持不變，計算球外的電場。解：

證明：如圖。7/29/202346第二章2.8使用導(dǎo)體球面的鏡像法和疊加原理分析。在球內(nèi)應(yīng)該加上兩個鏡像電荷：一個是在球面上的鏡像電荷，距離球心；另一個是在球面上的鏡像電荷，，距離球心。當(dāng)距離較大時，鏡像電荷間的距離很小，等效為一個電偶極子，電偶極矩為7/29/