行列式的計(jì)算技巧

行列式的計(jì)算技巧行列式的計(jì)算技巧很多，在這里，我們介紹常見的一些行列式的計(jì)算技巧主要包括行和或列和相等，爪型（歪爪型）、范德蒙（偽范德蒙）、加邊法、遞推降階法、層層遞加（減）/法等等。方法1行（列）和相等這類行列式的計(jì)算一般把行列式的行全部加到第一行，或者把所有的列全部加到第一列，習(xí)慣上，我們可以全部加到第一列，提取公因子后，第一列全部變成1，從而方便我們植1造0，或者在此時(shí)觀察行列式的特點(diǎn)，進(jìn)一步化成上三角或者下三角來進(jìn)行計(jì)算。例1.蘭州大學(xué)2004招收攻讀碩士研究生考試工試題第四大題第（1）小題。求如下行列式的值。xaa???a12naxa???a12nD=???n+1aaa???a123naaa???x123［分析］我們再仔細(xì)看一下，每行的元素的和數(shù)都是一樣的，那么我們從第2列開始到第n+1列都加到第1列，現(xiàn)提出公因式，這樣行列式的次數(shù)就降了一次。解：\o"CurrentDocument"Ea+x a ai=\o"CurrentDocument"Ea+x a ai=1\o"CurrentDocument"Ea+x x ai 2i=1\o"CurrentDocument"D= \ ；n+1\o"CurrentDocument"^a+xa ai=1\o"CurrentDocument"^a+xa ai=1對行列式=(Ea,+x)ni=1a2a2a3a3…an…an…an…xTOC\o"1-5"\h\z1a a …a1 2 n1 x a …a2 n????1a a …a2 3 n1a a …x23進(jìn)行觀察，此時(shí)一般有兩種途徑，一種是在第一列造0，把第二行開始后的每一行都減去第一行，或者利用第一列的1，把第一列的倍數(shù)加到其他列來造0，具體采用哪個(gè)看具體問題，在本題中，可以考慮把第一列的-a1倍加到第2列，第一列的-a2倍加到第3列，

，第一列的-an倍加到最后一列，。D=乙+x)n+1 ii=111:111a1x:a2a2a2a2:a3a30…………0anan:anx.01x-a0.0 萬 、1.從而有=(Ja+x):ii=1 1a2:-a1a3:-a2.:01a2-a1a3-a2.x一an=(zLa+x)(x-ai1)(x-a)..?(x-a)i=1方法2 爪(歪爪)型行列式此類行列式有三條線構(gòu)成，類似一個(gè)爪子，或者歪爪，可以采用去爪的方法來做，特別注意歪爪只能去掉歪了的爪子，在去爪的過程中，利用主對角線上的元素來去爪子，層層遞進(jìn)即可。列乘以-n加到第一列，倒數(shù)第2列乘以-n加到第一列，倒數(shù)第2列乘以-(n-1)乘到第一列，一直下來，123…n210…0D=301……n…… …n00…1到第3列乘以-3加到第1列，第2列乘以-2加到第一列，則有1-n2-(n-1)2 32-2223n010…0D= 001 .??0.0.0 …1分析：最后=1-22-32 (n—1)2-n2

