廣西示范性高中2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期6月聯(lián)合調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023年廣西示范性高中高二聯(lián)合調(diào)研測試數(shù)學(xué)注意事項：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知實數(shù)集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式化簡集合A，再利用交集的定義求解作答.【詳解】解不等式，得，即有，由，得，所以.故選：A2.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】復(fù)數(shù)z化簡為的形式，則.【詳解】，.故選：B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算、共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.3.已知平面向量，，滿足，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過平方的方法，結(jié)合向量數(shù)量積運算求得正確答案.【詳解】因為，，且，所以，所以.故選：D4.某中學(xué)舉行全區(qū)教研活動，有10名志愿者參加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班至少3人，每人每天值一班，則教研活動當天不同的排班種數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先對10人分成三組，再分早中晚三班排列即可得解.【詳解】10人分成三組，每組至少3人，故可分為4人,3人,3人三組，共有種，再把三組人員安排到早中晚三班，共有種，由分步乘法計數(shù)原理可得共有種.故選：B5.某田地生長的小麥的株高服從正態(tài)分布，則（）（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，）A.0.6827 B.0.8186 C.0.9545 D.0.9759【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性及所提供數(shù)據(jù)運算即可.【詳解】由題知，，所以.故選：B6.數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，動點滿足，得到動點的軌跡是阿氏圓.若對任意實數(shù)，直線：與圓恒有公共點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)點，求出動點的軌跡圓的方程，再求出直線過定點坐標，依題意點在圓的內(nèi)部，即可得到不等式，解得即可.【詳解】設(shè)點，，，所以動點的軌跡為阿氏圓：，又直線恒過點，若對任意實數(shù)直線與圓恒有公共點，在圓的內(nèi)部或圓上，所以，所以，解得，即的取值范圍為.故選：B7.在三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理求出，利用正弦定理求出外接圓半徑，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解作答.【詳解】在中，，，，則，設(shè)外接圓半徑為，則，即，令外接圓圓心為，三棱錐外接球球心為，半徑為，有平面，由平面，得，又，取中點，于是四邊形為矩形，則球心到平面的距離，因此，所以三棱錐外接球的表面積.故選：C8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a最小值為．故選：D．二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某班級體溫檢測員對一周內(nèi)甲乙兩名同學(xué)的體溫進行了統(tǒng)計，其結(jié)果如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.乙同學(xué)體溫的極差為0.3℃B.甲同學(xué)體溫的中位數(shù)與平均數(shù)相等C.乙同學(xué)體溫的方差比甲同學(xué)體溫的方差小D.甲同學(xué)體溫的第60百分位數(shù)為36.6℃【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定的折線圖，利用極差、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、第p百分位數(shù)的意義逐項計算判斷作答.【詳解】由乙同學(xué)體溫折線圖知體溫的極差為36.5℃36.3℃0.2℃，A錯誤；甲同學(xué)的體溫由低到高為：36.2℃，36.2℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，因此中位數(shù)為36.4℃，平均數(shù)為℃，B正確；乙同學(xué)體溫的平均數(shù)為℃，與甲同學(xué)體溫的平均數(shù)相同，甲同學(xué)體溫的極差為0.4℃，大于乙同學(xué)體溫的極差，因此乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的穩(wěn)定，所以乙同學(xué)體溫的方差比甲同學(xué)體溫的方差小，C正確；由及選項B知，甲同學(xué)體溫的第60百分位數(shù)為36.5℃，D錯誤.故選：BC10.在空間直角坐標系中，，，，則（）A.B.C.異面直線與所成角余弦值為D.點到直線的距離是【答案】ABD【解析】【分析】利用空間向量的坐標表示，結(jié)合向量數(shù)量積、模的意義計算判斷AB；利用異面直線夾角的向量求法判斷C；利用空間向量求出點到直線距離判斷D作答.【詳解】依題意，，，A正確；顯然，B正確；因為，則異面直線與所成角的余弦值為，C錯誤；因為，，所以點到直線的距離是，D正確.故選：ABD11.已知，則實數(shù)，滿足（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】對于A，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析判斷，對于C，由已知可得，從而可得，對于D，利用基本不等式判斷，對于B，由，得分析判斷.【詳解】對于A，因為，所以，因為，所以，所以，所以A正確；對于C，由，得，所以，所以C錯誤；對于D，因為，所以，得，所以D正確；對于B，因為，所以，所以B錯誤.故選：AD12.已知拋物線的焦點為點，準線與對稱軸的交點為，斜率為的直線與拋物線相交于，兩點，線段的中點為，則下列結(jié)論正確的是（）A.當，點到準線的最小距離為4B.當時，直線的斜率最小值為C.當直線過點時，斜率D.當直線過點時，【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合拋物線定義判斷A；設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理、數(shù)量積的坐標表示結(jié)合均值不等式判斷B；設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，由判別式及中點坐標公式判斷CD作答.