(完整版)2019年高考文科數(shù)學(xué)全國2卷含答案

(完整版)2019年高考文科數(shù)學(xué)全國2卷含答案1.設(shè)集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，則A∩B=（）。A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.?2.設(shè)z=i(2+i)，則z=（）。A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i3.已知向量a=(2,3)，b=(3,2)，則a-b=（）。A.(-1,1)B.(-1,-1)C.(5,2)D.(5,0)4.生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測量過某項(xiàng)指標(biāo)。若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為（）。A.2/5B.3/10C.1/5D.1/105.在“一帶一路”知識測驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對成績進(jìn)行預(yù)測。甲說：“我的成績比乙高?！币艺f：“丙的成績比我和甲的都高?！北f：“我的成績比乙高?！背煽児己?，三人成績互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的次序?yàn)椋ǎ.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙6.設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=ex-1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=（）。A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+17.設(shè)α、β為兩個(gè)平面，則α//β的充要條件是（）。A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α、β平行于同一條直線D.α、β垂直于同一平面8.設(shè)f(x)=sin(x/π)+1/4，若f(x)有兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，則ω=（）。A.2B.3/2C.1D.1/29.若拋物線y=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓x2/y2+1=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=（）。A.2B.3C.4D.810.曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(π,-1)處的切線方程為（）。A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=011.已知α∈(0,π/2)，2sin2α=cos2α+1，則sinα=（）。A.1/5B.3/5C.5/3D.512.設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與雙曲線x2/2-y2/3=1交于P,Q兩點(diǎn)，若OP=2，則雙曲線的離心率為（）。解析：雙曲線的焦點(diǎn)到中心的距離為c=a√(e2-1)，其中a=OF/2=1，c=2，代入得e=√(c2+a2)/a=√13/2，所以離心率為e=√13/2。答案：√13/2二、填空題13.若變量$x,y$滿足約束條件$x+y-3\leq0,y-2\leq0$，$z=3x-y$的最大值是$\boxed{6}$。14.我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站的高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為$\boxed{0.98}$。15.$\triangleABC$的內(nèi)角$A,B,C$的對邊分別為$a,b,c$。已知$b\sinA+a\cosB=1$，則$B=\boxed{\frac{\pi}{4}}$。16.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）。半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體。半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美。圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1。則該半正多面體共有$\boxed{26}$個(gè)面，其棱長為$\boxed{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$。三、解答題17.如圖，長方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的底面$ABCD$是正方形，點(diǎn)$E$在棱$AA_1$上，$BE\perpEC_1$。（1）證明：$BE\perp$平面$EBC_1$。（2）若$AE=AE_1=3$，$AB=3$，求四棱錐$E-BB_1C_1$的體積。解：（1）設(shè)$BE$交平面$EBC_1$于點(diǎn)$F$，則要證明$EF\perp$平面$EBC_1$，即證明$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BC_1}=0$。因?yàn)?ABCD$是正方形，所以$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}$。又因?yàn)?BE\perpEC_1$，所以$\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{EC_1}=0$，即$\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{E_1C_1}=0$。因?yàn)?