復變函數(shù)(第四版余家榮)課件

第二章復函數(shù)

§1.解析函數(shù)1.極限與連續(xù)性

單值函數(shù)：

對于G中的每個z，有唯一的w與其對應。

多值函數(shù)：

至少存在一個z0屬于G，與z0對應的w有

兩個或兩個以上。第二章復函數(shù)§1.解析函數(shù)1.極限與連續(xù)性單值函1復變函數(shù)(第四版余家榮)課件2復變函數(shù)(第四版余家榮)課件3復變函數(shù)極限的定義復變函數(shù)極限的定義4

當

時，

當

時，

當

時，當時，當時，當時，5設

則

當且僅當

證明

如果則

使得當時，命題設則當且僅當證明如果則使得當時，命題6所以反之，若則當時，所以,當時所以反之，若則當時，所以,當時7

連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）均為連續(xù)函數(shù)

連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)為連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）均為連續(xù)函數(shù)連續(xù)函8例例9

argz0argz010復變函數(shù)(第四版余家榮)課件11

2.

導數(shù)·解析函數(shù)定義2.導數(shù)·解析函數(shù)定義12定義在區(qū)域內解析在一點解析定義在區(qū)域內解析在一點解析13在閉區(qū)域上解析

如果一個函數(shù)在一個點可導，則它在這個點連續(xù).證明設f(z)在點a可導，則在閉區(qū)域上解析如果一個函數(shù)在一個點可導，則它在這14注解1“可微”有時也可以稱為“單演”，而“解析”有時也稱為“單值解析”、“全純”、“正則”等；注解2解析性與可導性的關系：在一個點的可導性為一個局部概念，而解析性是一個整體概念；注解3函數(shù)在一個點解析，是指在這個點的某個鄰域內可導，因此在這個點可導，反之，在一個點的可導不能得到在這個點解析；注解4閉區(qū)域上的解析函數(shù)是指在包含這個區(qū)域的一個更大的區(qū)域上解析；注解1“可微”有時也可以稱為“單演”，而“解析”有時也稱15四則運算法則四則運算法則16復合函數(shù)求導法則

復合函數(shù)求導法則17注：利用這些法則，我們可以計算常數(shù)、多項式以及有理函數(shù)的導數(shù)，其結果和數(shù)學分析的結論基本相同。反函數(shù)求導法則

注：利用這些法則，我們可以計算常數(shù)、多項式以及有理函數(shù)的導數(shù)18證明

因為

所以Cauchy-Riemann

方程問題

證明因為所以Cauchy-Riemann方程問題19設可微，則首先設h為實數(shù)，得令得再令t為實數(shù)，得設可微，則首先設h為實數(shù)，得令得再令t為實數(shù)，得20令得由得

Cauchy-Riemann方程令得由得Cauchy-Riemann方程21復變函數(shù)(第四版余家榮)課件22例在處滿足上述定理中的條件，但f(z)在不可微.證明例在處滿足上述定理中的條件，但f(z)在不可微.證明23

C-R條件

證明

設

在點

處有導數(shù)

其中a和b為實數(shù)，

當

時，C-R條件證明設在點處有導數(shù)其中a和b為實數(shù)24復變函數(shù)(第四版余家榮)課件25

其中

滿足條件其中滿足條件26復變函數(shù)(第四版余家榮)課件27

注：注：28復變函數(shù)(第四版余家榮)課件29復變函數(shù)(第四版余家榮)課件30復變函數(shù)(第四版余家榮)課件31復變函數(shù)(第四版余家榮)課件32復變函數(shù)(第四版余家榮)課件33復變函數(shù)(第四版余家榮)課件34

§2.初等函數(shù)

實指數(shù)函數(shù)的性質

1.指數(shù)函數(shù)§2.初等函數(shù)實指數(shù)函數(shù)的性質1.指數(shù)函數(shù)35指數(shù)函數(shù)的定義域的擴充由于要求解析，所以利用柯西-黎曼條件，有指數(shù)函數(shù)的定義域的擴充由于要求解析，所以利用柯西-黎曼條件，36所以，因此，定義稱作復指數(shù)函數(shù)，記作所以，因此，定義稱作復指數(shù)函數(shù)，記作37復指數(shù)函數(shù)的性質：復指數(shù)函數(shù)的性質：38

注：

Euler公式注：Euler公式39

問題：問題：40

指數(shù)函數(shù)的幾何性態(tài)指數(shù)函數(shù)的幾何性態(tài)41復變函數(shù)(第四版余家榮)課件42

三角函數(shù)由于Euler公式，對任何實數(shù)y，我們有：所以有定義三角函數(shù)由于Euler公式，對任何實數(shù)y，我們有：所以有43

三角函數(shù)的性質（2）cosz是偶函數(shù)，sinz是奇函數(shù)

