第4章梁的內(nèi)力課件

§4–2內(nèi)力方程內(nèi)力圖

第4章靜定結構的內(nèi)力計算§4-3用疊加法作彎矩圖§4–1桿件的內(nèi)力·截面法§4–2內(nèi)力方程內(nèi)力圖第4章靜定結構的內(nèi)1

§4–1桿件的內(nèi)力·截面法FFFF拉伸壓縮I桿件在軸向荷載作用下，將發(fā)生軸向拉伸或壓縮。§4–1桿件的內(nèi)力·截面法FFFF拉伸壓縮2

一、拉壓桿的內(nèi)力——軸力FFFFN拉壓桿橫截面的內(nèi)力沿桿的軸線，故稱為軸力。軸力以拉為正，以壓為負。一、拉壓桿的內(nèi)力——軸力FFFFN拉壓桿橫截面的內(nèi)力3II扭轉的概念II扭轉的概念4直桿在外力偶作用下，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，則桿件發(fā)生的變形為扭轉變形。ABOmmOBA扭轉：——扭轉角（兩端面相對轉過的角度）——剪切角，剪切角也稱切應變。直桿在外力偶作用下，且力偶的作用面與直桿的軸5扭轉的內(nèi)力—扭矩mmmTⅠⅠx一、扭矩圓桿扭轉橫截面的內(nèi)力合成結果為一合力偶，合力偶的力偶矩稱為截面的扭矩，用T表示之。扭矩的正負號按右手螺旋法則來確定，即右手握住桿的軸線，卷曲四指表示扭矩的轉向，若拇指沿截面外法線指向，扭矩為正，反之為負。扭轉的內(nèi)力—扭矩mmmTⅠⅠx一、扭矩圓桿扭6mTx扭矩的大小由平衡方程求得。mTx扭矩的大小由平衡方程求得。7

III彎曲的概念

1.彎曲:桿受垂直于軸線的外力或外力偶矩矢的作用時,軸線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。2.梁：以彎曲變形為主的構件通常稱為梁。III彎曲的概念1.彎曲:桿受83.工程實例3.工程實例9縱向?qū)ΨQ面MF1F2q二、平面彎曲桿件具有縱向?qū)ΨQ面，荷載作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁彎曲后軸線彎成一條平面曲線，稱為平面彎曲。在后幾章中，將主要研究平面彎曲的內(nèi)力，應力及變形等?？v向?qū)ΨQ面MF1F2q二、平面彎曲桿件具有縱10三、簡單靜定梁懸臂梁簡支梁外伸梁三、簡單靜定梁懸臂梁簡支梁外伸梁11梁的內(nèi)力-----剪力和彎矩FABalFABFAxFAyFB荷載和支座反力皆屬外力，下面研究橫截面的內(nèi)力。梁的內(nèi)力-----剪力和彎矩FABalFABFAxFAyFB12PABal將梁從Ⅰ－Ⅰ位置截開，取左側。ⅠⅠxAFAyⅠⅠFsMx因內(nèi)力必須與外力平衡，故內(nèi)力簡化結果為一力和一力偶。該力與截面平行，稱為截面的剪力，用Fs

表示之；該力偶的力偶矩稱為截面的彎矩，用M表示之。

⑴剪力正負的規(guī)定：使微段有順時針轉動趨勢的剪力為正，反之為負；

⑵彎矩正負的規(guī)定：使微段下面受拉、上面受壓變形的彎矩為正，反之為負。PABal將梁從Ⅰ－Ⅰ位置截開，取左側。ⅠⅠ13⊕FsFs○－FsFs⊕○－MMMM剪力正負的規(guī)定彎矩正負的規(guī)定內(nèi)力通過平衡方程計算。AFAyⅠⅠFsMx⊕FsFs○－FsFs⊕○－MMMM剪力正負的規(guī)定彎矩正負的14

計算梁內(nèi)力的步驟：⒈取整體，求支座反力（懸臂梁此步可省）；⒉將梁在要求內(nèi)力的部位截開，選簡單一側作研究對象；⒊畫受力圖，截面的剪力、彎矩一定要按正的規(guī)定畫；⒋列平衡方程Fx=0，求剪力FS

