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文檔簡介

第十四講算符的共同本征函數(shù)

(1)Schwartz不等式如果,,是任意兩個平方可積的波函數(shù),則

1

(2)算符“漲落”之間的關(guān)系-測不準關(guān)系:如令

2

例1,所以,

這即為海森堡(Heisenberg)的測不準關(guān)系的嚴格證明。

例1,3

例2但在特殊態(tài)時

但這僅是某一特殊態(tài)。例3

在態(tài)下

例24這時

(3)算符的共同本征函數(shù)組定理1.如果兩個力學量相應的算符有一組正交,歸一,完備的共同本征函數(shù)組,則算符,必對易,。定理2:如果兩力學量所相應算符對易,則它們有共同的正交,歸一和完備的本征函數(shù)組。

5

(4)角動量的共同本征函數(shù)組―球諧函數(shù)

因 ,它們有共同本征函數(shù)組。

A.本征值:設:是它們的共同本征函數(shù),則

(4)角動量的共同本征函數(shù)組―球諧6

的本征值為的本征值為這表明,角動量的本征值是量子化的。它與能量量子化不同在于它并不需要粒子是束縛的。自由粒子的角動量是量子化的。

B.本征函數(shù)北京大學量子力學ppt課件-第14講7

已求得的共同本征函數(shù)組-球諧函數(shù)

稱為締合勒讓德函數(shù)(AssociatedLegendrefunction)。已求得的共同本征函數(shù)組-球諧函數(shù)8

當給定,也就是的本征值給定,那就唯一地確定了本征函數(shù)。

其性質(zhì):

1.正交歸一

2.封閉性

當給定,也就是的本征值給9

3.所以,

3.10

因此,

4.宇稱

5.遞推關(guān)系

因此,11北京大學量子力學ppt課件-第14講12

(4)力學量的完全集

量子力學描述與經(jīng)典描述大不一樣,在量子力學中,是確定體系所處的狀態(tài)。如對體系測量力學量的可能值及相應幾率。如能充分確定狀態(tài),則認為是完全描述了。但是,如何才能將狀態(tài)描述完全確定呢?設:

是力學量所對應的算符,并且對易如是的本征函數(shù)。

(4)力學量的完全集13

?

的本征函數(shù)不簡并,則

?

當?shù)谋菊髦凳莾芍睾啿?。那問題就不一樣了。

測量

取值時,并不知處于那一態(tài),可能為盡管也是的本征態(tài)。但一般而言

? 的本征函數(shù)不簡并,則14北京大學量子力學ppt課件-第14講15可求得的本征值。若,則一起就唯一地決定函數(shù)北京大學量子力學ppt課件-第14講16

的共同本征態(tài)沒有一個是簡并的。

力學量完全集:設力學量彼此對易;它們的共同本征函數(shù)是不簡并的,也就是說,本征值a,b,c…僅對應一個獨立的本征函數(shù),則稱這一組力學量為力學量完全集。所以,以后要描述一個體系所處的態(tài)時,我們首先集中注意力去尋找一組獨立的完全集,以給出特解,然后得通解。有了力學量完全集,則可得

的共同本征態(tài)沒有一個是簡并的。17

完全集相應的本征函數(shù)為§4.5力學量平均值隨時間的變化,運動常數(shù)(守恒量)恩費斯脫定理(EhrenfestTheorem)(1)力學量的平均值,隨時間變化,運動常數(shù)

北京大學量子力學ppt課件-第14講18

它隨時間演化為

19

若不顯含t,則當,則(對體系任何態(tài))不隨t變。而取的幾率也不隨t變。我們稱與體系對易的不顯含時間的力學量算符為體系的運動常數(shù)。若不顯含t,則20

運動常數(shù)并不都能同時取確定值。因盡管它們都與對易,但它們之間可能不對易。如

都是運動常數(shù),但彼此不對易,不能同時取確定值。

(2)

