信號與系統(tǒng)實驗上一屆matlab教程

第9 稀疏矩在許多問題中提到了0元素的矩陣，這樣的矩陣稱為稀疏矩陣。比如求解普通或者部分微分方程的數(shù)值。為了節(jié)省間和計算間，考慮到矩陣的稀疏性，在對它運算時有特殊令。一個稀疏矩陣中有許多元素等于零，這便于矩陣的計算和保存。如果把一個矩陣當作稀疏矩陣，那么只需在m×3的矩陣中m個非零項。第1列是行下標，第2列是列下標，第3列是非零元素值，不必保存零元素。如果一個浮點數(shù)要8個字節(jié)，每個下標要4個字節(jié)，那么整個矩陣在內(nèi)存中需要16×m個字節(jié)。例得到一個1000×1000的單位矩陣，它需要8Mb空間。如果使用命令用一個1000×3的矩陣來代表，每行包含有一個行下標、列下標和元素本身?，F(xiàn)在只需16Kb的空間就可以1000×1000的單位矩陣，它只需要滿單位矩陣的0.2%空間。對于許■稀疏矩陣的計算速度更快，因為只對非零元素進行操作，這是稀疏矩陣的第二例假設(shè)矩陣A、B和例9.12*A需要一百萬次的浮點運算，而計算2*B只■因為不能自動創(chuàng)建稀疏矩陣，所以要用特殊令來得到稀疏矩陣，在下一節(jié)中將給出這些命令。前面章節(jié)中的算術(shù)和邏輯運算都適用于稀疏矩陣。 生成一個由長度相同的向量u，v和a中u和v是整數(shù)向量，a是一個實數(shù)或者復(fù)數(shù)向量。(ui,vi)aia中有零元素，則將這個元素排除在外。 生成一個m×n的稀疏矩陣，(ui,vi)對應(yīng)值ai。向量u，v和 生成一個m×n的含有nzmax個非零元素的稀疏矩陣。 返回向量x中非零元素的下標。如果x=X是一個矩陣，那 命令集

例將矩陣A轉(zhuǎn)換成稀疏矩陣第9章稀疏矩 注意，稀疏矩陣和得到的滿矩陣的大小是分別是由ind1和ind2中最大元素值確定的，即當函數(shù)用一個矩陣作為輸入?yún)?shù)，輸出參數(shù)為一個標量或者一個給定大小的向量時，輸size。對于單參數(shù)的其他函數(shù)來說，通常返回的結(jié)果和參數(shù)的形式是一樣的，如diag對于雙參數(shù)的運算或者函數(shù)來說，如果兩個參數(shù)的形式一樣，那么也返回同樣形式的結(jié)果。在兩個參數(shù)形式不一樣的情況下，除非運算的需要，均以滿矩陣的形式給出結(jié)果。兩個矩陣的組和[AB]，如果A或B例■第9章稀疏矩 命令集

) 矩中素。求也陣) 畫出稀矩陣中非零元素的分布。也可用在滿矩陣中，在種，非的。spy(A,cstr,size)cstr(見表13-1)和在size規(guī)定的范圍內(nèi)畫出稀疏 把矩陣A中的非零元素全換為1 如果矩陣A是稀疏矩陣，則返回1；否則返回0 求稀疏矩陣A的結(jié)構(gòu)秩。對于所有的矩陣來說，都有例Big=kron(A,這個矩陣BigKroneckerA的元素查看矩陣Big的結(jié)構(gòu)圖，可輸入spy(Big)，結(jié)構(gòu)如圖9-1 命令集