；m=0，求彎矩。計算梁內(nèi)力的步驟：⒈取整體，求15

扭矩圖的畫法步驟：

⒈畫一條與桿的軸線平行且與桿等長的直線作基線；

⒉將桿分段，凡集中力偶作用點處均應取作分段點；

⒊用截面法，通過平衡方程求出每段桿的扭矩；畫受力圖時，截面的扭矩一定要按正的規(guī)定來畫。

⒋按大小比例和正負號，將各段桿的扭矩畫在基線兩側，并在圖上表出數(shù)值和正負號。扭矩圖的畫法步驟：⒈畫一16

二、軸力圖一般情況，拉壓桿各截面的的軸力是不同的，表示拉壓桿各截面的的軸力的圖象稱為軸力圖。

軸力圖的畫法步驟如下：

⒈畫一條與桿的軸線平行且與桿等長的直線作基線；

⒉將桿分段，凡集中力作用點處均應取作分段點；

⒊用截面法，通過平衡方程求出每段桿的軸力；畫受力圖時，截面軸力一定按正的規(guī)定來畫。

⒋按大小比例和正負號，將各段桿的軸力畫在基線兩側，并在圖上表出數(shù)值和正負號。二、軸力圖一般情況，拉壓桿各截面的的軸力是不同的，表示17例1畫圖示桿的軸力圖。⊕⊕○－軸力圖ⅠⅠⅡⅡⅢⅢⅠⅠFN1ⅡⅡFN2ⅢⅢFN3第一段:第二段:第三段:例1畫圖示桿的軸力圖。⊕⊕○－軸力圖ⅠⅠⅡⅡⅢⅢⅠⅠFN18

例2長為l，重為W的均質(zhì)桿，上端固定，下端受一軸向拉力P作用，畫該桿的軸力圖。lPxPFN⊕軸力圖PP+W例2長為l，重為W的均質(zhì)桿，上端固定，下端受一軸向拉19

例3畫圖示桿的軸力圖。ABCD⊕⊕⊕○－○－軸力圖軸力圖例3畫圖示桿的軸力圖。ABCD⊕⊕⊕○－○－軸力圖軸力圖204–2.1梁的剪力和彎矩FABalFABFAxFAyFB荷載和支座反力皆屬外力，下面研究橫截面的內(nèi)力。4–2.1梁的剪力和彎矩FABalFABFAxFAy21PABal將梁從Ⅰ－Ⅰ位置截開，取左側。ⅠⅠxAFAyⅠⅠFsMx因內(nèi)力必須與外力平衡，故內(nèi)力簡化結果為一力和一力偶。該力與截面平行，稱為截面的剪力，用Fs

表示之；該力偶的力偶矩稱為截面的彎矩，用M表示之。

⑴剪力正負的規(guī)定：使微段有順時針轉動趨勢的剪力為正，反之為負；口訣：正剪力----左上右下

⑵彎矩正負的規(guī)定：使微段下面受拉、上面受壓變形的彎矩為正，反之為負?？谠E：正彎矩----左順右逆PABal將梁從Ⅰ－Ⅰ位置截開，取左側。ⅠⅠ22⊕FsFs○－FsFs⊕○－MMMM剪力正負的規(guī)定彎矩正負的規(guī)定內(nèi)力通過平衡方程計算。AFAyⅠⅠFsMx⊕FsFs○－FsFs⊕○－MMMM剪力正負的規(guī)定彎矩正負的23

計算梁內(nèi)力的步驟：⒈取整體，求支座反力（懸臂梁此步可省）；⒉將梁在要求內(nèi)力的部位截開，選簡單一側作研究對象；⒊內(nèi)力計算公式：左側分析：FS=∑（?）-∑（?）；

