2022-2023學(xué)年浙江省麗水市云峰中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年浙江省麗水市云峰中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，則等于A．

B．

C．

D．參考答案：B略1.設(shè)全集，集合，，則 (

)A.

B.

C.

D.參考答案：B3.已知復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則求解出，由共軛復(fù)數(shù)定義得到結(jié)果.【詳解】

本題正確選項：【點睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求解，關(guān)鍵是通過復(fù)數(shù)的除法運算法則求得復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知數(shù)列中，，利用如圖所示的程序框圖計算該數(shù)列的第10項，則判斷框中應(yīng)填的語句是（

）

參考答案：D5.已知命題p：a=﹣1是直線x﹣ay+1=0與x+a2y﹣1=0平行的充要條件；命題q：?x0∈（0，+∞），x02＞2．下列命題為真命題的是（）A．（￢p）∧q B．（￢p）∧（￢q） C．p∨（￢q） D．p∧（￢q）參考答案：A【考點】復(fù)合命題的真假．【分析】命題p：對a及其直線的斜率分類討論，利用兩條直線平行的充要條件即可判斷出結(jié)論．命題q：取x0=3∈（0，+∞），滿足x02＞2．即可判斷出真假．再利用復(fù)合命題真假的判定方法即可得出結(jié)論．【解答】解：命題p：a=0時，直線方程分別化為：x+1=0，x﹣1=0，此時兩條直線平行；a≠0時，若兩條直線平行，則：=﹣，≠，解得a=﹣1．綜上可得：兩條直線平行的充要條件是：a=0或﹣1．因此p是假命題．命題q：取x0=3∈（0，+∞），滿足x02＞2．因此q是真命題．因此下列命題為真命題的是（￢p）∧q．故選：A．6.已知a為實數(shù)，若復(fù)數(shù)z=（a2﹣1）+（a+1）i為純虛數(shù)，則的值為（）A．1 B．0 C．1+i D．1﹣i參考答案：D【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算．【分析】利用復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求出a，然后利用復(fù)數(shù)的冪運算以及復(fù)數(shù)的除法運算法則化簡求解即可．【解答】解：復(fù)數(shù)z=（a2﹣1）+（a+1）i為純虛數(shù)，可得a=1，===1﹣i．故選：D．7.已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，則A∩B=（） A．{0} B． {0，1} C． {0，2} D． {0，1，2}參考答案：C略8.（多選題）下列說法正確的是（

）A.“”是“點(2,1)到直線的距離為3”的充要條件B.直線的傾斜角的取值范圍為C.直線與直線平行，且與圓相切D.離心率為的雙曲線的漸近線方程為參考答案：BC【分析】根據(jù)點到直線的距離公式判斷選項A錯誤；根據(jù)直線斜率的定義及正切函數(shù)的值域問題判斷選項B正確；根據(jù)兩直線平行的判定及直線與圓相切的判定，可判斷選項C正確；根據(jù)雙曲線漸近線的定義可判斷選項D錯誤.【詳解】選項A：由點到直線的距離為3，可得：，解得或，“”是“點到直線的距離為3”的充分不必要條件，故選項A錯誤；選項B：直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則或，，故選項B正確；選項C：直線可化為，其與直線平行，圓的圓心到直線的距離為：，則直線與圓相切，故選項C正確；選項D：離心率為，則若焦點在x軸，則雙曲線的漸近線方程為，若焦點在y軸，則雙曲線的漸近線方程為，故選項D錯誤.故選：BC.【點睛】本題考查了點到直線的距離，直線的斜率的定義，兩直線的平行關(guān)系的判斷，直線與圓的相切的判斷，雙曲線的漸近線方程，知識點較繁雜，需要對選項逐一判斷.屬于中檔題.9.給定函數(shù)①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④參考答案：B【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】本題所給的四個函數(shù)分別是冪函數(shù)型，對數(shù)函數(shù)型，指數(shù)函數(shù)型，含絕對值函數(shù)型，在解答時需要熟悉這些函數(shù)類型的圖象和性質(zhì)；①為增函數(shù)，②為定義域上的減函數(shù)，③y=|x﹣1|有兩個單調(diào)區(qū)間，一增區(qū)間一個減區(qū)間，④y=2x+1為增函數(shù)．【解答】解：①是冪函數(shù)，其在（0，+∞）上即第一象限內(nèi)為增函數(shù)，故此項不符合要求；②中的函數(shù)是由函數(shù)向左平移1個單位長度得到的，因為原函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)為減函數(shù)，故此項符合要求；③中的函數(shù)圖象是由函數(shù)y=x﹣1的圖象保留x軸上方，下方圖象翻折到x軸上方而得到的，故由其圖象可知該項符合要求；④中的函數(shù)圖象為指數(shù)函數(shù)，因其底數(shù)大于1，故其在R上單調(diào)遞增，不合題意．故選B．10.橢圓上的點到直線2x－y＝7距離最近的點的坐標為（

