2014年高考數(shù)學(xué)全國二卷(理科)完美版

2014年高考數(shù)學(xué)全國二卷(理科)完美版2014全國2卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘。第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合M={0,1,2}，N={x|x2-3x+2≤0}，則M∩N=（）。A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}2.設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，z1=2+i，則z1z2=（）。A.-5B.5C.-4+iD.-4-i3.設(shè)向量a，b滿足|a+b|=10，|a-b|=6，則a·b=（）。A.1B.2C.3D.54.鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC=2，則AC=（）。A.5B.5C.2D.15.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）。A.0.8B.0.75C.0.6D.0.456.如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm），圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（）。[圖片已省略]A.1/75B.1/27C.1/9D.1/57.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的x，t均為2，則輸出的S=（）。[圖片已省略]A.4B.5C.6D.78.設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=（）。A.-1B.1C.2D.39.設(shè)x，y滿足約束條件x-y+3≤0，3x-y-5≥0，則z=2x-y的最大值為（）。A.10B.8C.3D.210.設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（）。A.339/36B.3/8C.3/4D.9/411.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=C1C，則BM與AN所成角的余弦值為（）。A.√3/2B.1/2C.1/√2D.√2/2（以下段落刪除，無用信息）第1頁共6頁2014·新課標(biāo)Ⅱ卷第2頁設(shè)函數(shù)$f(x)=3\sinx$.若存在$f(x)$的極值點(diǎn)$x$滿足$x^2+m[f(x)]^2<m^2$，則$m$的取值范圍是()A.$(-\infty,-6)\cup(6,+\infty)$B.$(-\infty,-4)\cup(4,+\infty)$C.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$D.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$解析：由題意得：$x^2+m[3\sinx]^2<m^2$，即$x^2+\frac{3^2m^2}{2}(1-\cos2x)<m^2$，又$-1\leq\cos2x\leq1$，所以$x^2+\frac{9m^2}{2}<m^2$，即$x^2<\frac{m^2}{2}$，因此$-\sqrt{\frac{m^2}{2}}<x<\sqrt{\frac{m^2}{2}}$。由于$f(x)$是偶函數(shù)，只需考慮$x>0$的情況，即$0<x<\sqrt{\frac{m^2}{2}}$。在此區(qū)間內(nèi)，$f(x)$的單調(diào)性與$\sinx$相同，即單調(diào)遞增。因此，$f(x)$的極值點(diǎn)為$x=\frac{\pi}{2}$，此時$f(x)=3$，代入不等式得$\frac{9m^2}{2}<m^2$，解得$m\in\textbf{(C)}(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$。二、填空題13.$(x+a)^{10}$的展開式中，$x^7$的系數(shù)為15，則$a=\underline{120}$。14.函數(shù)$f(x)=\sin(x+2\varphi)-2\sin\varphi\cos(x+\varphi)$的最大值為$\underline{1}$。15.已知偶函數(shù)$f(x)$在$[0,+\infty)$單調(diào)遞減，$f(2)=0$。若$f(x-1)>0$，則$x$的取值范圍是$\underline{(1,2)}$。16.設(shè)點(diǎn)$M(x_0,1)$，若在圓$O:x^2+y^2=1$上存在點(diǎn)$N$，使得$\angleOMN=45^\circ$，則$x$的取值范圍是$\underline{\left[\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]}$。三、解答題17.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n+1$。(1)證明$a_n+2$是等比數(shù)列，并求$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式；(2)證明$\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\cdots+\frac{1}{a_{n-1}a_n}<\frac{1}{2}$。解析：(1)由題意得$a_{n+2}=3a_{n+1}+1=3(3a_n+1)+1=9a_n+4=(3a_n+2)+7$.令$b_n=a_n+2$，則$b_{n+1}=3b_n$，即$\{b_n\}$是等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為$b_n=3^{n-1}b_1=3^{n-1}(a_1+2)=3^{n}+2^{n+1}$，所以$a_n=b_n-2=3^{n}+2^{n+1}-2$。(2)由題意得$\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\cdots+\frac{1}{a_{n-1}a_n}=\frac{a_2-a_1}{a_1a_2}+\frac{a_3-a_2}{a_2a_3}+\cdots+\frac{a_n-a_{n-1}}{a_{n-1}a_n}=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}+\cdots+\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_n}<\frac{1}{a_1}=\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$，得證。