凝聚態(tài)物質(zhì)的數(shù)值模擬方法

凝聚態(tài)物質(zhì)的數(shù)值模擬方法第1頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月MonteCarlo模擬基礎隨機變量及其分布隨機變量(以下用表示)可分為兩類,一類是離散型隨機變量,它可以取一系列分立值x1,x2,,xn,,其對應的取某一值的幾率為p1,p2,,pn,.pi稱為的幾率分布;另一類是連續(xù)型隨機變量,可連續(xù)取值,設在區(qū)間[x,x+x]內(nèi)取值的幾率為p(x<<x+x),令f(x)稱為的分布幾率密度,而處于區(qū)間[a,b]內(nèi)的幾率由下式給出第2頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月幾率應歸一化,即對離散型隨機變量對連續(xù)型隨機變量定義分布函數(shù)代表處于[-1,x]的幾率.顯然,第3頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量的數(shù)學期望定義為或方差定義為或第4頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個重要的定理:大數(shù)定理:設1,2,,n,為一隨機變量序列,相互獨立,具有同樣分布,且E(i)=a存在,則對任意小量>0,有這一定理指出,不論隨機變量的分布如何,只要n足夠大,則算術平均與數(shù)學期望值可無限接近,也就是說,算術平均以幾率收斂于其數(shù)學期望值.第5頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月中心極限定理:設1,2,,n,為一隨機變量序列,相互獨立,具有同樣分布,且E(i)=a,D(i)=2存在,則當n!1時,推論:令:成立的幾率為1-,(A)1-稱為可信水平.第6頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月,1-和X的數(shù)值關系0.50.050.020.011-0.50.950.980.99X0.67451.96002.32632.5758由表可見,當X=2.5758時,(A)成立的幾率已經(jīng)為99%,也就是說,該式的可靠性已相當高.第7頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月Markov鏈構(gòu)造一個過程,從系統(tǒng)的某一微觀狀態(tài)出發(fā),并在過程的每一步轉(zhuǎn)移到一個新的狀態(tài).為了確定起見,下面用xi代表系統(tǒng)的微觀狀態(tài),如果從x0出發(fā),則這一過程產(chǎn)生一系列狀態(tài)x1,x2,,xi,,這一系列狀態(tài)構(gòu)成一個鏈.Markov過程,是指這樣一種過程,在過程的每一步所達到的狀態(tài)只與前一狀態(tài)有關,從一狀態(tài)r到另一狀態(tài)s的轉(zhuǎn)移通過一轉(zhuǎn)移幾率w(xr!xs)來實現(xiàn).由Markov過程產(chǎn)生的一系列狀態(tài)所構(gòu)成的鏈稱為Markov鏈.為了實現(xiàn)按照正則分布抽樣,我們可以構(gòu)造這樣一個Markov鏈,使得無論從何狀態(tài)出發(fā),存在一個大數(shù)M,在丟掉鏈的前面M個狀態(tài)后,鏈上其余的狀態(tài)滿足正則分布.第8頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月只要取w(xr!xs)滿足如下條件,就可達到我們的要求.式中P(x)為所要達到的分布,此處為正則分布.這一式子又稱為細致平衡條件.為了證明上式,我們考慮很多個平行的Markov鏈,在一個給定的某一步,有Nr個鏈處于第r個態(tài),Ns個鏈處于第s個態(tài).于是在下一步從r態(tài)到s態(tài)的數(shù)目為從s態(tài)到r態(tài)的數(shù)目為從r態(tài)到s態(tài)的凈轉(zhuǎn)移的數(shù)目為第9頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月若w(

xr!