）A．（－，）

B．（，－）

C．（－，）D．（，－）參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等差數(shù)列的公差為d，關(guān)于x的不等式＋＋c≥0的解集為[0，22]，則使數(shù)列的前n項和最大的正整數(shù)n的值是

．參考答案：1112.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足，且當時，，若方程恰有兩個根，則m的取值范圍是

．參考答案：

13.一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組距與頻數(shù)如下：第1組：，2個；第2組：，3個；第3組：，4個；第4組：，5個；第5組：，4個；第6個：，2個。則樣本在區(qū)間上的頻率為_________.參考答案：0.3略14.如圖,在中,,點在線段上,且,則

．參考答案：考點：向量數(shù)量積，二倍角公式，余弦定理【思路點睛】三角函數(shù)和平面向量是高中數(shù)學(xué)的兩個重要分支，內(nèi)容繁雜，且平面向量與三角函數(shù)交匯點較多，向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識都可以與三角函數(shù)進行交匯.不論是哪類向量知識與三角函數(shù)的交匯試題，都會出現(xiàn)交匯問題中的難點，對于此類問題的解決方法就是利用向量的知識將條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系”，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識進行求解.15.已知x，y為正實數(shù)，則的最小值為_________.參考答案：【分析】化簡題目所求表達式，然后利用基本不的等式求得最小值.【詳解】原式，令，則上式變?yōu)?，當且僅當時等號成立，故最小值為.

16.（5分）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=4，a3=9，an=an﹣1+an﹣2﹣an﹣3（n=4，5，…），則a2015=．參考答案：8057【考點】：數(shù)列遞推式．【專題】：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．【分析】：由數(shù)列遞推式得到an+1=an+an﹣1﹣an﹣2，進一步得到an+1+an﹣3=2an﹣1，說明數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項均構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式求得a2015．解：由an=an﹣1+an﹣2﹣an﹣3，得an+1=an+an﹣1﹣an﹣2，兩式作和得：an+1=2an﹣1﹣an﹣3．即an+1+an﹣3=2an﹣1（n=4，5，…）．∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項均構(gòu)成等差數(shù)列，∵a1=1，a3=9，∴奇數(shù)項公差為8．則a2015=a1+8（1008﹣1）=1+8×1006=8057．故答案為：8057．【點評】：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，是中檔題．17.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點．若雙曲線上存在點A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知：平行四邊形ABCD中，∠DAB=45°，AB=AD=2，平面AED⊥平面ABCD，△AED為等邊三角形，EF∥AB，EF=，M為線段BC的中點。（I）求證：直線MF∥平面BED；（II）求平面BED與平面FBC所成角的正弦值；（III）求直線BF與平面BED所成角的正弦值。參考答案：（I）證明：在△ADB中，∵DAB=45°

AB=AD=2，∴AD⊥BD取AD中點O，AB中點N，連接ON，則ON∥BD，∴AD⊥ON又∵平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，AD⊥OE，∴EO⊥平面ABCD，∴以O(shè)為原點，OA，ON，OE分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖取BD的中點H，連接FH，OH，則OH∥AB∥EF，且OH=EF，∴FH∥EO，∴FH⊥平面ABCD，∴D（-1,0,0）