例2-2:計(jì)算下面行列式111…11210…000D=31…00n,?,0…0 0……1…0000…n1一直下來，到第3列乘以-3加到第2列第2列乘以-2加到第1列，則有1—21—31…1—n1010… 00001… 00D==—1-1n-1=—_n?………… ……000… 10000… 01分析:最后一列乘以—〃加到第(n-1)列，倒數(shù)第2列乘以—(n-1)加到第(n-1)列，方法3 (偽)范德蒙行列式首先，熟悉范德蒙行列式的結(jié)果，等于第2行中每個(gè)元素減去前面元素的所有因子的乘積，范德蒙行列式的推導(dǎo)可以使用層層遞減法得到。例3-1：111 …11D=x1X21X2X22X3X23?…?……Xn—1X2n—1XnX2n=n（x-x）j>/>1nXn—21Xn—11Xn—22Xn—12Xn—23Xn—13?…?…Xn—2n—1Xn—1n—1Xn—2nXn—1n［分析］此行列式是標(biāo)準(zhǔn)的范德蒙行列式，例3-2：記住它的結(jié)果。1111D4aa2bb2cc2dd2a4b4c4d4［分析］此行列式并非標(biāo)準(zhǔn)的范德蒙行列式，少了三次方，不妨把這種行列式稱為偽范德蒙行列式，這類行列式的計(jì)算可以通過構(gòu)造一個(gè)真正的范德蒙行列式，然后通過系數(shù)的對比來進(jìn)行計(jì)算。解：構(gòu)造五階范德蒙行列式11111abcdXa2b2c2d2X2a3b3c3d3X3a4b4c4d4X4一方面，這是一個(gè)范德蒙行列式，所以可以直接求出它的結(jié)果是另一方面D=3-a)(X-b)(X-c)(X-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)5另一方面，此行列式按照第5列展開可得D5=1-氣+XA25+X2氣5+X3A45+X4%這兩個(gè)表達(dá)式必定相等，因此當(dāng)中未知數(shù)的系數(shù)也相等，觀察三次方的系數(shù)，則有A=-D=-(a+b+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)45 4即D4=(a+b+c+d)(d一a)(d一b)(d一c)(c一a)(c一b)(b一a)方法4遞推法應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個(gè)n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式(比如，n-1階或n-1階與n-2階等)的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個(gè)低階初始行列式(比如二階或一階行列式)的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計(jì)算行列式的方法稱為遞推法。例4,2003年福州大學(xué)研究生入學(xué)考試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"以+。ap0 ??-0 0\o"CurrentDocument"1 a+p a。 ..? 0 0\o"CurrentDocument"D〃=0 1 a+p ... 0 0\o"CurrentDocument"? ? ? ? ?\o"CurrentDocument"? ? ? ? ?\o"CurrentDocument"? ? ? ? ?0 0 0 ??- 1 a+p證明：D=以;一。"+1,其中a。。［分析］此行列式的特點(diǎn)是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對角”行列式1］。從行列式的左上方往右下方看，即知D】與。具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計(jì)算。證明：D：按第1列展開，再將展開后的第二項(xiàng)中n-1階行列式按第一行展開有：D=(a+P)D"a。D2這是由D和D表示D的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從n階逐階往低階遞推，計(jì)算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：

D-aD 1=3D 1—a。D =(D1-aD2)或 D-3D =aD -a。D =a(D-。D)現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"D-aD =3(D -aD )=。2(D-aD )=。3(D -aD)\o"CurrentDocument"=...=3n-2(D-aD)=3n-2[(a+3)2-a3-a(a+3)]=3n (1)同樣有：D-3D=a(D-3D)=a2(D-3D)=a3(D-3D)=...=an-2(D—3D)=an-2[(a+3)2—a3—3(a+3)]—an (2)2 1因此當(dāng)a。3時(shí)由（1）（2）由（1）（2）式可解得：Dnan+1—3n+1

a-3方法5加邊法（升階法）有時(shí)為了計(jì)算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計(jì)算，這種計(jì)算行列式的方法稱為加邊法或升階法。當(dāng)然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計(jì)算。要根據(jù)需要和原行列式的特點(diǎn)選取所加的行和列。加法適用于某一行（列）有一個(gè)相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為n-1個(gè)元素的倍數(shù)的情況。加邊法的一般做法是：1a…a10???0a…a01nb111na…aa???aa…a111n1111nD—21?2n?—0a…aba???an??????21??2n2??21??2na…a????n1nn0a…aba???an1nnnn1nn特殊情況取a二二a—-??—a—1或b—b—-??—b—二112n1 2n例5、計(jì)算n階行列式:X2+1xxX2+1xxxx12

