2021-2022學(xué)年廣東省湛江市師范附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年廣東省湛江市師范附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，則A=（）A．30° B．60° C．120° D．150°參考答案：A【考點(diǎn)】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】先利用正弦定理化簡(jiǎn)得c=2b，再由可得a2=7b2，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的關(guān)系式分別代入即可求出cosA的值，根據(jù)A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的值．【解答】解：由及正弦定理可得c=2b，再由可得a2=7b2．再由余弦定理可得cosA===，故A=30°，故選A．2.下列判斷正確的是（）A．

B．

C．

D．參考答案：D3.側(cè)棱長(zhǎng)為a的正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面都是直角三角形，且四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A． B．2πa2 C． D．3πa2參考答案：D【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積；LR：球內(nèi)接多面體．【分析】側(cè)棱長(zhǎng)為a的正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面都是直角三角形，且四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，說(shuō)明三棱錐的正方體的一個(gè)角，把三棱錐擴(kuò)展為正方體，它們有相同的外接球，球的直徑就是正方體的對(duì)角線，求出直徑，即可求出球的表面積．【解答】解：因?yàn)閭?cè)棱長(zhǎng)為a的正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面都是直角三角形，且四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，三棱錐的正方體的一個(gè)角，把三棱錐擴(kuò)展為正方體，它們有相同的外接球，球的直徑就是正方體的對(duì)角線，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為：；所以球的表面積為：4π=3πa2故選D4.已知?jiǎng)t在方向上的投影是(

)

A.1

B.-1

C.

D.參考答案：B5.（5分）設(shè)全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，則（?US）∪T等于（） A． {2，4} B． {4} C． ? D． {1，3，4}參考答案：A考點(diǎn)： 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．專題： 集合．分析： 利用集合的交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算求解．解答： ∵全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，∴（?US）∪T={2，4}∪{4}={2，4}．故選：A．點(diǎn)評(píng)： 本題考查集合的交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題．6.如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且最大值為，那么在區(qū)間上是（

）A．增函數(shù)且最小值是

B．增函數(shù)且最大值是C．減函數(shù)且最大值是

D．減函數(shù)且最小值是參考答案：A7.已知α是第二限角，則下列結(jié)論正確的是

（

）A．sinα?cosα＞0

B．sinα?tanα＜0

C．cosα?tanα＜0

D．以上都有可能參考答案：B8.下列函數(shù)中，即是奇函數(shù)又是定義域內(nèi)的增函數(shù)的是(

)A． B．y=|x+1|﹣1 C．y=x|x| D．y=x2參考答案：D【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)，分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：A，是奇函數(shù)，在（﹣∞，0），（0，+∞）上是增函數(shù)，不合題意；B，不是奇函數(shù)，不合題意；C，設(shè)f（x）=x|x|，可得f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x）所以函數(shù)y=x|x|是奇函數(shù)；又∵當(dāng)x≥0時(shí)，y=x|x|=x2，在（0，+∞）上是增函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，y=x|x|=﹣x2，在（﹣∞，0）上是增函數(shù)∴函數(shù)y=x|x|是R上的增函數(shù)因此，函數(shù)y=x|x|是奇函數(shù)，且在其定義域內(nèi)是函數(shù)，可得正確；D是偶函數(shù)，正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題給出幾何基本初等函數(shù)，要我們找出其中單調(diào)增的奇函數(shù)，著重考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其判斷方法的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．9.（4分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3}，則（CuA）∩B=（） A． {3} B． {1，2，3} C． {5} D． {1，2，3，4，5}參考答案：A考點(diǎn)： 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．專題： 集合．分析： 根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．解答： 解：∵全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3}，∴（CuA）∩B={3，4，5}∩{2，3}={3}，故選：A．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．10.函數(shù)滿足條件f(－1)=f(3)，則f(2)的值（）A．5

B．6

C．8

D．與a,b值有關(guān)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若直線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值____．參考答案：【分析】點(diǎn)O到的距離，將的面積用表示出來(lái)，再利用均值不等式得到答案.【詳解】曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓的上半圓，若直線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，則直線的斜率，則點(diǎn)O到的距離，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．所以，解得舍去)．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，三角形面積，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12.一圓錐的母線長(zhǎng)為20，母線與軸的夾角為30°，則圓錐的表面積為

．參考答案：300π【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．【分析】先利用圓錐的軸截面的性質(zhì)求出底面的半徑r，進(jìn)而利用側(cè)面積的計(jì)算公式計(jì)算即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)底面的半徑r，則r=sin30°×20=10，∴該圓錐的側(cè)面積S=π×10×20=200π．∴圓錐的表面積為200π+π?102=300π．故答案為：300π【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握?qǐng)A錐的軸截面的性質(zhì)和側(cè)面積的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．13.函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋4(a，b不為零)，且f(5)＝10，則f(－5)等于_____.參考答案：－2略14.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是___________．參考答案：作出函數(shù)的圖象，如圖所示．∵時(shí)，，∴，即，則，∴，且，∴，即的取值范圍是，故答案為.15.函數(shù)f（x）=（x﹣x2）的單調(diào)遞增區(qū)間是．參考答案：[，1）【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【分析】令t=x﹣x2＞0，求得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1），根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，本題即求二次函數(shù)t在（0，1）上的減區(qū)間．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得t=x﹣x2=﹣﹣在（0，1）上的減區(qū)間【解答】解：令t=x﹣x2＞0，求得0＜x＜1，故有函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1），且f（x）=h（t）=t，故本題即求二次函數(shù)t在（0，1）上的減區(qū)間．利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得t=x﹣x2=﹣﹣在（0，1）上的減區(qū)間為[，1），故答案為：[，1）．16.正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，公比q≠1，=a11，則k=