xs)滿足細致平衡條件,則上式成為這是一個十分重要的結(jié)果,上式表明,如果二個狀態(tài)之間不滿足正則分布,則這一Markov過程的演化結(jié)果將總是使其趨于滿足.這樣,就證明了我們的論斷.第10頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月正則分布的抽樣方法:選擇一個滿足細致平衡條件的轉(zhuǎn)移幾率;產(chǎn)生一個Markov鏈,丟掉鏈的前而面M個狀態(tài);用其余狀態(tài)進行物理量的計算.這一算法是五十年代初由Metropolis提出來的,因此現(xiàn)在一般稱為Metropolis算法.考慮從r態(tài)到s態(tài)的轉(zhuǎn)移,若二狀態(tài)的能量差為則:第11頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月當年Metropolis選擇:目前常用的另一種選擇是:應當注意的是,w的選擇并不唯一,只要滿足細致平衡條件的要求即可,但不同的w收斂速度往往差別很大,如何選擇合適的w以達到盡可能快的收斂速度和盡可能高的計算精度仍然是當前MonteCarlo算法研究的前沿課題之一.第12頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月例題,Ising模型的模擬Ising模型:式中J稱為交換積分,h為外場,si可取值(1,-1),稱為自旋變量.Ising模型是最簡單的非平庸統(tǒng)計物理模型,它是由德國物理學家Lenz在二十年代提出的,這一模型可用來描述單軸各向異性磁性系統(tǒng),合金等物理體系,同時也是一個十分有興趣的理論模型.Ising最早給出了這一模型在一維情況下的嚴格解,證明了在一維下這一模型不存在相變.Onsager于1944年做出了零場下這一模型在二維空間的嚴格解并計算了它的相變溫度,比熱在相變點的行為等熱力學量.楊振寧在1952年解出了外場很小時二維空間的Ising模型,求出了序參量的臨界行為.由于對這一模型的很多形為目前了解的比較透徹,因此它經(jīng)常被用來做為檢驗各種數(shù)值方法或解析近似方法的標準.第13頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月對于Ising模型,人們通常感興趣的熱力學量是能量E=hHi,序參量,能量的漲落hH2i-hHi2,序參量的漲落hS2i-hSi2等.能量的漲落與系統(tǒng)的比熱成正比,而序參量的漲落則正比于系統(tǒng)的磁化率.第14頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月一個算法

?選擇一個格點i,其自旋將考慮作翻轉(zhuǎn)si!-si.

?計算與此翻轉(zhuǎn)相聯(lián)系的能量變化H.?計算這一翻轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)移幾率w.?產(chǎn)生一在[0,1]之間均勻分布的隨機數(shù).?如果<w,則翻轉(zhuǎn)該自旋,否則,保持不變.不論何種情況,其結(jié)果都作為一新的狀態(tài).?分析該狀態(tài),為計算平均值收集數(shù)據(jù).第15頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月討論:關于每一步要翻轉(zhuǎn)的格點i的選擇,一般來說可有很多種不同的方法,最常用的有兩種,一種是順序取每一個格點,另一種是隨機的選取.在隨機選取時,應使每個格點平均說來被訪問的次數(shù)相同,通常每個格點被訪問一次稱為一個MonteCarlo步(MonteCarloSteporMCS),一次有價值的計算通常需要做幾千或幾萬個MCS.有時,為了得到高精度的結(jié)果,甚至要作百萬MCS以上的計算.由于每一個狀態(tài)與其前導狀態(tài)最多相差一個自旋翻轉(zhuǎn),因而其物理性質(zhì)具有很強的關聯(lián).這樣,上述過程的第6步不必對每次自旋都進行,而是每間隔一個或數(shù)個MCS(視問題的關聯(lián)時間的大小)進行一次.另外,如在前面已經(jīng)指出過的,前面若干個MCS應舍棄.計算能量差是最費時的工作,對于Ising模型,由于能量差只能取很少幾個數(shù)值,我們可以予先算好存起來以節(jié)省計算量.這一技巧不僅適用于Ising模型,也適用于其它分立變量的模型如Potts模型等.第16頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月模擬技術細節(jié)為了模擬Ising模型:?要確定一個晶格和晶格的尺寸.例如,我們可以取一個簡單立方格子,取三個方向的大小均為L;其它取法包括FCC,BCC,金剛石結(jié)構(gòu),六角密堆結(jié)構(gòu)等.模擬的盒子可以取為立方體，也可以取其它形狀，如各種多面體；如果利用周期性邊界條件，則對盒子的形狀有限制－－盒子的周期性排列應該能夠填滿整個空間。第17頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月模擬技術細節(jié)?要指定一個初始位形.

在臨界溫度之下進行計算,取所有自旋沿同一方向為初始位形.在臨界溫度之下的平衡位形是有序的,若從一無序位形出發(fā),系統(tǒng)在演變中將形成若干個有序的區(qū)域,相鄰區(qū)域的邊界上將出現(xiàn)疇壁.（疇壁具有一定的能量，是一種拓撲性缺陷，在周期性邊界條件下很難通過長時間的模擬消除）.

如果計算的目的是為了研究疇壁,則必須從一自旋取向為隨機分布的初始位形出發(fā);或直接產(chǎn)生疇壁，研究其性質(zhì)。在臨界溫度之上進行計算,取隨機分布的自旋取向為初始位形或取所有自旋沿同一方向為初始位形.