x22+1x1x2x1x2xx12xx12［分析］我們先把主對角線的數(shù)都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為X］與x1,x2,…,xn相乘，第二行為x2與X］,X2,…，xn相乘，，第n行為xn與X］,X2,…，xn相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子x1,x2,…，xn，從而就可考慮此法。解：

x1x2+11xxx2x1x2+11xxx2xxx2+12xnxxxx(i=1,…，n)-x1—x2c+xc(i=1,…，n)xx1+￡x2in+1i=101+￡x2ii=100???1n+1方法6拆行（列）法由行列式拆項(xiàng)性質(zhì)知，將已知行列式拆成若干個(gè)行列式之積，計(jì)算其值，再得原行列式值，此法稱為拆行（列）法。由行列式的性質(zhì)知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個(gè)數(shù)之和，則該行列式可拆成兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的某行（列）分別以這兩數(shù)之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對應(yīng)行（列）相同，利用行列式的這一性質(zhì)，有時(shí)較容易求得行列式的值。例6、南開大學(xué)2004年研究生入學(xué)考試題第1大題，要求下列行列式的值:設(shè)n階行列式：a11a21...a12a22...…a1n…a2n=1...an1an2…ann且滿足a=—a,i,j=1,2,...,n,對任意數(shù)b，求n階行列式ijjiTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a +b a +b …a +ba +b a +b ??? a +b21 22 2n???a+ba+b…a+bn1 n2 nn［分析］該行列式的每個(gè)元素都是由兩個(gè)數(shù)的和組成，且其中有一個(gè)數(shù)是b，顯然用拆行（列）法。解：a+ba+b???a+baa+b???a+bba+b???a+b11121n11121n121na+ba+b???a+baa+b???a+bba+b???a+bD=21n..22..2n..=21..22..2n..+..22..2n..a+ba+b???a+baa+b???a+bba+b???a+bn1n2nnn1n2nnn2nn

aa???a+bab…a+b1a???a11121n111n121naa???a+bab…a+b+b1a???a21...22...2n...+21......2n......22...2n...aa???a+bab…a+b1a???an1n2nnn1nnn2nnaa??-a1na1??-a1n1a12…a1naa…? ?? ?? ?a2n...+ba 1??-? ?? ?? ?a2n...+???+b1...a22...…a2n...aa??-anna1??-ann1an2…ann1+bXa.+...+bXa.=1+bXi=1 i=1 i,j=1Aija11a12…a1n—人 a又令A(yù)=21..a22...…a2n...且a:ij——a,?.l,j=1,2,…,nan1an2…ann有：A=1,且A'=-A. A*即A*-A=E由A-1=a 得：A|-即A*-A=EA*=At又(AQ'=(A-1)'=(A)-i=-(A)-i=-A*?.?A*也為反對稱矩陣又A(i,j=1,2,...,n)為A*的元素有XA=0i=1,j=1從而知：D=1+bXA^=1i=1,j=1方法7數(shù)學(xué)歸納法一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法一般是用來證明行列式等式。因?yàn)榻o定一個(gè)行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。

例7.證明：2cos0 1 0 0 012cos0 1 0 0D=0 12cos0 0 0?????=林n (sin0。0)n? ? ? ? ?? ? ? ? ?0 0 0 ??-2cos0 10 0 0 ??? 12cos0sin0=2cos02cos01sin(1+1)0

sin012cos=2cos02cos01sin(1+1)0

sin012cos0=4cos20-1=sin(2二切

sin0結(jié)論顯然成立?，F(xiàn)假定結(jié)論對小于等于n-1時(shí)成立。即有：sin(n-2+1)0D= .n—2sin0將氣按第】列展開，得：2cos01 …0012cos0??-00D=:???n00 …2cos0100 …12cos0=2cos0-D-D=2cos0-n-1 n—2sin(n-1+1)0sin(n-2+1)0— sin0sin0)=sin(n-1+1)0n-1 sin02cos00... 0012cos0...