2023學年九年級數(shù)學上冊單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強化題型）（人教版） 二次函數(shù)與面積問題（強化）（解析版）

二次函數(shù)與面積問題【例題精講】如圖直線交軸于點交軸于點拋物線經(jīng)過點點且交軸于另一點．（1）直接寫出點點點的坐標及拋物線的解析式．（2）在直線上方的拋物線上有一點求四邊形面積的最大值及此時點的坐標．【解答】解：（1）令得令得解得．把、兩點代入得解得拋物線的解析式為．（2）過點作軸與交于點如圖1設(shè)則當時四邊形面積最大其最大值為8此時的坐標為．如圖已知拋物線經(jīng)過兩點與軸相交于點點為拋物線上一動點過點作軸的垂線交軸于點連接．（1）求拋物線的表達式；（2）當點位于直線上方時連結(jié)的面積能否取得最大值？若能請求出最大面積并求出此時點的坐標；若不能請說明理由．【解答】解：（1）將點的坐標代入函數(shù)的表達式得：解得：拋物線的解析式為；（2）能．如圖所示：連接設(shè)點的坐標為則當時的面積有最大值最大值為8此時的面積最大值為8．【題組訓練】1．如圖二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點為另一個交點為且與軸交于點．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求的面積；（3）該二次函數(shù)圖象上是否存在點使與的面積相等？若存在請求出點的坐標；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）把代入得解得拋物線解析式為；（2）當時解得當時的面積；（3）存在．設(shè)與的面積相等即解方程得此時點坐標為或；解方程得此時點坐標為；綜上所述點坐標為或或．2．已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點與軸交于點求：（1）點、、的坐標；（2）的面積．【解答】解：（1）令則；令則解得：；（2）．3．如圖拋物線．與軸交于兩點與軸交于直線經(jīng)過點且與拋物線交于另一點．（1）求拋物線的解析式；（2）若是位于直線上方的拋物線上的一個動點連接求的面積的最大值．【解答】解：（1）直線經(jīng)過點令則將代入得：解得：拋物線的解析式為：；（2）解得：過點作軸交于設(shè)則的面積當時的面積最大且最大值是．4．如圖拋物線與軸正半軸交于點與軸交于點直線過、兩點．點為拋物線頂點連接、．（1）求拋物線的解析式及頂點的坐標；（2）求的面積．【解答】解：（1）令則令則求得把、的坐標代入得解得拋物線的解析式為頂點的坐標為；（2）作軸交于點把代入得．5．已知拋物線與軸交于點和點與軸交于點是線段上一點過點作軸交軸于點交拋物線于點．（1）求該拋物線的表達式；（2）如果點的橫坐標為2點是第一象限拋物線上的一點且和的面積相等求點的坐標．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點和點解得：該拋物線的表達式；（2）如圖設(shè)直線的解析式為解得：直線的解析式為點的橫坐標為2．．軸．的面積為．和的面積相等的面積為2設(shè)中邊上的高為點的縱坐標為1解得：（負數(shù)不合題意舍去）．6．如圖拋物線與軸交于點、兩點與軸交于點．（1）求出此拋物線和直線的解析式；（2）在直線上方的拋物線上有一動點求點的橫坐標為何值時四邊形的面積最大？最大值是多少？并寫出此時點的坐標．【解答】解：（1）將、代入中得解得拋物線的解析式為．設(shè)直線的解析式為將代入得解得直線的解析式為．（2）如圖作軸交于點設(shè)點坐標為則點坐標為．．當時有最大值為8此時點坐標為．7．如圖拋物線與軸交于、兩點與軸交于點．直線與拋物線交于、兩點與軸交于點點的坐標為．（1）求拋物線的解析式與直線的解析式；（2）若點是拋物線上的點且在直線上方連接、求面積最大值；（3）由（2）并求出點的坐標．【解答】解：（1）拋物線與軸交于、兩點設(shè)拋物線的解析式為在拋物線上解得拋物線的解析式為即直線經(jīng)過、設(shè)直線的解析式為則解得直線的解析式為；（2）如圖1中過點作軸交于點．設(shè)則．的值最大值時的面積最大時的值最大最大值為此時的面積的最大值為；（3）由（2）可知時面積最大．8．如圖拋物線交軸于點和點．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式．（2）若該拋物線軸交于點頂點為點在該拋物線上求四邊形的面積．【解答】解：（1）拋物線交軸于點和點．解得：．拋物線的函數(shù)表達式為；（2）．令則．．連接過點作交延長線于點過點作于點如圖．四邊形的面積．9．如圖已知拋物線的頂點為與軸交于點與軸交于點．（1）求此拋物線的解析式．（2）求的面積．（3）設(shè)是直線上方該拋物線上除點外的一點且與的面積相等求點的坐標．【解答】解：（1）拋物線的頂點為設(shè)拋物線的解析式為此拋物線與軸交于點．．此拋物線的解析式為．即：．（2）過點作于點設(shè)交直線與點如圖令則．解得：或3．．．設(shè)直線的解析式為解得：．直線的解析式為．．．．的面積等于3．（3）設(shè)點的橫坐標為過點作于點設(shè)交直線與點如圖是直線上方該拋物線上除點外的一點．．．．．．與的面積相等．