2023初中數(shù)學(xué)培優(yōu)競賽例題+練習(xí) 專題39 分式方程(學(xué)生版+解析版)_第1頁
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專題39分式方程一、解復(fù)雜分式方程【典例】計(jì)算⑴而;(2) + +?,? x(x+l)(x+l)(x+2) 3+2005)3+2006)【解答】解:⑴—-x+yx2x2-y~x+yx+y=匸x+y'(2) + +,,,+ ,x(x+l)(x+l)(x+2) (x+2005)(x+2006)一x+1+x+T~x+2+…+7+2005一x+2006'~xx+2006'2006=x(x+2006)-【鞏固】實(shí)數(shù)*與),使得x+y,x-y,個(gè),§四個(gè)數(shù)中的三個(gè)有相同的數(shù)值,求出所有具有這樣性質(zhì)的數(shù)對(duì)(x,y).二、求分式方程的取值范圍【典例】若以、為未知數(shù)的方程亡-左=器*無解,則.=【解答】解:去分母得:x-2+a(X-1)=2(a+1)解得:3a+4解得:3a+4X=~a+1當(dāng)。+1=。即。=-1時(shí),方程無解.3-2根據(jù)題意得:竺;=1時(shí),解得3-2a+1當(dāng)竺芒=2時(shí),解得:a=-2a+1故答案是?1或一言或-2.

【鞏固】若關(guān)"的方程號(hào)+鴛=1+緡有且只有-個(gè)實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)挪所有可能值.三、分式方程的應(yīng)用【典例】為增加學(xué)生閱讀量,某校購買了“科普類”和“文學(xué)類”兩種書籍,購買“科普類”圖書花費(fèi)了3600元,購買“文學(xué)類”圖書花費(fèi)了2700元,其中"科普類”圖書的單價(jià)比“文學(xué)類”圖書的單價(jià)多20%,購買“科普類”圖書的數(shù)量比“文學(xué)類”圖書的數(shù)量多20本.(1)求這兩種圖書的單價(jià)分別是多少元?(2)學(xué)校決定再次購買這兩種圖書共100本,且總費(fèi)用不超過1600元,求最多能購買'‘科普類”圖書多少本?【解答】解:(1)設(shè)“文學(xué)類”圖書的單價(jià)為x元/本,則“科普類”圖書的單價(jià)為(1+20%)尤元/本,依題意:(l+20%)x依題意:(l+20%)xx解之得:x=15.經(jīng)檢驗(yàn),x=15是所列方程的根,且符合題意,所以(1+20%)1=18.答:科普類書單價(jià)為18元/本,文學(xué)類書單價(jià)為15元/本;(2)設(shè)“科普類”書購0本,則“文學(xué)類”書購(100-a)本,依題意:18a+15(100-a)<1600.解之得:因?yàn)?。是正整?shù),所以a最大(n=33.答:最多可購“科普類”圖書33本.【鞏固】某工廠急需生產(chǎn)一批健身器械共500臺(tái),送往銷售點(diǎn)出售.當(dāng)生產(chǎn)150臺(tái)后,接到通知,要求提前完成任務(wù),因而接下來的時(shí)間里每天生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)提高到原來的1.4倍,一共用8天剛好完成任務(wù).(1) 原來每天生產(chǎn)健身器械多少臺(tái)?(2) 運(yùn)輸公司大貨車數(shù)量不足10輛,小貨車數(shù)量充足,計(jì)劃同時(shí)使用大、小貨車一次完成這批健身器械的運(yùn)輸.己知每輛大貨車一次可以運(yùn)輸健身器械50臺(tái),每輛車需要費(fèi)用1500元;每輛小貨車一次可以運(yùn)輸健身器械20臺(tái),每輛車需要費(fèi)用800元.在運(yùn)輸總費(fèi)用不多于16000元的前提下,請(qǐng)寫出所有符合題意的運(yùn)輸方案?哪種運(yùn)輸方案的費(fèi)用最低,最低運(yùn)輸費(fèi)用是多少?

