“創(chuàng)新杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽金牌輔導(dǎo)（初中一年級）

目錄2006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試2006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級復(fù)試2005年第三屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試2005年第三屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第二試2004年第二屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級初試2003年第一屆“創(chuàng)新杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試2003年第一屆“創(chuàng)新杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第二試2006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試一、選擇題．有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則在，，，，這五個數(shù)中，正數(shù)的個數(shù)是（ ）。A． B． C． D．【來源】2006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】B查看答案【解析】由圖可得：，。，，，，，即正數(shù)共有2個?！驹u注】只需根據(jù)數(shù)軸判斷每項的正負(fù)號。．某測繪裝置上一枚指針原來指向南偏西，如果這枚指針再按逆時針方向旅轉(zhuǎn)周，則所得指針的的指向是（ ）。A．南偏東 B．西偏北C．南偏東 D．西偏北【來源】2006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】C查看答案【解析】如圖所示：周即是90°，故逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，達(dá)到射線的位置，即南偏東40°或東偏南50°。【評注】只要畫出具體的方位圖，即可很快得到結(jié)果。．以不在一直線上的三個點為頂點作平行四邊形，最多可作（）。A．個 B．個 C．個 D．個【來源】2006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】B查看答案【解析】不妨記已知的三個點為A、B、C，另一個點為D。當(dāng)AB、BC為該平行四邊形的邊時，有1種情況（AC為對角線）；當(dāng)AC、BC為該平行四邊形的邊時，有1種情況（AB為對角線）；當(dāng)AC、AB為該平行四邊形的邊時，有1種情況（BC為對角線）?！驹u注】三個頂點可連成三條線段，從中選兩條分別作為平行四邊形的兩條相鄰邊即可作平行四邊形，而這種選擇有三種。．（）。A． B． C． D．【來源】2006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】A查看答案【解析】，，，。故，。令，則。原式?！驹u注】善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并靈活運用整體代換的思想。．在一個圓形時鐘的表面，為指針的旅轉(zhuǎn)中心，表示秒針，表示分針，若現(xiàn)在的時間恰好是點整，當(dāng)?shù)拿娣e剛好達(dá)到最大值時，經(jīng)過了（）。A．秒 B．秒 C．秒 D．秒【來源】2006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】C查看答案【解析】秒針一秒走6度，分針一秒走0.1度，即秒針與時針一秒相距5.9度。，、固定不變，故的面積只與和的夾角有關(guān)。夾角越趨近90度時，的面積越大。設(shè)經(jīng)過的時間為秒，則有，故秒?！驹u注】關(guān)鍵是找到面積最大時的情形。．如圖，，，則（）。A． B． C． D．【來源】2006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】C查看答案【解析】在中，由三角形內(nèi)角之和等于180°，可得，故?！驹u注】直接利用三角形內(nèi)角和為的性質(zhì)。．為了了解一批燈泡的壽命，我們①把這批燈炮稱為總體；②可以進(jìn)行全面調(diào)查；③可以選取第一批出廠的100個燈泡被稱為樣本；④從中取100個燈泡作試驗，這100個燈泡被稱為樣本。在上述說法和做法構(gòu)成的4個條款中，正確條款的個數(shù)是（）。A．0 B．1 C．2 D．3【來源】2006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】C查看答案【解析】①是正確的；②是可以操作的，但是，如果這樣操作的話，沒有必要，浪費不必要的時間和精力；③是錯誤的，應(yīng)在每一批中都選取一部分，不應(yīng)該都在一批同時出廠的里面選取，這樣不能反應(yīng)總體燈泡的壽命情況；④是正確的。故①④正確?！驹u注】對于大數(shù)量的產(chǎn)品，一般不可能全面調(diào)查，只會從中抽取一些樣本作試驗。8如圖，表示某位學(xué)生平時一天的作息時間安排，只是其中反映其它活動時間的條形圖不幸被墨水復(fù)蓋，為迎接“創(chuàng)新杯”競賽，該生準(zhǔn)備調(diào)整自己的作息時間，即減少1個小時的睡覺時間和其它活動時間的，全部用于在家學(xué)習(xí)，那么現(xiàn)在他用于在家學(xué)習(xí)的時間是（）。A．4小時 B．5小時C．6小時D．7小時【來源】2006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】C查看答案【解析】從圖中可以看到，在校的時間是10小時，睡覺的時間是7小時，在家學(xué)習(xí)的時間是3小時。因為一天共有24小時，故其它活動的時間等于小時。調(diào)整后，睡覺的時間是6小時，其它活動的時間是2小時，在校的10小時不變，故在家學(xué)習(xí)的時間是小時?！驹u注】這里有一個隱含條件，即全天的總時間24小時不變，這樣即可求出其它活動的時間。9在正方形的表面上有如圖所示的粗線，將其展開，但展開圖只在A面上畫有粗線，那么將展開圖中剩余兩個粗線畫出，畫法正確的是（）。A． B．C． D．【來源】2006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】A查看答案【解析】記原來未張開的圖的六個面分別為前、后、左、右、上、下，故前、上、右三個面上有粗線。將圖張開后的圖如下：故正確選項為A。【評注】關(guān)鍵是找準(zhǔn)粗線所在的具體方位。