．參考答案：21【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得a1×a2×…×ak=，再由a1×a21=a2×a20=a3×a19=…=a10×a12=，能求出k的值．【解答】解：∵正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，公比q≠1，=a11，∴a1×a2×…×ak=，∵a1×a21=a2×a20=a3×a19=…=a10×a12=，∴k=21．故答案為：21．17.奇函數(shù)f（x）滿足：①f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；②f（1）=0，則不等式x?f（x）＜0的解集為

．參考答案：（﹣1，0）∪（0，1）【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上有相同的單調(diào)性，結(jié)合題意即可求得不等式x?f（x）＜0的解集．【解答】解：∵f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，且f（1）=0，∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0；∴當(dāng)x＞0時(shí)，x?f（x）＜0的解集為（0，1）；①∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（x）在對(duì)稱區(qū)間上有相同的單調(diào)性，∴f（x）在（﹣∞，0）內(nèi)單調(diào)遞增，且f（﹣1）=0，∴當(dāng)x＜0時(shí)，x?f（x）＜0的解集為（﹣1，0）；②綜合①②知，不等式x?f（x）＜0的解集為（﹣1，0）∪（0，1）．故答案為：（﹣1，0）∪（0，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查奇函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性，考查解不等式的能力，考查邏輯思維與運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）解不等式；（2）已知，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)．(Ⅱ)．試題分析：（1）先根據(jù)絕對(duì)值定義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先根據(jù)基本不等式求最小值，再利用絕對(duì)值三角不等式求最大值，最后解不等式得實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）不等式可化為：①當(dāng)時(shí)，①式為，解得；當(dāng)時(shí)，①式，解得；當(dāng)時(shí)，①式為，無(wú)解.綜上所述，不等式解集為.（2）解：令∴，要使不等式恒成立，只需，即∴實(shí)數(shù)取值范圍是.點(diǎn)睛：含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向．19.某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C（x），當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，C（x）=（萬(wàn)元）．當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，C（x）=51x+（萬(wàn)元）．每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元．通過(guò)市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．（Ⅰ）寫出年利潤(rùn)L（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)最值的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）分兩種情況進(jìn)行研究，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，投入成本為C（x）=（萬(wàn)元），根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入﹣成本，列出函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x≥80時(shí)，投入成本為C（x）=51x+，根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入﹣成本，列出函數(shù)關(guān)系式，最后寫成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；（Ⅱ）根據(jù)年利潤(rùn)的解析式，分段研究函數(shù)的最值，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，利用二次函數(shù)求最值，當(dāng)x≥80時(shí)，利用基本不等式求最值，最后比較兩個(gè)最值，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）∵每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元，∴x千件商品銷售額為0.05×1000x萬(wàn)元，①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=+40x﹣250；②當(dāng)x≥80時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．綜合①②可得，L（x）=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，L（x）=+40x﹣250=﹣，∴當(dāng)x=60時(shí)，L（x）取得最大值L（60）=950萬(wàn)元；②當(dāng)x≥80時(shí)，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=100時(shí)，L（x）取得最大值L已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的圖象如圖所示．（1）求f（x）的解析式；（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的對(duì)稱軸方程；（3）當(dāng)時(shí)，方程f（x）=2a﹣3有兩個(gè)不等的實(shí)根x1，x2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并求此時(shí)x1+x2的值．【答案】【解析】【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】（1）由圖知，A=2，由T=π，可求得ω，由2sin（2×+φ）=2可求得φ；（2）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得g（x）=2sin（﹣），由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得g（x）的對(duì)稱軸方程；（3）由x∈[0，]?2x+∈[，]，方程f（x）=2a﹣3有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，y=f（x）的圖象與直線y=2a﹣3有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而可求得a的取值范圍；（法一）當(dāng)x∈[0，]，時(shí)，利用f（x1）=f（x2），即可求得x1+x2的值；（法二）令2x+=+kπ，可求得x=+，（k∈Z），利用f（x）的對(duì)稱軸方程為x=+即可求得x1+x2的值．【解答】解：（1）由圖知，A=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣T=π，ω===2﹣﹣﹣﹣﹣由2sin（2×+φ）=2，即sin（+φ）=1，故+φ=+2kπ，k∈Z，所以φ=+2kπ，k∈Z，又φ∈（0，），所以φ=﹣﹣﹣故f（x）=2sin（2x+）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）將f（x）的圖象向右平移個(gè)單位后，得到f（x﹣）的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到f（﹣）的圖象，所以g（x）=f（﹣）=2sin[2（﹣）+）]=2sin（﹣）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令﹣=+kπ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣則x=+2kπ（k∈Z），所以g（x）的對(duì)稱軸方程為x=+2kπ（k∈Z）