鞏固練習(xí)e—l+x y+a2a<~f有且只有四個(gè)整數(shù)解,且使關(guān)于y的分式方程J?十一;=】

22x+q y-1y-1TOC\o"1-5"\h\z的解為非負(fù)數(shù),則符合條件的所有整數(shù)0的和為( )A.-3 B.-2 C.1 D.2若關(guān)于x的方程x+¥=c+M的兩個(gè)解是x=c,U*,則關(guān)于x的方程的并畐=。+涪j的解是( )a+1a,a+1a, a-1A.a,— B.a-1, C.a, D.a a-1 a-1己知關(guān)于x的分式方程豈一3=冬的解為正數(shù),則&的取值范圍是kK6且奸-2A.k>?6 B.k>-2 C.k>-6kK6且奸-2對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)力,我們規(guī)定符號(hào)min{a,時(shí)表示a,b中較小的數(shù),如:min{3,5}=3.按照這個(gè)規(guī)定,方程-3}=呂一去的解為(3A.-2D.-A.-245.Y—5.Y—IX已知關(guān)于I的方程口-姉=^豈無解,則〃的值為解下列分式方程如圖,某小區(qū)有一塊長為4。米(0>1),寬為(4“-2)米的長方形地塊.該長方形地塊正中間是一個(gè)長為(2。+1)米的長方形,四個(gè)角是大小相同的正方形,該小區(qū)計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化,對(duì)四個(gè)角的正方形用A型綠化方案,對(duì)正中間的長方形采用B型綠化方案.(1) 用含〃的代數(shù)式表示采用A型綠化方案的四個(gè)正方形邊長是 米,B型綠化方案的長方形的另一邊長是 米.(2) 請(qǐng)你判斷使用A型,B型綠化方案的面積哪個(gè)少?并說明理由.540(3) 若使用A型,B型綠化方案的總造價(jià)相同,均為1350元,每平方米造價(jià)高的比低的多(2a_i)2元,求兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程.若先由甲、乙兩隊(duì)合作30天,剩下的工程再由乙隊(duì)單獨(dú)做15天可以完成,共需施工費(fèi)810萬元若由甲、乙合作完成此項(xiàng)工程共需36天,共需施工費(fèi)828萬元.(1) 求乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需多少天(2) 甲、乙兩隊(duì)每天的施工費(fèi)各為多少萬元?(3) 若工程預(yù)算的總費(fèi)用不超過840萬元,則乙隊(duì)最少施工多少天? x+1定義:如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式,則稱這個(gè)分式為“和諧分 x+1 式,,.如1±1=^=^+^_=1+2竺2=心^生£+蘭=2+奇,則區(qū)和x-1 x-1 x-1x-1 x-1x+lx+1 x+1 x+1 x+1 X-12乂一3x+1都是“和諧分式”.(I)下列式子中,屬于“和諧分式”的是 (填序號(hào)):吁泮專尊 (2) 將“和諧分式”"-2:+3化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式為:宀2:+3= a-1 a-1+ ; (3) 應(yīng)用:先化簡竺平-二普號(hào)三~,并求x取什么整數(shù)時(shí),該式的值為整數(shù).x+1xx2+2x某商場在一樓至二樓間安裝了一部自動(dòng)扶梯,以勻速向上行駛.甲、乙兩同學(xué)同時(shí)從扶梯上勻速走到二樓,且甲每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)是乙的兩倍.已知甲走了24級(jí)到扶梯頂部,乙走了16級(jí)到扶梯頂部(甲、乙兩同學(xué)每次只跨一級(jí)臺(tái)階).