M=∑（）-∑（）右側分析：FS=∑（?）-∑（?）；M=∑（）-∑（）⒋或按照截面法列平衡方程Fx=0，求剪力FS

；m=0，求彎矩。計算梁內(nèi)力的步驟：⒈取整體，求24例1求圖示梁1、2、3、4截面的內(nèi)力。ABCD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344解：取整體，F(xiàn)AFB1－1截面FA11Fs1M1A由1－1截面的內(nèi)力計算可得結論：桿端無力偶作用，緊挨桿端截面的彎矩M=0。例1求圖示梁1、2、3、4截面的內(nèi)力。ABCD2m2m2m25CP=12kN2－2截面FA22Fs2M2AFA33Fs3M3A3－3截面ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFBCP=12kN2－2截面FA22Fs2M2AFA33Fs3M26D2233PFs3M3Fs2M2由2、3截面的內(nèi)力計算可得如下結論：⑴集中力（包括支座反力）兩側截面的的彎矩相等；⑵集中力（包括支座反力）作用截面的的剪力發(fā)生突變，其值等于集中力（集中力以向上為正）。ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFBD2233PFs3M3Fs2M2由2、3截27C44M4Fs44－4截面由4－4截面的內(nèi)力計算可得如下結論：⑴自由端無集中力作用，端截面剪力等于零：F=0；⑵自由端無集中力偶作用，端截面彎矩等于零：M=0。ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFBC44M4Fs44－4截面由4－4截面的28例2

求圖示梁1、2、3截面的內(nèi)力。ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m解：取整體，1－1截面FA11Fs1AM1m1例2求圖示梁1、2、3截面的內(nèi)力。ABC2m2m112229FA22Fs2M2A33Fs3M3Bm12－2截面3－3截面FBABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.mFA22Fs2M2A33Fs3M3Bm12－2截面3－3截面30由2、3截面的內(nèi)力計算可得如下結論：⑴集中力偶作用截面的的剪力相等；⑵集中力偶作用截面的的彎矩發(fā)生突變，其值等于集中力偶矩（集中力偶矩以順時針轉為正）。C2233Fs3M3FS2M2m2ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m由2、3截面的內(nèi)力計算可得如下結論：31例3

求圖示梁1、2、3截面的內(nèi)力。ABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m33112FAFB23m解：取整體1－1截面FA11Fs1M1A例3求圖示梁1、2、3截面的內(nèi)力。ABC2m1mm=1232BFA22Fs2M2Am2－2截面33Fs3M3FBq3－3截面BABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m33112FAFB23mBFA22Fs2M2Am2－2截面33Fs3M3FBq3－3334–2.2剪力圖和彎矩圖qxql-xlFs(x)M(x)圖示梁任一截面的內(nèi)力。截面剪力是截面坐標的函數(shù)，稱為剪力方程。截面彎矩也是截面坐標的函數(shù)，稱為彎矩方程。4–2.2剪力圖和彎矩圖qxql-xlFs(x)M34qxl剪力方程的函數(shù)圖象稱為剪力圖。正的剪力畫在基線上側，負的畫在下側。剪力圖qlxFs⊕彎矩方程的函數(shù)圖象稱為彎矩圖。按工程規(guī)定彎矩圖畫在桿的受拉一側，因此正的彎矩畫在基線下側，負的畫在上側。xMql2/2○－彎矩圖qxl剪力方程35補充剪力、彎矩與荷載集度間的關系ABdxxq(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)M(x)dxo取微段dx，受力如圖。補充剪力、彎矩與荷載集度間的關系ABdxxq(x)M36ABdxx略去高階微量得：q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)dxoABdxx略去高階微量得：q(x)M(x)+dM(x)Fs37

⑴

當q=0，F(xiàn)s

=常數(shù)，F(xiàn)s

圖為平直線；

M為一次函數(shù)，M圖為斜直線；

⑵

當q=常數(shù)，F(xiàn)s為一次函數(shù)，F(xiàn)s

圖為斜直線；

M為二次函數(shù)，M圖為拋物線；當M圖為拋物線時，畫M圖需確定拋物線頂點的位置和頂點的彎矩值。由：可知彎矩拋物線頂點對應于剪力圖等于零的位置。根據(jù)M、Fs與q之間的關系，可不必列剪力方程和彎矩方程，即可畫出剪力圖和彎矩圖。⑴當q=0，F(xiàn)s=常數(shù)，F(xiàn)s圖38