10用表示不大于的最大整數(shù)，如，=3，設(shè)，則（ ）。A．0 B．1 C．2 D．3【來源】2006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】B查看答案【解析】，，，…，。猜測（）后一項與前一項的差依次為22，24，26，28，…。第項比108大。故原式中的分母分別為108，130，154，180，208，238，270，…，2160，2254，2350，2448。，，，，，，…，，，，。故。，故?！驹u注】要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律從而化簡求解。二、填空題。11某電臺“市民熱線”對上周內(nèi)接到的熱線電話進(jìn)行了分類統(tǒng)計，得到的扇形圖如圖所示，其中有關(guān)房屋建筑的電話有30個，則有關(guān)環(huán)境的電話有     個?！緛碓础?006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】45查看答案【解析】有關(guān)房屋建設(shè)的電話占了，有關(guān)道路交通的電話占了，有關(guān)醫(yī)療衛(wèi)生的電話占了，故有關(guān)環(huán)境衛(wèi)生的電話占了。有關(guān)房屋建設(shè)的30個電話占了總數(shù)的，故電話總數(shù)為個，故有關(guān)環(huán)境的電話有個?！驹u注】只要求出有關(guān)環(huán)境的電話占總共電話的份數(shù)和總共的電話數(shù)即可。12     。【來源】2006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】1.59查看答案【解析】【評注】提取公因式以簡化運算。13某商場計劃每月銷售900臺電腦，10月1日至7日黃金周期間，商場決定開展促銷活動，10月的銷售計劃又要增加了30%，己知黃金周這7天平均每天銷售54臺，則這個商場本月后24天平均每天至少銷售臺才能完成這個月的計劃。【來源】2006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】33查看答案【解析】10月的銷售計劃增加了30%后，要銷售臺。黃金7天總共銷售了臺，故剩余24天共要銷售臺，故平均每天至少要銷售臺。【評注】主要是求出這個月必須要達(dá)到的總的銷售額。14如圖一個3×3的正方形，則圖中     度?！緛碓础?006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】【解析】由對稱性（正方形的對角線為對稱軸）可得：，，。由圖可得：。故【評注】注意各角度之間的關(guān)系，以及余角的靈活運用。15某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃籌資建A，B兩種戶型的住房80套，所籌資金不少于2090萬元，不超過2096萬元，兩種戶型的建房成本和售價如下表 AB成本（萬元/套）2528售價（萬元/套）3034該公司可獲得的最大利潤是     萬元．（注：利潤=售價－成本）【來源】2006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】1948查看答案【解析】設(shè)資建A，B兩種戶型的住房分別為、套，均為正整數(shù)。依題意得：，利潤。現(xiàn)在在坐標(biāo)軸上畫出不等式組的范圍：如圖所示，EF的斜率小于AC，BD，沿著AC和BD所構(gòu)成的區(qū)域平移EF，得到應(yīng)該在B點達(dá)到最大值。而B點的坐標(biāo)可求出為（，），這里y不為整數(shù)，故不是最優(yōu)解。于是我們在此點周圍尋求最優(yōu)解。經(jīng)驗證得，在點（2，73）處取得最大值為1948。即該公司可獲得的最大利潤為1948萬元?！驹u注】利用線性規(guī)劃的方法簡單明了，要注意的是滿足最優(yōu)解的點必須要符合題意?！菊f明】圖畫的有問題，EF應(yīng)該更傾斜一些。16有一機器人，它能根據(jù)指令進(jìn)行走旋轉(zhuǎn)，某一指令規(guī)定：機器人先向前走一米，然后左轉(zhuǎn)15°，若機器人反復(fù)執(zhí)行這一指令，則從出發(fā)到第一次回到原處，機器人共走了     米?！緛碓础?006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試17在，，的條件下，考察下列推導(dǎo)過程：，①；∴②；∴③；即④；∴⑤；∴⑥；在上述①→②，②→③，③→④，④→⑤，⑤→⑥等5個步聚中，錯誤的步聚是     ?！緛碓础?006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】④→⑤【解析】因為若，即，故無法根據(jù)，即而得到?！驹u注】當(dāng)?shù)仁絻蛇呄ハ嗤囊蜃訒r，一定要考慮因子是否為0的情況。18一個二位數(shù)加上9后，得到的和恰好是原二位數(shù)的個位數(shù)與十位數(shù)交換位置后的數(shù)的2倍，則原來的二位數(shù)是     ?！緛碓础?006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】63查看答案【解析】設(shè)原來的二位數(shù)是，則有。假設(shè)：因為，所以，即，故的取值有2，…，9。因為，所以的個位數(shù)為，十位數(shù)為；當(dāng)時，的個位數(shù)為0，十位數(shù)為．此時：，即（舍）；當(dāng)時，的個位數(shù)為，十位數(shù)為；此時：，，聯(lián)立解得：，。綜上：原來的二位數(shù)＝63?！驹u注】類似問題一般都是設(shè)未知數(shù)找等量關(guān)系從而進(jìn)行求解。19記關(guān)于的方程為A，考慮如下說法：①當(dāng)?shù)娜∧承┲禃r，方程A有兩個整數(shù)解；②對某個有理數(shù)，方程A有唯一整數(shù)解；③當(dāng)不是整數(shù)時，方程A沒有整數(shù)解；④不論為何值，方程A至少有4個整數(shù)解．其中正確說法的序號是     。【來源】2006年第四屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初中一年級第一試【答案】②③【解析】當(dāng)時，方程化簡為：，每個值，只有一個值與其對應(yīng)；當(dāng)時，方程化簡為：，每個值，只有一個值與其對應(yīng)；當(dāng)時，方程化簡為：，即當(dāng)時，方程的整數(shù)解為；故方程解的情況只有兩種：唯一解或多解；當(dāng)，時，都是每個值，只有一個值與其對應(yīng)，即與時一一對應(yīng)的，故當(dāng)為整數(shù)時，也必須為整數(shù)。綜上：①、④是錯誤的，②、③是正確的?！驹u注】去絕對值時必須分類討論。20設(shè)和是兩個自然數(shù)，考慮下述四句話：①＋1能被整除；②；