(1) 扶梯露在外面的部分有多少級(jí)?(2) 如果與扶梯并排有一從二樓到一樓的樓梯道,臺(tái)階數(shù)與扶梯級(jí)數(shù)相同,甲、乙各自到扶梯頂部后按原速再下樓梯到樓梯底部再乘扶梯,若樓梯與扶梯之間的距離忽略不計(jì),問甲第1次追上乙時(shí)是在扶梯上還是在樓拂上?他已經(jīng)走動(dòng)的級(jí)數(shù)是多少級(jí)?專題專題39分式方程一、解復(fù)雜分式方程[典例】計(jì)算(1)——-x+y;x+y111(2) 4- 4-... x(x+l)(x+l)(x+2) (x+2005)(x+2006)-尤2【解答】解:(1) -x+y,x+y_¥_》2_y2一x+yx+y'=匸x+y111(2) + +…+ .x(x+l)(x+l)(x+2) (x+2005)(x+2006) 1 _1_ 1_ 1 1_~x~FT1+x+l x+2十…十x+2005 x+2006'11=x_x+2006,2006=x(x+2006)-【鞏固】實(shí)數(shù)》與y使得Hy,x-y,功;四個(gè)數(shù)中的三個(gè)有相同的數(shù)值,求出所有具有這樣性質(zhì)的數(shù)對(duì)(x,y).【解答】解:由題意知片0,此時(shí)我y/x-y,依題意,有x+y=xy=或x-y=xy=5,I、 當(dāng)x+y=穢=;時(shí),=xy(D9②由②得,尸±1,將),=1代入①得,Hl=x,此等式不成立,將),=-1代入①得,x-l=-x,??x=即卜=壹(y=-1.II、 當(dāng)x-y=xy=^時(shí),

\x~y=^⑴即X*弓⑵由(2)得,y=±l,將y=l代入(1)得,x?l=x,此等式不成立,將),=-1代入(1)得,x+l=-x,?'?x=故滿足條件的數(shù)對(duì)3y)為弓,?1)和(?壹,-1).二、求分式方程的取值范圍【典例】若以、為未知數(shù)的方程訪一2-廣宀3并22("1)無解,則。= 【典例】若以、為未知數(shù)的方程訪一2-廣宀3并22("1)無解,則。= 【解答】解:去分母得:x?2+0(x-1)=2(0+I)解得:x:解得:x:~a+l當(dāng)。+1=0即。=-1時(shí),方程無解.3a+4 2根據(jù)題意徐訶=1時(shí),解得“7當(dāng)藉=2時(shí),解得:.=?2故答案是?1或一宣或-2.【鞏固】若關(guān)于"勺方程”尹+柴=1+緡有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)A的所有可能值.【解答】解:竺¥+甕=”爵兩邊同時(shí)乘以x(x+1)得:k(X-I)(計(jì)1)+2好l=x(H1)+2公整理得:(jt-1) (2妍1)屮■妍1=0(I)當(dāng)*=1時(shí),原方程可變?yōu)椋?3x+2=0解得:經(jīng)檢驗(yàn),x=壹是原分式方程的唯一實(shí)數(shù)根,符合題意.(2)當(dāng)婦M時(shí),關(guān)于x的方程(^-1) (2好l)x+好1=0是一元二次方程,..?原分式方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,(2jH1)]2-4(k-1)(jHD=0解得k=-j將*=一乎代入方程得:一#+気一扌=0解得:X1=X2=§經(jīng)檢驗(yàn),x=§是原分式方程的唯一實(shí)數(shù)根,符合題意.當(dāng)△=()時(shí),則方程必有一個(gè)實(shí)數(shù)根為0或-1.把x=0代入,可得k=-1,此時(shí)方程為-2?+x=0,解得x=0或§經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解.把x=?l代入,可得k=-\.此時(shí)方程為5?+2r-3=0.解得)=-1或§經(jīng)檢驗(yàn)x=?是方程的解,綜上,實(shí)數(shù)&的所有可能值為1或-?或0或?1.