B（-1,2,0）

H（-1,1，）

F（-1,1，）

C（-3,2,0）

M（-2,2,0），∴=（0,2,0）

=（1,0，）

=（1，-1，），設(shè)平面AED的一個法向量為（x，y，z），則∴不妨設(shè)=（，0，-1）∴⊥，又∵MF平面AED∴直線MF∥平面AED（II）解：∵=（-2,0,0），=（0，-1，）設(shè)平面FBC的一個法向量為（x，y，z），則∴不妨設(shè)=（0，，1）設(shè)平面BED與平面FBC所成的角為則丨cos丨=丨丨=，∴sin∴平面BED與平面FBC所成角的正弦值為（III）解：直線BF與平面BED所成角為a，則sina=丨cos<>丨=丨丨=?！嘀本€BF與平面BDE所成角的正弦值為19.設(shè)x=3是函數(shù)f（x）=（x2+ax+b）e3﹣x（x∈R）的一個極值點．（Ⅰ）求a與b的關(guān)系式（用a表示b），并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)a＞0，．若存在ξ1，ξ2∈[0，4]使得|f（ξ1）﹣g（ξ2）|＜1成立，求a的取值范圍．參考答案：考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；不等式．3794729專題：計算題；壓軸題．分析：（Ⅰ）求出f′（x），因為x=3是函數(shù)f（x）的一個極值點得到f′（3）=0即可得到a與b的關(guān)系式；令f′（x）=0，得到函數(shù)的極值點，用a的范圍分兩種情況分別用極值點討論得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a＞0時，f（x）在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，得到f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域，又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，求出的值域，最大減去最小得到關(guān)于a的不等式求出解集即可．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=﹣[x2+（a﹣2）x+b﹣a]e3﹣x，由f′（3）=0，得﹣[32+（a﹣2）3+b﹣a]e3﹣3=0，即得b=﹣3﹣2a，則f′（x）=[x2+（a﹣2）x﹣3﹣2a﹣a]e3﹣x=﹣[x2+（a﹣2）x﹣3﹣3a]e3﹣x=﹣（x﹣3）（x+a+1）e3﹣x．令f′（x）=0，得x1=3或x2=﹣a﹣1，由于x=3是極值點，所以x+a+1≠0，那么a≠﹣4．當a＜﹣4時，x2＞3=x1，則在區(qū)間（﹣∞，3）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；在區(qū)間（3，﹣a﹣1）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；在區(qū)間（﹣a﹣1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．當a＞﹣4時，x2＜3=x1，則在區(qū)間（﹣∞，﹣a﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；在區(qū)間（﹣a﹣1，3）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；在區(qū)間（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a＞0時，f（x）在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，那么f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域是[min（f（0），f（4）），f（3）]，而f（0）=﹣（2a+3）e3＜0，f（4）=（2a+13）e﹣1＞0，f（3）=a+6，那么f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域是[﹣（2a+3）e3，a+6]．又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[a2+，（a2+）e4]，由于（a2+）﹣（a+6）=a2﹣a+=（）2≥0，所以只須僅須（a2+）﹣（a+6）＜1且a＞0，解得0＜a＜．故a的取值范圍是（0，）．點評：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．20.（共12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面為直角梯形，，且PA=AB=BC=1，AD=2．（Ⅰ）設(shè)M為PD的中點，求證：平面PAB；（Ⅱ）求側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值．參考答案：解法一：（Ⅰ）證明：取PA的中點N，連結(jié)BN、NM，在△PAD中，，且；又，且，所以MNBC，即四邊形BCMN為平行四邊形，.又平面PAB，平面PAB，故平面PAB.

……5分（Ⅱ）在平面ABCD中，AB與CD不平行，延長AB、CD交于一點，設(shè)為E，連結(jié)PE，則PE為側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的棱，又由題設(shè)可知側(cè)面PAB，于是過A作于F，連結(jié)DF，由三垂線定理可知AFD為側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角.……8分在△EAD中，由，，知B為AE為中點，∴AE=2，在Rt△PAE中，PA=1，AE=2，∴，故，即所求側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值為…12分解法二：以A為坐標原點，以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）.

……2分（Ⅰ）由M為PD中點知M的坐標為（0，1，1），所以，又平面PAB的法向量可取為

∴，即.又平面PAB，所以平面PAB.……6分（Ⅱ）設(shè)平面PCD的法向量為

∵，∴

，不妨取

則

∴

又平面PAB的法向量為

設(shè)側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角大小為，則由的方向可知，，∴

即所求側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值為

……12分

(解法三：因為側(cè)面PAB，側(cè)面PAB，所以也可以考慮用射影面積來求解)略21.（本小題共13分）在平面直角坐標系中，動點到兩點，的距離之和等于，設(shè)點的軌跡為曲線，直線過點且與曲線交于，兩點．（Ⅰ）求曲線的軌跡方程；（Ⅱ）是否存在△面積的最大值，若存在，求出△的面積；若不存在，說明理由.參考答案：解.（Ⅰ）由橢圓定義可知，點的軌跡C是以，為焦點，長半軸長為

的橢圓．……………3分故曲線的方程為．…………………5分（Ⅱ）存在△面積的最大值.…………………6分因為直線過點，可設(shè)直線的方程為或（舍）．則整理得．…………………7分由．設(shè)．解得

，

．則．因為

．………10分設(shè)，，．則在區(qū)間上為增函數(shù)．所以．所以，當且僅當時取等號，即．所以的最大值為．………………13分22.已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函數(shù)g（x）的圖象在點