線性系統(tǒng)的可控性和可觀性

線性系統(tǒng)的可控性和可觀性摘要：線性系統(tǒng)的可控性和可控性是線性系統(tǒng)最基本的概念。本文從這個(gè)基本概念著手，介紹了線性系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)形和可觀標(biāo)準(zhǔn)形，并且對(duì)系統(tǒng)可控性和可觀性的判據(jù)做了詳細(xì)的介紹。本文的研究有利于對(duì)線性系統(tǒng)可控性和可觀性的知識(shí)體系有一個(gè)比較好的了解，對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代控制理論提供一個(gè)扎實(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)通過(guò)對(duì)相關(guān)知識(shí)的歸納總結(jié)，為以后的學(xué)習(xí)研究提供了一個(gè)好的方法。通過(guò)對(duì)其中大量高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，可以提高應(yīng)用高等數(shù)學(xué)解決相關(guān)問(wèn)題的意識(shí)與能力。關(guān)鍵詞:線性系統(tǒng)；可控性；可觀性LinearsystemcontrollabilityandobservabilityHouShiboLiuYingruiWanglinlinLinHuanAbstact:Controllabilityoflinearsystemsandcontrolisthemostbasicconceptsoflinearsystems.Thispaperstartedfromthisbasicconcept,introducedtheformoflinearsystemcontrollabilityandobservabilityofthestandardnormalform,andthesystemcontrollabilityandobservabilitycriterionforadetaileddescription.Thisstudyisbeneficialtothelinearsystemcontrollabilityandobservabilityofknowledgehaveabetterunderstandingofthefurtherstudyofmoderncontroltheoryprovidesasolidfoundation,throughsummarizedtherelevantknowledgeforthefutureoflearningStudyprovidesagoodmethod.Throughwhichalargenumberoflearningandapplicationofadvancedmathematics,appliedmathematicscanimproveawarenessoftheproblemsolvingandcapacity-related.Keywords:Linearsystem；Controllable；Observability0引言在控制工程中，有兩個(gè)問(wèn)題經(jīng)常引起設(shè)計(jì)者的關(guān)心。那就是加入適當(dāng)?shù)目刂谱饔煤螅芊裨谟邢迺r(shí)間內(nèi)將系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)控制(轉(zhuǎn)移)到希望的狀態(tài)上，以通過(guò)對(duì)系統(tǒng)輸出在一段時(shí)間內(nèi)的觀測(cè)，能否判斷(識(shí)別)系統(tǒng)的初始狀態(tài)。這便是控制系統(tǒng)的能控性與能觀性問(wèn)題?？刂葡到y(tǒng)的能控性及能觀性是現(xiàn)代理論中很重要的兩個(gè)概念。在多變量最優(yōu)控制系統(tǒng)中，能控性及能觀性是最優(yōu)控制問(wèn)題解的存在性問(wèn)題中最重要的問(wèn)題，如果所研究的系統(tǒng)是不可控的，則最優(yōu)控制問(wèn)題的解是不存在的［1。1可控性能控性所考察的只是系統(tǒng)在控制作用u(t)的控制下，狀態(tài)矢量x(t)的轉(zhuǎn)移情況，而與輸出y(t)無(wú)關(guān)，所以只需從狀態(tài)方程的研究出發(fā)即可。

1.1線性連續(xù)定常系統(tǒng)的可控性定義線性連續(xù)定常系統(tǒng)x=Ax+Bu （1）如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u（t）,能在有限時(shí)間區(qū)間［七，七］內(nèi)，使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)x（t0），轉(zhuǎn)移到指定的任意終端狀態(tài)x（tf），則稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是能控的［2。1.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)線性連續(xù)定常單輸入系統(tǒng)x=Ax+bu （2）其可控的充分必要條件是由A,b構(gòu)成的能控性矩陣M=bAbA22b…An-1J （3）滿秩，即rankM=n。否則當(dāng)rankMvn時(shí)，系統(tǒng)為不能控的。下面來(lái)推導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的條件，在不失一般性的條件下，假設(shè)終端狀態(tài)x（tf）為狀態(tài)空間的原點(diǎn)，并設(shè)初始時(shí)間為零，即仃。。方程（1）的解為x(t)=eAtx(0)+jteA(t-t)bu(t)dT由能控性定義，可得x(tf)=0=eAtfx(0)+\lfeA(t疽)bu(T)dT（4）（5）x(0)=-jtfe-atbu(T)dT（4）（5）0注意到e-AT可寫成e-at逆a(t)Ak