三、分式方程的應(yīng)用【典例】為増加學(xué)生閱讀量,某校購買了“科普類”和“文學(xué)類”兩種書籍,購買“科普類”圖書花費(fèi)了3600元,購買“文學(xué)類”圖書花費(fèi)了2700元,其中“科普類”圖書的單價(jià)比“文學(xué)類”圖書的單價(jià)多20%,購買“科普類”圖書的數(shù)量比“文學(xué)類”圖書的數(shù)量多20本.(1) 求這兩種圖書的單價(jià)分別是多少元?(2) 學(xué)校決定再次購買這兩種圖書共100本,且總費(fèi)用不超過1600元,求最多能購買“科普類”圖書多少本?【解答】解:(I)設(shè)“文學(xué)類”圖書的單價(jià)為x元/本,則“科普類”圖書的單價(jià)為(1+20%)I元/本,依題意:——-20=依題意: (l+20%)x %解之得:x=15.經(jīng)檢驗(yàn),x=15是所列方程的根,且符合題意,所以(1+20%)x=18.答:科普類書單價(jià)為18元/本,文學(xué)類書單價(jià)為15元/本;(2)設(shè)“科普類”書購。本,則“文學(xué)類”書購(100-G本,依題意:18。+15(1003)W1600,解之得:a<羽因?yàn)椤ㄊ钦麛?shù),所以a?Affi=33-答:最多可購“科普類”圖書33本.【鞏固】某工廠急需生產(chǎn)一批健身器械共500臺(tái),送往銷售點(diǎn)出售.當(dāng)生產(chǎn)150臺(tái)后,接到通知,要求提前完成任務(wù),因而接下來的時(shí)間里每天生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)提高到原來的1.4倍,一共用8天剛好完成任務(wù).(1) 原來每天生產(chǎn)健身器械多少臺(tái)?(2) 運(yùn)輸公司大貨車數(shù)量不足10輛,小貨車數(shù)量充足,計(jì)劃同時(shí)使用大、小貨車一次完成這批健身器械的運(yùn)輸.已知每輛大貨車一次可以運(yùn)輸健身器械50臺(tái),每輛車需要費(fèi)用1500元:每輛小貨車一次可以運(yùn)輸健身器械20臺(tái),每輛車需要費(fèi)用800元.在運(yùn)輸總費(fèi)用不多于16000元的前提下,請(qǐng)寫出所有符合題意的運(yùn)輸方案?哪種運(yùn)輸方案的費(fèi)用最低,最低運(yùn)輸費(fèi)用是多少?【解答】解:(1)設(shè)原來每天生產(chǎn)健身器械X臺(tái),則提高工作效率后每天生產(chǎn)健身器械1.4尤臺(tái),a,口150 500-150依題忠得: + =8,X1AX解得:x=50,經(jīng)檢驗(yàn),x=50是原方程的解,且符合題意.答:原來每天生產(chǎn)健身器械50臺(tái).(2)設(shè)使用,〃輛大貨車,使用〃輛小貨車,???同時(shí)使用大、小貨車一次完成這批健身器械的運(yùn)輸,??.50,”+20〃N500,...〃=25-備〃.又..?運(yùn)輸公司大貨車數(shù)量不足10輛,且運(yùn)輸總費(fèi)用不多于16000元,?e—in m<10.?JmVIO ,即 5 ,(1500m+800n<16000 1500m+800(25-^m)<16000解得:8W〃V10.又5為整數(shù),可以為8,9.當(dāng)/n=8時(shí),n^25-|/n=25-|x8=5:當(dāng)用=9時(shí),n>25-|/n=25-|x9=|,又?.靠為整數(shù),?..〃的最小值為3.?.?共有2種運(yùn)輸方案,方案1:使用8輛大貨車,5輛小貨車;方案2:使用9輛大貨車,3輛小貨車.方案1所需費(fèi)用為1500X8^800X5=16000(元),方案2所需費(fèi)用為1500X9+800X3=15900(元).VI6000>15900,..?運(yùn)輸方案2的費(fèi)用最低,最低運(yùn)輸費(fèi)用是15900元.