第18頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月模擬技術細節(jié)?要確定適當?shù)倪吔鐥l件

因為計算總是對有限大小的系統(tǒng)進行的,選擇合適的邊界條件對于得到好的結(jié)果是十分重要的,如果我們感興趣的是系統(tǒng)的體性質(zhì),則應盡量消除邊界的影響,此時一般取周期性邊界條件,即在每個方向上,取sL+1=s1.周期性邊界條件對于寫并行計算的程序不太方便,而并行計算是當前計算機發(fā)展的一個重要方向,因此,另一種稱為螺旋周期邊界條件得到了較多的應用,以二維正方格子為例,這種邊界條件是讓每一行的最后一個自旋與其下一行的第一個自旋相同.第19頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月模擬技術細節(jié)其它邊界條件:

自由邊界條件第20頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月自由邊界條件+周期性邊界條件平均場邊界條件固定和部分固定邊界條件反周期邊界條件(用于界面的研究)第21頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月模擬技術細節(jié)?選取產(chǎn)生一系列狀態(tài)的方式.一般來說,Markov鏈中的每一個狀態(tài)與其前一個狀態(tài)相差應較小,因為如果兩個狀態(tài)相差過大,其能量差亦較大,從而轉(zhuǎn)移幾率太小,計算很容易陷入相空間中初態(tài)附近一個很小的子空間內(nèi).通常有兩種作法,一種是一次翻轉(zhuǎn)一個自旋,這是一種不保持總自旋守恒的計算,另一種是每次交換一對相鄰自旋,這種計算將保持總自旋守恒.第22頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月模擬技術細節(jié)討論:關于每一步要翻轉(zhuǎn)的格點i的選擇,一般來說可有很多種不同的方法,最常用的有兩種,一種是順序取每一個格點,另一種是隨機的選取.在隨機選取時,應使每個格點平均說來被訪問的次數(shù)相同.通常格子上每個格點平均都被訪問一次稱為一個MonteCarlo步(MonteCarloSteporMCS),例如對于N=L￡L￡L的格子,可以把自旋翻轉(zhuǎn)N次做為一個MCS.一次有價值的計算通常需要做幾千或幾萬個MCS.有時,為了得到高精度的結(jié)果,甚至要作百萬MCS以上的計算.第23頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月模擬技術細節(jié)討論:由于每一個狀態(tài)與其前導狀態(tài)最多相差一個自旋翻轉(zhuǎn),因而其物理性質(zhì)具有很強的關聯(lián).這樣,上述過程的第6步不必對每次自旋都進行,而是每間隔一個或數(shù)個MCS(視問題的關聯(lián)時間的大小)進行一次.另外,如在前面已經(jīng)指出過的,前面若干個MCS應舍棄.每隔多少MCS取一次樣的問題是由狀態(tài)的關聯(lián)決定的,考慮物理量A,并計算A的關聯(lián)函數(shù)第24頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月模擬技術細節(jié)G(t)一般是指數(shù)衰減的,如圖所示.t的單位是MCS.由于先后狀態(tài)的關聯(lián),可以導致誤差估計的偏小,可以證明,如果G(t)的衰減時間為,則實際誤差與計算得到的誤差估計差一個因子.t為取樣間隔,只有當tà

時,修正因子才為1,當t?2時,修正因子為2.一般為2—3個MCS.第25頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月模擬技術細節(jié)計算能量差是最費時的工作,對于Ising模型,由于能量差只能取很少幾個數(shù)值,我們可以予先算好存起來以節(jié)省計算量.這一技巧不僅適用于Ising模型,也適用于其它分立變量的模型如Potts模型等.例如,對于正方格子上的Ising模型,每個自旋(設為s0)有四個近鄰,設為s1,s2,s3,s4,則s0與近鄰的相互作用能量為:翻轉(zhuǎn)一個自旋(s0)可能的能量差為:S0是翻轉(zhuǎn)前的自旋值,于是求出E0和exp(-E0)的幾個數(shù)值并保存下來,每次查表,可以節(jié)省很多計算時間.第26頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月其它常用的模型：Potts模型：其中的求和對近鄰格點對進行。i可以取值1,2,…q,當q=2時，對應于Ising模型。對于二維晶格，q<5時，系統(tǒng)具有二級相變，當時，系統(tǒng)具有一級相變。對于三維晶格，當時為一級相變。在轉(zhuǎn)變的q處(q=3(3D),q=5(2D)),是非常弱的一級相變，通過模擬很難與二級相變區(qū)分。Potts模型描述了從二級相變到弱一級相變再到強一級相變的各種情況，是驗證各種理論方法和模擬方法的試驗模型。Potts