kk=0將方程（5）代入方程將方程（5）代入方程（4）中，可得（6）x(0)=-!Akbjf氣(t)u(t)dT（6）jtfak(t)u(t)di=pk那么方程（6）變?yōu)閤(0)=-EAkbpkk=0

rp01p(7)Ab…An-ibA.1(7)n-1- ,1 n-1要是系統(tǒng)能控，則對(duì)任意給定的初始狀態(tài)珥)，應(yīng)能從式⑺解出p0,P,- ,1 n-1因此，必須保證M因此，必須保證M=bAbA2b…An-ib1的逆存在，亦即其秩必須等于n。同理，可以證明，對(duì)于多輸入系統(tǒng)x=Ax+Bu (8)其能控的充分必要條件是由A,B構(gòu)成的能控性矩陣M=BABA2B An-iB^ (9)滿秩，即rankM=n。否則當(dāng)rankMvn時(shí)，系統(tǒng)為不能控的。需要注意的是，對(duì)于單輸入系統(tǒng)，M陣為nxn的方陣，rankM=n與M的行列式的值不為零是等價(jià)的，故可以通過(guò)計(jì)算M的行列式的值是否為零來(lái)判斷M是否滿秩。而對(duì)于多輸入系統(tǒng)，此時(shí)M為nxnr的矩陣，其秩的確定一般的說(shuō)要復(fù)雜一些。由于矩陣M和Mt積MMt是nxn方陣，而它的秩等價(jià)于M的秩，因此可以通過(guò)計(jì)算方陣MMt的秩來(lái)確定M的秩［3］。2可觀性控制系統(tǒng)大多采用反饋控制形式。在現(xiàn)代控制理論中，其反饋信息是由系統(tǒng)的狀態(tài)變量組合而成。但并非所有的系統(tǒng)的狀態(tài)變量在物理上都能測(cè)取到，于是便提出能否通過(guò)對(duì)輸出的測(cè)量獲得全部狀態(tài)變量的信息，這便是系統(tǒng)的能觀測(cè)問(wèn)題2.1可觀性概念能觀性表示的是輸出y(t)反映狀態(tài)矢量x(t)的能力，與控制作用沒(méi)有直接關(guān)系，所以分析能觀性問(wèn)題時(shí)，只需從齊次狀態(tài)方程和輸出方程出發(fā)，即(10)x=Ax;x(t)=xy=Cx0 0(10)如果對(duì)任意給定的輸入u(t)，在有限的觀測(cè)時(shí)間間廣°，使得根據(jù)心七］期間的輸出的能唯一地確定系統(tǒng)在初始時(shí)刻的狀態(tài)x(t0)，則稱狀態(tài)x(t0)是能觀的。若系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)都是能觀的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的囹。2.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀性判據(jù)

線性連續(xù)定常系統(tǒng)線性連續(xù)定常系統(tǒng)(11)x=Ax

y=Cx(11)其能觀的充分必要條件是由4,C構(gòu)成的能觀性矩陣C>TCAN= . (12)CA1滿秩，即rankN=n0否則當(dāng)rankN<n時(shí)，系統(tǒng)為不能觀的。證明由式(11)可以求得=CeAtx(Q)由于 e^t=(t)Akkk=0我們可得CA: (13)CA.n-1y(t)=Sa(gi頃0)

k

k=0CA: (13)CA.n-1=la(t)Ia(t)Ia(t)I-0 1 n-1因此，根據(jù)在時(shí)間區(qū)間f<t<t測(cè)量到的y(t),要能從式(13)唯一地確定尤"),0f o即完全能觀的充要條件是矩陣C>TCAN=CA1滿秩。同樣，對(duì)于單輸出系統(tǒng)，N陣為nxn的方陣，rankN=n與N的行列式的值不為零是等價(jià)的，故可以通過(guò)計(jì)算N的行列式的值是否為零來(lái)判斷N是否滿秩。而對(duì)于多輸出系統(tǒng)，此時(shí)N^jnmxn的矩陣，由于矩陣和N積是〃x〃方陣，而它的秩等價(jià)于N的秩，因此可以通過(guò)計(jì)算方陣的秩來(lái)確定N的秩。3可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀標(biāo)準(zhǔn)型