鞏固練習(xí)/+x y+a2a蒔數(shù),使關(guān)"的不等式組{/彥;嚴(yán)只有四個(gè)整數(shù)解,且使關(guān)于,,的分式方程云+戸=1的解為非負(fù)數(shù),則符合條件的所有整數(shù)〃的和為( )A.-3B.-2C.1A.-3B.-2C.1D.2【解答】解:解不等式—<—,得x<5.解不等式5x-2Nx+0,得x>哼由不等式組有且僅有4個(gè)整數(shù)解,得到0V宰式1,解得?2<a^2.解分式方程7+~~=2?得y=2-a(y^=l,即aHl).y-11-yv+a2a.??關(guān)于y的方程匕二+—=2的解為非負(fù)數(shù),y-ii-y?..2*N0,?.?aW2,..?滿足條件的】的值為-1、0、2,..?滿足條件的整數(shù)】的值之和是-1+0+2=1.故選:C.若關(guān)于x的方程]+¥*+¥的兩個(gè)解是X=c,x=|,則關(guān)于x的方程的1+£=。+冬的解是(a+1D.a, a-1a+1D.a, a-1A.a,- B.a-1.—- C.a,—-a a-1 a-1【解答】解:x+£=,+£r即xt+£=0t+£i則xT=〃-1或a-1解得:x\=a,X2= +1=故選:D.已知關(guān)于x的分式方程豈-3=占的解為正數(shù),則化的取值范圍是( )A.k>-6 B.k>-2 C.k>-6且k尹-2D.kN-6且A尹-2【解答】解:分式方程豈-3=右,

去分時(shí)得:x-3(x-2)=-k.去括號(hào)得:x-3x+6=-k,解得:》=號(hào)^,由分式方程的解為正數(shù),得哮X),且%於2,解得:k>-6且妃:?2.故選:C.對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)。,饑我們規(guī)定符號(hào)min{a,b}表示。中較小的數(shù),如:5)=3.按照這個(gè)規(guī)定,方程min{-2,-3}=亮一疫的解為(B.-3A.-2【解答】解:由題意:?3=芻-擊,B.-3兩邊乘x-2得到:-3x+6=3+x3-43-4經(jīng)檢驗(yàn):是分式方程的解.故選:D.,已知關(guān)于、的方程巖左=骼無解,則〃的值為 V—,已知關(guān)于、的方程巖左=骼無解,則〃的值為 V—1【解答】解:口-奸1-宀》_2‘a(chǎn)x+1(x+1)(X-1)-X(x-2)=ax+l.x—1 xax+1,??關(guān)于X的方程口一姉=E無解':.x-2=0或x+l=O,把x=2代入(x+1)a-1)a?2)=E1中可得:3=2a+l,解得a=l,把x=-1代入(x+1)(尤-1)-x(x-2)=ar+l中可得:-3=?a+l,解得a=4,..?a的值為1或4,故答案為:1或4.6.解下列分式方程1-x22x1-x22xx-2(x-3)(x-2)x-3'(3)三=2-義y-3 3-y【解答】解:(1)兩邊同時(shí)乘以G-2)(廠3)得:x(x-3)-(1-x2)=2xCx-2)?解得x=l,經(jīng)檢驗(yàn),x=l是原方程的解,(2)兩邊同時(shí)乘以(a-1)(對(duì)1)得:(對(duì)1)2-4=(X-1)(x+1),解得x=1.經(jīng)檢驗(yàn),x=1是原方程的增根,?.?原方程無解;(3)兩邊同時(shí)乘以(y-3)得:y-2=2(y-3)+1,解得)=3,經(jīng)檢驗(yàn),),=3是原方程的增根,?.?原方程無解;7.如圖,某小區(qū)有一塊長為4〃米寬為(4。-2)米的長方形地塊.該長方形地塊正中間是一個(gè)長為(2。+1)米的長方形,四個(gè)角是大小相同的正方形,該小區(qū)計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化,對(duì)四個(gè)角的正方形用A型綠化方案,對(duì)正中間的長方形釆用B型綠化方案.米,B型綠化方案的長方形的另(I)用含0的代數(shù)式表示釆用A米,B型綠化方案的長方形的另一邊長是. 一邊長是. 米.(2)請(qǐng)你判斷使用A型,B型綠化方案的面積哪個(gè)少?并說明理由.540⑶若使用A型,B型綠化方案的總造價(jià)相同,均為炫。元,每平方米造價(jià)高的比低的多不訐元,求。的值.。的值.【解答】解:(1)A型綠化方案的四個(gè)正方形邊長是(?-|)米,B型綠化方案的長方形的另一邊長是(匕-1)米;