18.如圖，四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$為矩形，$PA\perp$平面$ABCD$，$E$為$PD$的中點(diǎn)。(1)證明：$PB\parallel$平面$AEC$；(2)設(shè)二面角$D-AE-C$為$60^\circ$，$AP=1$，$AD=3$，求三棱錐$E-ACD$的體積。解析：(1)連接$AC$，則$AC\parallelPB$，又$PA\perpAC$，所以$PB\perpPA$。又因?yàn)?PD\parallelAC$，所以$PB\parallelPD$。設(shè)$PB$交$AE$于點(diǎn)$F$，則$\angleAFE=\angleAFD=90^\circ$，所以$AFDE$為矩形，即$AE=FD$。又因?yàn)?\angleFDP=\angleAEP=45^\circ$，所以$\triangleFDP\cong\triangleAEP$，即$FP=PE$。因此，$PB\parallelAE$。(2)連接$PC$交$AE$于點(diǎn)$G$，則$\trianglePGC\cong\trianglePEA$，即$GC=EA=\frac{1}{2}AD=\frac{3}{2}$，又因?yàn)?PG=3$，所以$PC=\sqrt{PG^2+GC^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}$。設(shè)三棱錐$E-ACD$的高為$h$，則$h^2=PE^2-PC^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2-PC^2=\frac{3}{4}-\frac{21}{4}=-3$，顯然不成立。因此，三棱錐$E-ACD$不存在。19.某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入$y$（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：|年份|2007|2008|2009|2010|2011|2012|2013||----|----|----|----|----|----|----|----||年份代號$t$|1|2|3|4|5|6|7||人均純收入$y$|2.9|3.3|3.6|4.4|4.8|5.2|5.9|(1)求$y$關(guān)于$t$的線性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入。解析：(1)由線性回歸方程的最小二乘估計(jì)公式得：$$\begin{aligned}b&=\frac{n\sum\limits_{i=1}^nt_iy_i-\sum\limits_{i=1}^nt_i\sum\limits_{i=1}^ny_i}{n\sum\limits_{i=1}^nt_i^2-(\sum\limits_{i=1}^nt_i)^2}\\&=\frac{7\times(1\times2.9+2\times3.3+3\times3.6+4\times4.4+5\times4.8+6\times5.2+7\times5.9)-(1+2+3+4+5+6+7)\times(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)}{7\times(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2)-(1+2+3+4+5+6+7)^2}\\&=\frac{218.6}{14\times7-28}=\frac{218.6}{90}\approx2.43\\a&=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^ny_i-b\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nt_i\\&=\frac{2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9}{7}-2.43\times\frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}\\&\approx0.81\end{aligned}$$因此，$y=0.81+2.43t$。(2)由線性回歸方程可知，該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入呈上升趨勢，且增長速度為2.43千元/年。預(yù)測2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入時，令$t=8$，代入回歸方程得$y=0.81+2.43\times8=20.85$（千元），即預(yù)測2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為20.85千元。20.設(shè)橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦點(diǎn)分別為$F_1$，$F_2$，$M$是C上一點(diǎn)且$MF_2$與$x$軸垂直，直線$MF_1$與C的另一個交點(diǎn)為$N$。(1)若直線$MN$的斜率為$k$，求C的離心率；(2)若直線$MN$在$y$軸上的截距為2，且$|MN|=5|F_1N|$，求$a$，$b$。21.已知函數(shù)$f(x)=e^x-e^{-x}-2x$。(1)討論$f(x)$的單調(diào)性；(2)設(shè)$g(x)=f(2x)-4bf(x)$，當(dāng)$x>0$時，$g(x)>0$，求$b$的最大值；(3)已知$1.4142<\sqrt{2}<1.4143$，估計(jì)$\ln2$的近似值（精確到0.001）。22.如圖，$P$是$\odotO$外一點(diǎn)，$PA$是切線，$A$為切點(diǎn)，割線$PBC$與$\odotO$相交于點(diǎn)$B$，$C$，$PC=2PA$，$D$為$PC$的中點(diǎn)，$AD$的延長線交$\odotO$于點(diǎn)$E$。證明：(1)$BE=EC$；(2)$AD\cdotDE=2PB^2$。23.在直角坐標(biāo)系$xOy$中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，$x$軸正半軸為極