根據(jù)M、Fs與q之間的關系畫剪力圖和彎矩圖的步驟如下：⒈取整體，求支座反力（懸臂梁此步可?。?；⒉將梁分段：凡是集中力、集中力偶作用點，分布荷載兩端，支座處都應取作分段點；⒊用公式法或截面法求出每段梁兩端截面的剪力和彎矩，由M

=ql2/8確定彎矩拋物線中點所對應截面的彎矩值；⒋用直線，均布荷載下彎矩圖用拋物線將各截面剪力、彎矩連起來。并在圖上標出正負號，各控制截面的剪力值和彎矩值。根據(jù)M、Fs與q之間的關系畫剪力圖和彎矩圖的步39例4畫圖示梁的剪力圖和彎矩圖。AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FAFB34m11解：取整體Fs圖M圖FsM1234==00B例4畫圖示梁的剪力圖和彎矩圖。AC2mm=12kN.mq=40AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kNFB=18kN34m11Fs圖M圖FsM12345==00FA22Fs2M2A66612BAC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kN41Fs圖M圖FsM1234==0066-1812FA33Fs3M3Am24B44M4Fs4FB6FB=18kNAC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kN34m11BFs圖M圖FsM1234==0066-1812FA33Fs342AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kNFB=18kN34m11Fs圖M圖FsM12345==0066-181224B66kN18kN⊕○－⊕3m5555Fs5M5FBq02712kN.m24kN.m27kN.mBAC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kN43例5畫圖示梁的剪力圖和彎矩圖。AC2mF=6kNq=3kN/m66223FAFB32m11解：取整體Fs圖M圖FsM12345==002mB4455D6===例5畫圖示梁的剪力圖和彎矩圖。AC2mF=6kNq=3kN44AC2mP=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs圖M圖Fs

M12345==002mB4455D6===5-75FA33Fs3M3AP-1-1-11010⊕○－5kN1kN7kN⊕10kN.mAC2mP=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=45AC2mP=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs圖M圖FsM12345==002mB4455D6===5-75RA44Fs

4M4AP-1-1-11010⊕○－5kN1kN7kN⊕10kN.m8kN.m88AC2mP=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=46例6畫圖示梁的內(nèi)力圖。ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344解：取整體，F(xiàn)BmAFs圖M圖Fs

M1234==00844例6畫圖示梁的內(nèi)力圖。ABC4m2mP=4kNq=2kN/47ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344FB=12kNFs圖M圖Fs

M1234==00844mA=8kN.mP=4kN22FBFs2M2-8-8-8⊕○－4kN8kN⊕○－8kN.m8kN.mCBABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344FB=48例7畫圖示梁的內(nèi)力圖。ABCD3m4m2mF=3kNq=1kN/m11223366解：取整體，F(xiàn)AFC4455m=6kN.mFs圖M圖(kN)(kN.m)例7畫圖示梁的內(nèi)力圖。ABCD3m4m2mF=3kNq=149ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs圖M圖(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m1122336650ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs圖M圖(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－○－FA33Fs3M3Amq94ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m1122336651ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs圖M圖(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－○－FA22Fs2M7Aq9422.5mFA77Fs7Aq773.125M2⊕ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m1122336652§8–3按疊加原理作彎矩圖qmABlmABlqABl=+FA=m/lFB=m/lFA=ql/2FB=ql/2Fs圖M圖⊕⊕○－m/lm⊕○－ql/2ql/2ql2/8m/l+ql/2m/l-ql/2⊕○－mql2/8=++=⊕○－Mmax§8–3按疊加原理作彎矩圖qmABlmABlqABl53PmABl/2mABAB=+FA=m/lFB=m/lRA=P/2FB=P/2Fs圖M圖⊕⊕○－m/lmP/2P/2Pl/4m/l+P/2m/l-P/2○－○－mPl/4=++=l/2l/2l/2l/2l/2P⊕○－⊕⊕PmABl/2