故答案為:(。一凱(&-1);記A型面積為Sa,B型面積為Sb,根據(jù)題意得:Sa=4(o-|)2=4a2-4a+l,Sb=(2a+l)(2a~1)=4a2-1,Sa-Sb=-4a+2,V4?-2>0,?.?-4"+2V0,即Sa?SbVO,則Sa<Sb;由(2)得SaVSb,13501350 540 nr,1350 1350 540.L— ■=, ,即— 1= ,.SASB(2q-1)2 (2a-l)2(2a+l)(2a-l)(2a-1)2解得:a=2,經(jīng)檢驗(yàn)a=2是分式方程的解.兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程.若先由甲、乙兩隊(duì)合作30天,剩下的工程再由乙隊(duì)單獨(dú)做15天可以完成,共需施工費(fèi)810萬元若由甲、乙合作完成此項(xiàng)工程共需36天,共需施工費(fèi)828萬元.求乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需多少天甲、乙兩隊(duì)每天的施工費(fèi)各為多少萬元?若工程預(yù)算的總費(fèi)用不超過840萬元,則乙隊(duì)最少施工多少天?【解答】解:(1)設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需x天,由題意得:土X30+啓=1,解得:x=90,經(jīng)檢驗(yàn)x=90是分式方程的解;答:乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需90天;(2)設(shè)甲隊(duì)每天的施工費(fèi)為小萬元,乙隊(duì)每天的施工費(fèi)為〃萬元,答:甲隊(duì)每天的施工費(fèi)為15萬元,乙隊(duì)每天的施工費(fèi)為8萬元:..?乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需90天,甲、乙合作完成此項(xiàng)工程共需36天,?.?甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程的天數(shù)為匚三=60,36_90設(shè)乙隊(duì)施工〃天,甲隊(duì)施工b天,由題意得:90+60=1①(15b+8a<840@

由①得:。=60-爭,把。一60-爭代入②得:15X(60-條)&W840,解得:。》30,即乙隊(duì)最少施工30天;答:乙隊(duì)最少施工30天.定義:如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式,則稱這個(gè)分式為“和諧分4,LX+l X-l+2 X-1 2 2 2x-3 2X+2-5 2x4-2 -5 一5r,,x+lr式”.如:一-=———=―+—-=1+=,—-= =―-+—-=2+K,則一和x-1x-1 x-1 x-1 x-1 x-1 x+1X+l X+l X+1x-12x—3-7廠都是“和諧分式”.X+1(1) 下列式子中,屬于“和諧分式”的是 (填序號(hào));號(hào)冷專尊a2a2-2a+3(2) 將“和諧分式”"一2:+3化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式為:a-1a-1 a-1+ ;3x+6X—l V2—1(3) 應(yīng)用:先化簡— 并求X取什么整數(shù)時(shí),該式的值為整數(shù). 【解答】解:(1)=1+;是和諧分式;是和諧分式;④=1+^2是和諧分式:故答案為:①?④; ⑵七空=411

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