第四節(jié)　數(shù)列求和

第四節(jié)數(shù)列求和第六章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.鞏固等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.2.掌握數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消求和法、錯(cuò)位相減求和法、拆項(xiàng)分組求和法、并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法、倒序相加求和法,能夠解決數(shù)列的求和問題.強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分?jǐn)?shù)列求和的常用方法1.公式法

當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比未知而運(yùn)用其前n項(xiàng)和公式時(shí),注意對(duì)q=1時(shí)的情況進(jìn)行討論2.裂項(xiàng)相消求和法:裂項(xiàng)相消求和法就是把數(shù)列的各項(xiàng)變?yōu)閮身?xiàng)之差,使得相加求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消,前n項(xiàng)和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和,從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.3.錯(cuò)位相減求和法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可運(yùn)用錯(cuò)位相減求和法.4.拆項(xiàng)分組求和法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由幾個(gè)等差數(shù)列和等比數(shù)列的項(xiàng)相加減得到的,那么可以把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成多個(gè)項(xiàng)或把數(shù)列的項(xiàng)重新分組,使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列,然后利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求和.5.并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法:在求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí),如果一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的,尤其是當(dāng)各項(xiàng)的絕對(duì)值又構(gòu)成等差數(shù)列時(shí),可以先將相鄰的兩項(xiàng)或幾項(xiàng)合并,然后再利用其他相關(guān)的方法進(jìn)行求和.6.倒序相加求和法:如果一個(gè)數(shù)列{an}中,與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù),那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可運(yùn)用倒序相加求和法.常用結(jié)論1.常用裂項(xiàng)公式2.常用求和公式

自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)×××√題組二

雙基自測(cè)5.

已知兩個(gè)等差數(shù)列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200,將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列.求這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和.6.

求下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式和一個(gè)前n項(xiàng)和公式.1,11,111,1111,11111,….研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一裂項(xiàng)相消求和法例題(2023·山東濰坊高三月考)若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1=2,且Sn+1=2(Sn+1)(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;解

(1)因?yàn)镾n+1=2(Sn+1),n∈N*,所以當(dāng)n≥2時(shí),Sn=2(Sn-1+1),兩式相減可得Sn+1-Sn=2(Sn+1)-2(Sn-1+1),即an+1=2an(n≥2).當(dāng)n=1時(shí),a1+a2=S2=2S1+2=2a1+2,又a1=2,所以a2=4,符合上式.所以an+1=2an(n∈N*),故數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且首項(xiàng)為2,公比為2,所以an=2n.規(guī)律方法

裂項(xiàng)相消求和法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解,然后重新組合使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的.利用裂項(xiàng)相消求和法的關(guān)鍵是分析數(shù)列的通項(xiàng),考察其是否能分解成兩項(xiàng)的差,在裂項(xiàng)求和的過程中,還要注意以下幾點(diǎn):(1)注意通項(xiàng)裂開后,是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差,有時(shí)恰好等于兩項(xiàng)之差,有時(shí)則是倍數(shù)關(guān)系,需要在裂開的式子前面乘上一個(gè)系數(shù);(2)注意在正負(fù)項(xiàng)抵消后,是否只剩下了第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),有時(shí)可能前面剩下了兩項(xiàng),后面也剩下了兩項(xiàng).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2023·河南平頂山高三模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且2Sn=(n+2)an-2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(1)解

當(dāng)n=1時(shí),2S1=(1+2)a1-2,即a1=2.當(dāng)n≥2時(shí),2Sn=(n+2)an-2,2Sn-1=(n-1+2)an-1-2=(n+1)an-1-2,兩式相減得2an=(n+2)an-(n+1)an-1,即nan=(n+1)an-1,考點(diǎn)二錯(cuò)位相減求和法例題已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=-n2+kn(k∈N*),且Sn的最大值為25.(1)求k的值及通項(xiàng)公式an;綜上可得,k=10,Sn=-n2+10n.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=9.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(-n2+10n)-[-(n-1)2+10(n-1)]=-2n+11,當(dāng)n=1時(shí)也成立.綜上可得an=-2n+11.所以k=10,an=-2n+11.規(guī)律方法

錯(cuò)位相減求和法的方法步驟設(shè){anbn}的前n項(xiàng)和為Sn,其中數(shù)列{an}為公差為d的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}為公比為q(q≠1)的等比數(shù)列.則錯(cuò)位相減求和法的步驟如下.∵Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,∴qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1.∵{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),∴an-an-1=3,∴{an}為等差數(shù)列,則an=a1+3(n-1)=3n.∵Sn=2bn-2,∴當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2bn-1-2,兩式相減得bn=2bn-1.當(dāng)n=1時(shí),b1=S1=2b1-2,得b1=2.∴{bn}為等比數(shù)列,∴bn=2·2n-1=2n.考點(diǎn)三其他求和法(多考向探究預(yù)測(cè))考向1拆項(xiàng)分組求和法

規(guī)律方法

適合拆項(xiàng)分組求和法的兩種數(shù)列

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2023·山東師大附中高三模擬)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=1,an+an+1=2n+1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;解

(1)an+an+1=2n+1變形為an+1-(n+1)=-(an-n),因?yàn)閍1-1=0,所以an+1-(n+1)=-(an-n)=…=0,故an=n.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),bn=2n,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),bn=n,則T2n=2+2+23+4+25+6+…+22n-1+2n=2+4+6+…+2n+(2+23+25+…+22n-1)考向2并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法題組(1)(2023·河北石家莊高三期中)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=ncos(n-1)π,Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和,S2023=(

)A.1009 B.1010 C.1011 D.1012答案

(1)D

(2)D解析

(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),cos(n-1)π=1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),cos(n-1)π=-1,所以cos(n-1)π=(-1)n-1,所以an=ncos(n-1)π=n×(-1)n-1,所以S2

023=1-2+3-4+…-2

022+2

023=-1×1

011+2

023=1

012.故選D.規(guī)律方法

并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法關(guān)注點(diǎn)(1)一般地,當(dāng)數(shù)列中的各項(xiàng)正負(fù)交替,且各項(xiàng)絕對(duì)值成等差數(shù)列時(shí),可采用并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法.(2)在利用并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法時(shí),一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論,所以結(jié)果一般用分段函數(shù)來表示.考向3倒序相加求和法

答案

(1)D

(2)B∵等比數(shù)列{an}滿足a1a2

020=1,∴a1a2

020=a2a2

019=…=a2

020a1=1,∴f(a1)+f(a2

020)=f(a2)+f(a2

019)=