\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{BC_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC_1}$，所以\begin{align*}\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BC_1}&=(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BF})\cdot(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC_1})\\&=\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{AC_1}\\&=\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{AC_1}\\&=\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{BA}\\&=\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{E_1C_1}+\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{BA}\\&=0.\end{align*}所以$EF\perp$平面$EBC_1$。（2）連接$BB_1$，則四棱錐$E-BB_1C_1$的高為$EF$，底面積為$[ABCD]=9$，底面中心為$O$，$EO=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$OF=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，所以$EF=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=2\sqrt{2}+3$。又因?yàn)?\triangleAEE_1$為等腰直角三角形，所以$EE_1=3\sqrt{2}$。所以$BE=\sqrt{(2\sqrt{2}+3)^2+(3\sqrt{2})^2}=2\sqrt{14}+3$。又因?yàn)?\angleB_1C_1B=\angleA_1BB_1=45^\circ$，所以$\triangleBB_1C_1$為等腰直角三角形，$B_1C_1=BB_1=\sqrt{2}$。所以$V_{E-BB_1C_1}=\frac{1}{3}S_{B_1C_1}\cdotEF=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot(\sqrt{2})^2\cdot(2\sqrt{2}+3)=\boxed{2\sqrt{2}+3}$。18.已知$\{a_n\}$是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，$a_1=2$，$a_3=2a_2+16$。(1)求$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式：(2)設(shè)$b_n=\log_2a_n$，求數(shù)列$\{b_n\}$的前$n$項(xiàng)和。解：(1)設(shè)等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比為$q$，則$a_2=2q$，$a_3=4q^2$。因?yàn)?a_3=2a_2+16$，所以$4q^2=4q+16$，即$q^2-q-4=0$，解得$q=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$（舍去負(fù)根）。所以$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=2\left(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)^{n-1}$。(2)$b_n=\log_2a_n=(n-1)\log_2\left(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)$，所以\begin{align*}\sum_{k=1}^nb_k&=\sum_{k=1}^n(k-1)\log_2\left(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)\\&=\log_2\left(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)\sum_{k=1}^n(k-1)\\&=\log_2\left(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)\cdot\frac{n(n-1)}{2}.\end{align*}所以數(shù)列$\{b_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$\frac{n(n-1)}{2}\log_2\left(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)$。19.某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率$y$的頻數(shù)分布表。|$y$的分組|企業(yè)數(shù)||-----------------|--------||$[-0.20,0)$|2||$[0,0.20)$|24||$[0.20,0.40)$|53||$[0.40,0.60)$|14||$[0.60,0.80)$|7|（1）分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例；（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）。（精確到0.01）解：（1）產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)指的是$y\geq0.4$的企業(yè)。由表可知，$[0.40,0.60)$中有14個(gè)企業(yè)，$[0.60,0.80)$中有7個(gè)企業(yè)，所以這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)共有$14+7=21$個(gè)，比例為$\frac{21}{100}=\boxed{0.21}$。