VivialTheorem維里定理不顯含t的力學量,在定態(tài)上的平均與t無關(guān)。

運動常數(shù)并不都能同時取確定值。因盡21北京大學量子力學ppt課件-第14講22

若是x,y,z的n次齊次函數(shù),則

例:諧振子勢是x,y,z的2次齊次函數(shù)

例:庫侖勢是x,y,z的–1次齊次函數(shù)北京大學量子力學ppt課件-第14講23

(3)能量-時間測不準關(guān)系由算符的“漲落”關(guān)系,有如,則有若是不顯含時間的算符,則有北京大學量子力學ppt課件-第14講24

取則有這即為能量和時間的測不準關(guān)系。北京大學量子力學ppt課件-第14講25

(4)恩費斯脫定理(EhrenfestTheorem)以,表示的平均值。

?體系的坐標平均值的時間導數(shù)等于其速度算符的平均值。北京大學量子力學ppt課件-第14講26?

體系動量算符平均值的時間導數(shù)等于作用力的平均值。于是有北京大學量子力學ppt課件-第14講27稱為的恩費斯脫定理。

我們可以看到,上面三個式子與經(jīng)典力學看起來非常相似。

北京大學量子力學ppt課件-第14講28

但決不能無條件地認為如果這樣,即得但事實上,一般而言北京大學量子力學ppt課件-第14講29

但在V(x)隨x的變化很緩慢,以及比較小的條件下,上式近似相等.以一維運動來討論

30

當場隨空間變化非常緩慢,且很小時,我們有不等式

北京大學量子力學ppt課件-第14講31

這樣,量子力學中粒子運動與經(jīng)典力學規(guī)律相似。經(jīng)典運動是一好的近似。當然,根據(jù)測不準關(guān)系,

32

因此,當較小時, 比較大。所以要有

33

要有兩個條件:

勢隨空間作緩慢變化:

動能很大:

要有兩個條件:34第五章變量可分離型的三維定態(tài)問題★不顯含t時,有特解

第五章變量可分離型的三維定態(tài)問題★不顯35

★處理的是變量可分離型的位勢問題。§5.1有心勢

能量本征方程可寫為

36

我們可看到

因此,是兩兩對易。當共同本征函數(shù)組不簡并時,它們構(gòu)成一組力學量完全集(球?qū)ΨQ勢的體系都有這一特點)。我們可看到37

以的本征值(即量子數(shù))對能量本征方程的特解進行標識。于是歸結(jié)到解具有不同位勢的徑向方程

北京大學量子力學ppt課件-第14講38

首先要研究邊條件的共性。對于束縛態(tài),對于,波函數(shù)行為?

(1)不顯含時間的薛定諤方程解在的漸近行為

A.若

時,僅當0<m<2時才有束縛態(tài)。

39

根據(jù)維里定理:如是x,y,z的n次齊次函數(shù),則有(在定態(tài)上)。對于上述勢即北京大學量子力學ppt課件-第14講40

在這類位勢下,束縛態(tài)E<0。所以存在束縛態(tài)的條件為0<m<2北京大學量子力學ppt課件-第14講41即僅當時,才有束縛態(tài)。

B.在

時,徑向波函數(shù)應滿足

由徑向方程

北京大學量子力學ppt課件-第14講42

當時,方程的漸近解為,所以有

(2)三維自由粒子運動

因,所以可選力學量完全集北京大學量子力學ppt課件-第14講43于是有

于是有44這即為球貝塞爾函數(shù)滿足的方程。而在處為有限的解是而在處為無窮的解是

北京大學量子力學ppt課件-第14講45北京大學量子力學ppt課件-第14講46

由于的條件,所以自由粒子的本征函數(shù)為對于自由粒子,亦可選作為力學量完全集,其共同本征函數(shù)為

47

而前述,

作為力學量完全集,有共同本征函數(shù)組

北京大學量子力學ppt課件-第14講48

可按它展開

如取方向在z方向(即為z軸),則

可按它展開49

a.對kr求導,得

北京大學量子力學ppt課件-第14講50于是有

北京大學量子力學ppt課件-第14講51北京大學量子力學ppt課件-第14講52

b.當時于是當在任意方向,則b.當時53

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