解得：或2．設(shè)是直線上方該拋物線上除點外的一點．．10．如圖拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)）與軸交于點．（1）求直線的解析式；（2）拋物線上點的橫坐標為2求四邊形的面積．【解答】解：（1）令得令得解得或設(shè)直線的解析式為：把代入得解得直線的解析式為：；（2）當時連接如圖．11．如圖在平面直角坐標系中二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣20）、B（30）與y軸交于點C（0﹣3）點P是二次函數(shù)圖象上的一點．（1）求二次函數(shù)和直線BC的解析式．（2）若點P在直線BC的下方當△PBC的面積最大時求點P的坐標．（3）當S△PBC＝S△ABC時求點P的橫坐標．【解答】解：（1）把點A（﹣20）B（30）C（0﹣3）代入二次函數(shù)解析式則解得：∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x﹣3；設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d則解得：∴直線BC的解析式為y＝x﹣3；（2）如圖作PD⊥x軸交BC于點DPE⊥y軸延長EP與過點B的x軸垂線交于F設(shè)P點坐標為（m）則點D坐標為（mm﹣3）∴PD＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）＝﹣m2+mS△PBC＝S△PDC+S△PDB＝PD?PE+PD?PF＝PD?EF＝PD?OB∴S△PBC＝（﹣m2+m）×3＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+∴當m＝時S△PBC取最大值此時P點坐標為（﹣）；（3）∵S△ABC＝AB?OC＝×5×3＝∴S△PBC＝S△ABC＝×＝設(shè)P（mm2﹣m﹣3）由（2）知PQ＝|﹣m2+m|S△PBC＝（xB﹣xC）PQ＝×|﹣m2+m|∴×|﹣m2+m|＝即|m2﹣3m|＝2當m2﹣3m＝2時解得m＝；當m2﹣3m＝﹣2時解得：m＝1或m＝2∴點P的橫坐標為或或1或2．12．如圖在平面直角坐標系中拋物線的圖象與坐標軸相交于三點其中點坐標為點坐標為連接．動點從點出發(fā)在線段上以每秒個單位長度向點做勻速運動；同時動點從點出發(fā)在線段上以每秒1個單位長度向點做勻速運動當其中一點到達終點時另一點隨之停止運動．連接設(shè)運動時間為秒．（1）求的值；（2）在運動的過程中當為何值時四邊形的面積最小最小值為多少？【解答】解：（1）把代入則解得：．（2）拋物線解析式為當時點坐標為又等腰直角三角形由點的運動可知：過點作軸垂足為如圖：即又當其中一點到達終點時另一點隨之停止運動．當時四邊形的面積最小最小值為4．13．如圖拋物線與軸交于、兩點與軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點使四邊形的面積最大求出點的坐標．【解答】解：（1）即解得：設(shè)拋物線解析式為將代入得：解得：該拋物線的解析式為；（2）如圖過點作軸交于點設(shè)直線解析式為將代入得：解得：直線解析式為設(shè)則當時四邊形的面積最大此時點的坐標為．14．如圖拋物線與軸交于、兩點與軸交于點且．直線與拋物線交于兩點與軸交于點點到軸的距離為3．（1）求拋物線的解析式與直線的解析式．（2）若點是拋物線上的點且在直線上方連接、求當面積最大時點的坐標及該面積的最大值．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為把代入得解得拋物線解析式為即；拋物線的對稱軸為點到軸的距離為3點、關(guān)于直線對稱設(shè)直線的解析式為把分別代入得解得直線的解析式為；（2）過點作軸交直線于點如圖設(shè)則的面積當時的面積有最大值最大值為此時點坐標為．15．如圖拋物線與軸交于兩點與軸交于點頂點為．（1）直接寫出拋物線的解析式、對稱軸及頂點的坐標．（2）若直線與拋物線交于、兩點求點的坐標及的面積．【解答】解：（1）把和兩點代入拋物線中得：解得：拋物線的解析式為：對稱軸為：；頂點的坐標是：．（2）把代入到直線中得：直線是．解方程得．當時點．設(shè)拋物線的對稱軸與交于點則點的橫坐標為1代入得點．．．16．拋物線與軸交于、兩點與軸交于點已知點坐標為．（1）求實數(shù)的值；（2）若點是拋物線在第一象限內(nèi)圖象上的點求面積的最大值及此時點的坐標．【解答】解：（1）將點代入得解得；（2）拋物線解析式為當時則設(shè)直線的解析式為把代入得解得直線的解析式為過點作軸交直線于點如圖設(shè)則時有最大值此時點坐標為面積的最大值為1．17．如圖在平面直角坐標系中拋物線與軸交于兩點與軸交于點．已知點是拋物線上的一個動點．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式．（2）當?shù)拿娣e為8時求點的坐標．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點解得拋物線的解析式為；（2）拋物線與軸交于兩點點設(shè)點的面積為8或點坐標為或或．18．如圖關(guān)于的二次函數(shù)的圖象與軸交于點和