產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)指的是$y<0$的企業(yè)。由表可知，$[-0.20,0)$中有2個(gè)企業(yè)，所以這類企業(yè)中產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)共有2個(gè)，比例為$\frac{2}{100}=\boxed{0.02}$。（2）將表格補(bǔ)充完整如下：|$y$的分組|企業(yè)數(shù)|中點(diǎn)值||-----------------|--------|--------||$[-0.20,0)$|2|$-0.10$||$[0,0.20)$|24|0.10||$[0.20,0.40)$|53|0.30||$[0.40,0.60)$|14|0.50||$[0.60,0.80)$|7|0.70|這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)的估計(jì)值為\begin{align*}\bar{y}&=\frac{2\times(-0.10)+24\times0.10+53\times0.30+14\times0.50+7\times0.70}{100}\\&=0.28.\end{align*}這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值的公式為$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^nf_i(x_i-\bar{x})^2}{n-1}},$$其中$n$為樣本容量，$f_i$為第$i$個(gè)組的頻數(shù)，$x_i$為第$i$個(gè)組的中點(diǎn)值，$\bar{x}$為樣本平均數(shù)。代入數(shù)據(jù)可得\begin{align*}s&=\sqrt{\frac{2\times(-0.10-0.28)^2+24\times(0.10-0.28)^2+53\times(0.30-0.28)^2}{99}}\\&\approx\boxed{0.16}.\end{align*}根據(jù)題意，可列出方程：0x(xt)2dt12x2解得：x2或x12.因?yàn)閤x，所以x12不符合題意，故x2.11.答案：B解析：根據(jù)題意，可列出方程：0x(2lnt)dtxlnxx1解得：x1或xe.因?yàn)閤0，所以xe.12.答案：D解析：設(shè)C為圓的方程，則由題意可得：x2y22(x2)2y28.解得：x22，y2.13.答案：C解析：設(shè)BC=a，AC=b，則由題意可得：ab32，a2b213.解得：a2，b3.14.答案：B解析：由題意可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,3)，因此直線AB的斜率為2.又因?yàn)橹本€AB的中垂線過點(diǎn)(0,1)，所以直線AB的方程為y2x1.15.答案：D解析：因?yàn)閒(x)是定義在[1,1]上的偶函數(shù)，所以f(x)在[1,0]上單調(diào)遞增，在[0,1]上單調(diào)遞減.又因?yàn)閒(0)0，所以f(x)在[0,1]上恰有一個(gè)零點(diǎn).16.答案：B解析：設(shè)交點(diǎn)為P，則由題意可得：yx22x2yx2解得：P的坐標(biāo)為(1,1).17.答案：C解析：由題意可知，若POF為等邊三角形，則OF=PF，所以P在以O(shè)為圓心，OF為半徑的圓上.又因?yàn)镃點(diǎn)在以F為圓心，F(xiàn)B為半徑的圓上，所以PC垂直于FB.設(shè)PC與FB的交點(diǎn)為D，則由勾股定理可得：DC32，PB32.又因?yàn)镻C垂直于FB，所以PC的斜率為13，所以PC的方程為y13x73.因此，C點(diǎn)到FO的距離為：d13273223.所以C的離心率為23.18.答案：A解析：由題意可知，若存在點(diǎn)P，使得PF1PF2，且F1PF2的面積等于16，則由勾股定理可得：F1PF2P4.又因?yàn)镻F1PF2，所以PF1PF2為矩形，所以PF1=PF2=2.設(shè)AB=BC=x，則由勾股定理可得：x4(x2)2(x2)24x2解得：x4，a8，b的取值范圍為(0,4].19.答案：B解析：(1)因?yàn)閒(x)(x1)lnxx1，所以f’(x)lnx.又因?yàn)閒’(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,)上單調(diào)遞增.又因?yàn)閒(1)0，所以f(x)存在唯一的極值點(diǎn).(2)設(shè)f(x)的兩個(gè)實(shí)根為m，n，則由題意可得：(m1)lnmm1(n1)lnnn1解得：lnmmlnnn，所以m1n，即m、n互為倒數(shù).20.答案：D解析：(1)當(dāng)3時(shí)，可得：4sin23，所以l的極坐標(biāo)方程為：3.(2)設(shè)P的極坐標(biāo)為(r,)，則由題意可得：r4sincos2cos解得：r2cos(23).因此，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為r2cos(23).21.答案：A解析：(1)當(dāng)a1時(shí)，可得：f(x)|x1|x|x2|(x1)x1x2x3x21x2x1x1解得：f(x)0，x(0,1)(2,).(2)當(dāng)x(,1)時(shí)，f(x)，所以a1.當(dāng)x(1,2)時(shí)，f(x)，所以a2.因此，a的取值范圍為(1,2).（1）由已知條件可得：$\begin{cases}\sinx+\cosx=1\\\sinx\cosy+\cosx\siny=\frac{1}{2}\end{cases}$將第一個(gè)式子移項(xiàng)并平方，得到$\sin^2x+2\sinx\cosx+\cos^2x=1$，即$\sin2x=0$，因此$x=k\pi+\frac{\pi}{4}$，其中$k\in\mathbb{Z}$。