【詳解】對于A，作，連接，其中為準線，如圖，由拋物線定義知，，即，當且僅當在上，且軸時取等號，此時直線的斜率為0，與矛盾，A錯誤；對于B，設(shè)，由消去y并整理得，當時，設(shè)，則，即，，因此，而，即，于是，即，解得或(舍去)，此時，滿足題意，又，因此直線的斜率，當且僅當，即時取等號，B錯誤；對于C，直線過點時，直線的方程為，由y=kx?2x2=8y消去y并整理可得，設(shè)則，解得，C正確；因此，即，D正確.故選：CD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.在展開式中，含項的系數(shù)是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得到其通項公式，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，其通項公式為，令，則，所以含項的系數(shù)是.故答案為:14.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為5%，第2，3臺加工的次品率均為4%，加工出來的零件混放在一起；已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的30%，15%，55%.現(xiàn)任取一個零件，則該零件是次品的概率為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，結(jié)合全概率公式求解即可.【詳解】由全概率公式可得，任取一個零件，則該零件是次品的概率為.故答案為：15.已知是正項等比數(shù)列的前項和，，則的最小值為________.【答案】##【解析】【分析】按公比是否為1分類討論，在時，用表示出，再列式并借助二次函數(shù)最值求解作答.【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，當時，，則，當時，，，于是，所以當時，取得最小值.故答案為：.16.設(shè)函數(shù)在上恰有2個零點，且的圖象在上恰有2個最高點，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，找出到滿足條件的所在的區(qū)間，解不等式組即可作答.【詳解】因為，則，而函數(shù)在上恰有2個零點，且的圖象在上恰有2個最高點，因此，即，當時，不符合題意，當時，不等式組為，不等式組無解，當時，不等式組為，解得，當時，不等式組無解，所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17.內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知.（1）求角；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再結(jié)合和角的正弦公式求解作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用二倍角的余弦公式、差角的余弦公式、輔助角公式化簡，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【小問1詳解】在中，由及正弦定理得，而，于是，即整理得到：，又，因此，，所以.【小問2詳解】由（1）知，則，顯然，則，即有，于是，所以的取值范圍是.18.一個醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090再調(diào)查病例組100例的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）已知該地方這種疾病的患者的患病率為0.5%，該地方年齡位于區(qū)間的人口占該地方總?cè)丝诘?0%.從該地方中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率）.附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）能推斷患該疾病群體與末患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)表，求出的觀測值，再結(jié)合臨界值表判斷作答.（2）利用條件概率公式計算作答.【小問1詳解】設(shè)零假設(shè)：患該病群體和衛(wèi)生習(xí)慣沒有差異；由數(shù)據(jù)表得，又，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，所以認為患該疾病群體與末患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.【小問2詳解】設(shè)從該地區(qū)中任選一人，此人的年齡位于區(qū)間為事件，此人患這種疾病為事件，于是，，所以所求概率為.19.已知等比數(shù)列的公比，且，，成等差數(shù)列，數(shù)列前項和為，且.（1）分別求出數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，其中數(shù)列前項和為，求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差中項的意義結(jié)合等比數(shù)列求出公比即可求出，再利用前n項和公式求出數(shù)列的通項作答.（2）利用錯位相減法求和作答.【小問1詳解】由成等差數(shù)列，得，而，且等比數(shù)列的公比，則，即，解得，因此；由，得當時，，當時，，滿足上式，即，所以數(shù)列和的通項公式分別為，.【小問2詳解】由（1）知，，則，于是有，兩式相減得：，所以.20.圖1是由矩形、和菱形組成一個平面圖形，其中，，.將其沿，折起使得與重合，連接，如圖2.（1）證明：圖2中的，，，四點共面，且平面平面；（2）求圖2中與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明即可得四點共面；再利用線面垂直、面面垂直的判定推理作答.（2）在平面內(nèi)作，垂足為，以為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求出線面角的正弦作答.【小問1詳解】依題意，，則，即確定一個平面，所以四點共面；顯然，平面，因此平面，又平面所以平面平面.【小問2詳解】在平面內(nèi)作，垂足為，而平面平面，于是平面，由荾形的邊長為，得，以為原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖，則，,設(shè)平面的法向量，則，取，得，又，設(shè)與平面所成的角為，則，所以與平面所成角的正弦值.21.在平面直角坐標系中，已知點，直線：，動點到點距離與直線的距離之比為.（1）求動點的軌跡的方程；（2）設(shè)曲線與軸交于、兩點，過軸上點作一直線與橢圓交于，兩點（異于，），若直線與的交點為，記直線與的斜率分別為，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)給定條件列出方程，再化簡即可作答.（2）設(shè)出直線的方程，與軌跡的方程聯(lián)立，利用韋達定理、斜率坐標公式推理計算作答.【小問1詳解】設(shè)，依題意，，整理得，所以動點的軌跡是橢圓，其方程為.【小問2詳解】由（1）知，不妨令，設(shè)，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程：，由消去x并整理得，有，即，于是，即有，由,,和,,三點共線，得，即，而，從而，因此，解得，而，所以.22.已知函數(shù)（，且）.（1）討論的值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：當時，.【答案】（