命令 命令集

生成一個近似的條件數(shù)為1/rc、大小為m×n的隨機稀疏矩 陣。如果rc=rc是一個長度為l≤l(min(m,n))的向量，那么矩陣將rci作為它l個奇異值的第一個，其他的奇異值為0。 sprandn(m,n,dens,生成一個m×n的服從正態(tài)分布的隨機稀疏矩陣，和sprandrc) 生成一個m×n分布，分布密度為denssprandsym(n,dens,生成一個近似條件數(shù)為1/rc的隨機對稱稀疏矩陣。元素以0 對稱分布，但不是正態(tài)分布。如果rc=rc是一個向量，則矩陣有特征值rci。也就是說，如果rc是一個正向量，則矩陣 陣經(jīng)隨機Jacobi旋轉(zhuǎn)得到的，其條件數(shù)正好等于1/rc；如果k=21/rc 例假設(shè)有矩陣第9章稀疏矩 對于(a)中的矩陣A■用命令spdiags可以取出對角線元素，并創(chuàng)建帶狀對角矩陣。假設(shè)矩陣A的大小為m×n，在pB的大小為min(m×n×p，它的列是矩陣A的對角線。向量的長度為p，其整型分量給定了A的對角元：di=0用主對角線di>0命令集

求出A中所有的對角元，對角元保存在矩陣B下標保存在向量d 生成矩陣A，用矩陣B中的列替換d定義的對角元。A=spdiags(B,d,m,n)用保存在由d定義的B中的對角元創(chuàng)建稀疏矩陣A。在許多實際應(yīng)用中要保留稀疏矩陣的結(jié)構(gòu)，但是在計算過程中的中間結(jié)果會減弱它的稀疏性，如LU分解。這就會導(dǎo)致增加浮點運算次數(shù)和空間。為了避免這種情況發(fā)生，在中用命令對矩陣進行重新安排。這些命令都列在下面令集93中。通過help命令可以得到每個命令的幫助信息，也可見helpdesk。命令集

例如果矩陣A第9章稀疏矩 ■命令集

cholinc(A,opt)進行不完全Cholesky分解，變量optdroptol指定不完全分解的舍入誤差，0給出完全分解。michol如果michol=1，則從對角線上抽取出被去掉的元素。rdiag用sqrt(droptol*norm(X(:,j)))代替上三角分解因子中的零元素，j為零元素所在的列。 返回矩陣XL、U和P，變量opt thresh命令集

spparms(keystr,op)設(shè)置稀疏矩陣算法的參數(shù)，用helpspparms 根據(jù)[c*lAA’0]小二乘問題。參見7.7 用helpsymbfat稀疏矩陣的范數(shù)計算和普通滿矩陣的范數(shù)計算有一個重要的區(qū)別。稀疏矩陣的歐幾里德范數(shù)不能直接求得。如果稀疏矩陣是一個小矩陣，則用norm(full(A))來計算它的范數(shù)；但是對于大矩陣來說，這樣計算是不可能的。然而可以計算出歐幾里德范數(shù)的近似值，在計算條件數(shù)時也是一樣。命令集

計算A的近似范數(shù)，設(shè)置相對誤差tol，而不用缺省時例在許多應(yīng)用中，normest計算得到的近似值是一個很好的近似范數(shù)，它的計算■用etree命令來找到稀疏對稱矩陣的消元樹，用向量f來描述消元樹，還可用etreeplot命令畫出來。元素fi是矩陣的上三角Cholesky分解因子中i行上第1非零元素的列下標。如果有非零元素，則fi=0。消元樹可以這樣來建立：命令集

例假設(shè)有對稱稀疏矩陣第9章稀疏矩 開始的數(shù)字21列上第1個非零元素的行數(shù)，它決定了在Cholesky分解因子的第1行第2列處有一個非零元素。當縮減第1列的元素時就得到第2列的數(shù)字5。B在縮減后，在52位置的元素是非零的，這樣消元樹向量中第2個元素的值為5。 圖9-3矩陣B這個向量消元樹可以這樣來建立：上三角中只有一行有非零元素，節(jié)點8，因此這就是樹唯一的根。節(jié)點1是節(jié)點2的孩子，節(jié)點2和3是節(jié)點5的孩子，而節(jié)點5是節(jié)點6的孩子。節(jié)點4和6是節(jié)點7的孩子，而節(jié)點7又是節(jié)點命令給出了樹的結(jié)構(gòu)圖，如圖9-3矩陣的每一行作為一個點。這樣就創(chuàng)建出點點之間連接的n