將$x$代入第二個(gè)式子，得到$\siny+\cosy=\frac{1}{2\cosx}$，將$\cosy$用$\siny$表示，得到$\cosy=\frac{1-2\sinx}{2\cosx}$，代入第一個(gè)式子，整理后可得$\siny=\frac{2\sinx-1}{2\cosx}$。因此，$\tany=\frac{\siny}{\cosy}=\frac{2\sinx-1}{1-2\sinx}$，化簡可得$\tany=-\frac{1}{3}$，因此$a=-1$。（2）將第一個(gè)式子平方，得到$\sin^2x+\cos^2x+2\sinx\cosx=1$，即$\sin2x=-\frac{1}{2}$。因此，$x=\frac{7\pi}{12}+k\pi$，其中$k\in\mathbb{Z}$。將$x$代入第二個(gè)式子，得到$\siny+\cosy=\frac{1}{2\cosx}$，將$\cosy$用$\siny$表示，得到$\cosy=\frac{1-2\sinx}{2\cosx}$，代入第一個(gè)式子，整理后可得$\siny=\frac{\sqrt{2}-1}{2\cosx}$。因此，$\tany=\frac{\siny}{\cosy}=\frac{\sqrt{2}-1}{1-2\sinx}$，化簡可得$\tany=2-\sqrt{2}$，因此$n^2=8-4\sqrt{2}$，即$n=\sqrt{8-4\sqrt{2}}$。已知$a_1=2,a_3=2a_2+16$，求$q$使得$a_1q=2a_1q+16$成立，解得$q=4$或$q=-2$，由于$q>0$，所以$q=4$，因此$a_n=a_1q^{n-1}=2\cdot4^{n-1}=2^{2n-1}$。將$a_n$代入$b_n$，得到$b_n=2^{n-1}$，因此數(shù)列$\{b_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$2^n-1$。（1）設(shè)這類企業(yè)總數(shù)為$100$，其中產(chǎn)值增長率不低于$40\%$的企業(yè)有$x$個(gè)，產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)有$y$個(gè)，則有$\frac{x}{100}+\frac{y}{100}=1$，又因?yàn)?x>y$，所以$\frac{x}{100}-\frac{y}{100}>0$，解得$\frac{x}{100}=\frac{3}{5}$，$\frac{y}{100}=\frac{2}{5}$，因此這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于$40\%$的企業(yè)比例是$\frac{3}{5}$，產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例是$\frac{2}{5}$。（2）這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)為$(-0.10)\times2+0.10\times24+0.30\times53+0.50\times14+0.70\times7=0.30$，方差為$(-0.10-0.30)^2\times2+(0.10-0.30)^2\times24+(0.30-0.30)^2\times53+(0.50-0.30)^2\times14+(0.70-0.30)^2\times7=0.0296$，因此標(biāo)準(zhǔn)差為$\sqrt{0.0296}\approx0.17$。（1）設(shè)點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(x,y)$，則有$\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$，又因?yàn)?\DeltaPOF$為等邊三角形，所以$PF_1=PF_2$，即$\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$，解得$c=\frac{y^2}{2x}$，代入原方程可得$\frac{x^2}{(\frac{y^2}{2x})^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$，解得$e^2=4\pm\sqrt{23}$，因此$e=3-\sqrt{23}$。（2）由勾股定理可得$PF_1^2+PF_2^2=4a^2$，又因?yàn)?PF_1\cdotPF_2=b^2$，所以$PF_1^2\cdotPF_2^2=b^4$，因此有$PF_1^2$和$PF_2^2$的值，進(jìn)而求得$S_{\DeltaPPF_1}=S_{\DeltaPPF_2}=\frac{1}{2}b^2$，由三角形面積公式可得$S_{\DeltaPPF_1F_2}=\sqrt{(2a)^2-b^2}$，因此$S_{\DeltaPPF_1F_2}=2\sqrt{3}$，由于$PF_1+PF_2\geq2\sqrt{PF_1\cdotPF_2}=4$，所以$a\geq4$。（1）設(shè)$f(x)=\lnx-\frac{1}{x}$，則$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，因此$f(x)$在$(0,1)$上遞減，在$(1,+\infty)$上遞增，因此$f(x)$在$(0,1)$上取得最大值，最大值為$f(1)=0$，在$(1,+\infty)$上無最大值。（2）設(shè)$g(x)=\lnx+\frac{1}{x^2}$，則$g'(x)=\frac{1}{x}-\frac{2}{x^3}=\frac{x^2-2}{x^3}$，因此$g(x)$在$(0,\sqrt{2})$上遞減，在$(\sqrt{2},+\infty)$上遞增，因此$g(x)$在$(0,\sqrt{2})$上取得最大值，最大值為$g(\sqrt{2})=\frac{3}{2}\ln2$，在$(\sqrt{2},+\infty)$上無最大值。所以存在唯一的$x\in(1,2)$，使得$f'(x)=g(x)$，當(dāng)$x<x_0$時(shí)，$g(x)<g(x_0)$，當(dāng)$x>x_0$時(shí)，$g(x)>g(x_0)$，因此$f(x)$在$(0,x_0)$上遞減，在$(x_0,+\infty)$上遞增，所以$f(x)$存在唯一的極值點(diǎn)。由(1)知存在唯一的$x\in(1,2)$，使得$f'(x)=\frac{1}{x}$，即$\lnx=\