由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)也不是唯一的。在實(shí)際應(yīng)用中，常常根據(jù)所研究問(wèn)題的需要，將狀態(tài)空間表達(dá)式化成相應(yīng)的幾種標(biāo)準(zhǔn)形式：如約旦標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算，能控性和能觀性分析是十分方便的。能控標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)于狀態(tài)反饋來(lái)說(shuō)比較方便，而能觀標(biāo)準(zhǔn)型則對(duì)于狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)及系統(tǒng)辯識(shí)比較方便。無(wú)論選用哪種標(biāo)準(zhǔn)形，其實(shí)質(zhì)都是對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式進(jìn)行非奇異線性變換，而且關(guān)鍵在于尋找相應(yīng)的變換矩陣T。這樣做的理論依據(jù)是非奇異變換不改變系統(tǒng)的自然模態(tài)及能控性，能觀性，而且只有系統(tǒng)完全能控（能觀）才能化成能控（能觀）標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)于一個(gè)傳遞函數(shù)為：W（s）=七E+匕2眼一任吃s+b° （14）sn+asn-\h fas+a的系統(tǒng)，可以證明，當(dāng)其無(wú)相消的零極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)一定能控能觀，則可直接由傳遞函數(shù)寫出其能控、能觀標(biāo)準(zhǔn)型［5。3.1可控標(biāo)準(zhǔn)型當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如式（14），則可直接寫出其能控標(biāo)準(zhǔn)型：10:0—a10:0—a1b20 ??1 ??: ??0一0:「尤］1尤:2+「0「000 ..1Kx::n-1a??-ax12n-1」nn—1（15）如果給定的能控系統(tǒng)是用狀態(tài)空間表達(dá)式描述的，且并不具有能控標(biāo)準(zhǔn)型的形式，則可用下面的方法將其化為能控標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：x=Ax+buy=ex若系統(tǒng)是完全能控的，則存在線性非奇異變換，x=Txy=ex若系統(tǒng)是完全能控的，則存在線性非奇異變換，x=Tx「1 0］l I"”-11.T=lAn-1bA”—2b b」：caa ?.23aa…a1其中a,為系統(tǒng)特征多項(xiàng)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)。使其狀態(tài)空間表達(dá)式（16）化為：（16）（17）（18）=Ax+buy=ex（19）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"0 1 0 … 0\o"CurrentDocument"_ 0 0 1 …0（20）其中A="4S """（20）0 0 0 …1一a 一a 一a …一aL0 1 2 n-1」o0（21）b=T-1b=0（21）c:1C=CT=b0bb2 b1]（22）x000…一a「x]C=CT=b0bb2 b1]（22）x000…一a「x]b1010x100…一axb2121:=010…一a:+bu22x:::… :x:n-1n-1X000…一aLx」bnL n-1」nLn-1」能控的。3.2可觀性標(biāo)準(zhǔn)型當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如式（14）,則可直接寫出其能觀標(biāo)準(zhǔn)型:y=[}00…1L（23）當(dāng)給定的能觀系統(tǒng)是用狀態(tài)空間表達(dá)式描述的，且并不是能觀標(biāo)準(zhǔn)型，同樣可用方法將其變換為能觀標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：卜面的x=Ax+buy=ex（24）若系統(tǒng)是完全能觀的，則存在線性非奇異變換，x=Tx（25）T-1=oa

n-11a2a3（26）其中a,為系統(tǒng)特征多項(xiàng)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)。使其狀態(tài)空間表達(dá)式（14）化為：-?一?~=Ax+bu??y=cx其中000其中000??.—aA=T-1AT=100100?????.0—a1—a°°,:_0:0:0??.??.rb].2:gJn-1」0(27)b(28)(29)? 1(28)(29)b=勺b=b2:bLn-1」C=CT=lo00...1]4結(jié)束語(yǔ)運(yùn)用歸納總結(jié)的方式介紹了線性系統(tǒng)的可控性和可觀性的概念，標(biāo)準(zhǔn)形式及他的判據(jù)，并給出了證明的過(guò)程。從而可以讓我們對(duì)線性系統(tǒng)的能控性的知識(shí)體系有一個(gè)比較全面的了解，對(duì)于學(xué)習(xí)自動(dòng)控制的初學(xué)者來(lái)說(shuō)是一種較好的方法。在介紹判據(jù)內(nèi)容時(shí)我們歸納了一些比較實(shí)用的判斷方法，特別是對(duì)于矩陣的秩比較大