證明三角函數(shù)的性質（2）cosz是偶函數(shù)，sinz是奇函數(shù)證44（3）cosz和sinz是以2π為周期的周期函數(shù):

證明（3）cosz和sinz是以2π為周期的周期函數(shù):45證明證明46證明證明47復變函數(shù)(第四版余家榮)課件48復變函數(shù)(第四版余家榮)課件49復變函數(shù)(第四版余家榮)課件50復變函數(shù)(第四版余家榮)課件51定義上述四個函數(shù)在各自的定義域內解析，且定義雙曲正弦雙曲余弦雙曲正切定義上述四個函數(shù)在各自的定義域內解析，且定義雙曲正弦雙曲余弦52初等多值函數(shù)1.幅角函數(shù)單值分支.連續(xù)單值分支.初等多值函數(shù)1.幅角函數(shù)單值分支.連續(xù)單值分支.53上沿下沿上沿下沿54思考題：思考題：55定義設是一個多值函數(shù)，是的任意一個鄰域,是內任一繞一周的簡單閉曲線.在上取一點,我們從與對應的多個值中取出一個與其對應，設為,讓點從出發(fā)，沿繞一周，回到,對應的值從連續(xù)變化為如果則稱為的一個支點.定義設是一個多值函數(shù)，是的任意一個鄰域,是內任一繞一周的簡單56復變函數(shù)(第四版余家榮)課件57復變函數(shù)(第四版余家榮)課件58對數(shù)函數(shù)定義注意：由于對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，而指數(shù)函數(shù)是周期為2π的周期函數(shù)，所以對數(shù)函數(shù)必然是多值函數(shù)。對數(shù)函數(shù)定義注意：由于對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，而指數(shù)函數(shù)59注意：對數(shù)函數(shù)的基本性質注：注意：對數(shù)函數(shù)的基本性質注：60問題：問題：61對數(shù)函數(shù)的主值相應于Argz的主值，我們定義Lnz的主值為：連續(xù)單值分支.對數(shù)函數(shù)的主值相應于Argz的主值，我們定義Lnz的主值為：62對數(shù)函數(shù)的主值支.對數(shù)函數(shù)的主值支.63支割線.支割線.64證明證明65注：注：66復變函數(shù)(第四版余家榮)課件67復變函數(shù)(第四版余家榮)課件68復變函數(shù)(第四版余家榮)課件69復變函數(shù)(第四版余家榮)課件70復變函數(shù)(第四版余家榮)課件71復變函數(shù)(第四版余家榮)課件72復變函數(shù)(第四版余家榮)課件73復變函數(shù)(第四版余家榮)課件74復變函數(shù)(第四版余家榮)課件75對數(shù)函數(shù)的映射性質對數(shù)函數(shù)的映射性質76冪函數(shù)冪函數(shù)77定義定義78復變函數(shù)(第四版余家榮)課件79復變函數(shù)(第四版余家榮)課件80其中應當理解為對它求導數(shù)的那個分支.其中應當理解為對它求導數(shù)的那個分支.81冪函數(shù)的映射性質冪函數(shù)的映射性質82復變函數(shù)(第四版余家榮)課件83復變函數(shù)(第四版余家榮)課件84復變函數(shù)(第四版余家榮)課件85復變函數(shù)(第四版余家榮)課件86復變函數(shù)(第四版余家榮)課件87復變函數(shù)(第四版余家榮)課件88復變函數(shù)(第四版余家榮)課件89復變函數(shù)(第四版余家榮)課件90復變函數(shù)(第四版余家榮)課件91復變函數(shù)(第四版余家榮)課件92復變函數(shù)(第四版余家榮)課件93復變函數(shù)(第四版余家榮)課件94復變函數(shù)(第四版余家榮)課件95復變函數(shù)(第四版余家榮)課件96反三角函數(shù)反三角函數(shù)97復變函數(shù)(第四版余家榮)課件98復變函數(shù)(第四版余家榮)課件99復變函數(shù)(第四版余家榮)課件100復變函數(shù)(第四版余家榮)課件101復變函數(shù)(第四版余家榮)課件102復變函數(shù)(第四版余家榮)課件103復變函數(shù)(第四版余家榮)課件104復變函數(shù)(第四版余家榮)課件105復變函數(shù)(第四版余家榮)課件106復變函數(shù)(第四版余家榮)課件107復變函數(shù)(第四版余家榮)課件108復變函數(shù)(第四版余家榮)課