高等代數(shù)(第三版)7-習(xí)題課課件

第七章第七章1線性變換(小結(jié))

線性變換是線性代數(shù)的中心內(nèi)容之一,它對(duì)于研究線性空間的整體結(jié)構(gòu)以及向量之間的內(nèi)存聯(lián)系起著重要作用.線性變換的概念是解析幾何中的坐標(biāo)變換、數(shù)學(xué)分析中的某些變換替換等的抽象和推廣,它的理論和方法,(特別是與之相適應(yīng)的矩陣?yán)碚摵头椒?在解析幾何、微分方程等許多其它應(yīng)用學(xué)科,都有極為廣泛的應(yīng)用.本章的中心問(wèn)題是研究線性變換的矩陣表示,在方法上則充分利用了線性變換與矩陣對(duì)應(yīng)和相互轉(zhuǎn)換.線性變換(小結(jié))線性變換是線性代數(shù)的中心內(nèi)容之一,它對(duì)于研2一、線性變換及其運(yùn)算1．基本概念：線性變換,可逆線性變換與逆變換;線性變換的值域與核，秩與零度;線性變換的和與差,乘積和數(shù)量乘法,冪和多項(xiàng)式.2．基本結(jié)論(1)線性變換保持零向量、線性組合與線性關(guān)系式不變;線性變換把負(fù)向量變?yōu)橄蟮呢?fù)向量、把線性相關(guān)的向量組變?yōu)榫€性相關(guān)的向量組一、線性變換及其運(yùn)算1．基本概念：線性變換,可逆線性變換與逆3(2)線性變換的和、差、積、數(shù)量乘法及可逆線性變換的逆變換仍為線性變換.(3)線性變換的基本運(yùn)算規(guī)律(略).(4)一個(gè)線性空間的全體線性變換關(guān)于線性變換的加法與數(shù)量乘法作成一個(gè)線性空間.(2)線性變換的和、差、積、數(shù)量乘法及可逆4(5)線性空間V的線性變換的象與核是的V子空間.若dim(V)=n,則由V的一組基的象生成,而的秩+的零度=n,且是雙射當(dāng)且僅當(dāng)是單射當(dāng)且僅當(dāng)(5)線性空間V的線性變換的象與核是的V子空間.若d5二、線性變換與矩陣1.基本概念:線性變換在基下的矩陣;相似矩陣.2.基本結(jié)論二、線性變換與矩陣1.基本概念:線性變換在基下的矩陣;相似矩6高等代數(shù)(第三版)7-習(xí)題課ppt課件7下的矩陣分別為A、B，且從基(Ⅰ)

到基(Ⅱ)的過(guò)渡矩陣矩陣是X，則(Ⅱ)(Ⅰ)定理4

設(shè)線性空間V的線性變換在兩組基（3）下的矩陣分別為A、B，且從基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的過(guò)渡矩陣矩陣8(4)(定理5)線性變換在不同基下的矩陣是相似的；同一線性變換在兩組基下所對(duì)應(yīng)的矩陣.反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)矩陣相似，那么它們可以看作(4)(定理5)線性變換在不同基下的矩陣是相似的；同一9三、特征值與特征向量

1.基本概念:線性變換(或矩陣)的特征值與特征向量;特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式;特征子空間.2.基本結(jié)論:線性變換與相應(yīng)矩陣的特征值、特征向量及特征子空間的關(guān)系(略)(2)屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的.(3)相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式,反之不然.三、特征值與特征向量1.基本概念:線性變換(或矩陣)的特征10設(shè)為A的特征多項(xiàng)式,則(4)

哈密爾頓─凱萊（Hamilton─Caylay）定理零矩陣設(shè)為A的特征多11四、對(duì)角化問(wèn)題基本概念:不變子空間,標(biāo)準(zhǔn)形.2.基本結(jié)論:四、對(duì)角化問(wèn)題基本概念:不變子空間,標(biāo)準(zhǔn)形.121.(定理7)設(shè)為維線性空間V的一個(gè)線性變換，則可對(duì)角化有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.1.(定理7)設(shè)為維線性空間V的一個(gè)線性變換，則13在某組基下的矩陣是為角形當(dāng)且僅當(dāng)可以分解為——子空間的直和 ；在某組基下的矩陣為對(duì)角形當(dāng)且僅當(dāng)?shù)淖钚《囗?xiàng)式（即在任一基下矩陣的最小多項(xiàng)式）是P上互素的一次因式的乘積.在某組基下的矩陣是為角形當(dāng)且僅當(dāng)14(3)設(shè)A為n階矩陣，則A必與一個(gè)若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣相似，且在不計(jì)若當(dāng)塊的排列次序的意義下，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的；而A與對(duì)角矩陣相似A的最小多項(xiàng)式無(wú)重根.于是，當(dāng)A的特征多項(xiàng)式無(wú)重根時(shí)，A必與一個(gè)對(duì)角矩陣相似.(3)設(shè)A為n階矩陣，則A必與一個(gè)若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣相似，且在15本章的重點(diǎn):線性變換的矩陣表示以及它們對(duì)角化的條件和方法.本章的難點(diǎn):不變子空間的概念和線性變換與矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.本章的基本內(nèi)容及其內(nèi)在聯(lián)系

可用下圖來(lái)說(shuō)明：

本章的重點(diǎn):線性變換的矩陣表示以及它們本章的基本內(nèi)容16線性變換的定義對(duì)角矩陣最小多項(xiàng)式若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形線性變換的運(yùn)算線性變換的矩陣線性變換的值域與核不變子空間特征值與特征向量線性變換的定義對(duì)角矩陣最小多項(xiàng)式若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形線性變換的運(yùn)算線性17等價(jià)相似合同對(duì)象mn矩陣n階方陣n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣來(lái)源A可經(jīng)初等行變換得到B一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣二次型經(jīng)非退化線性變換后，新舊矩陣之間的關(guān)系刻劃存在P,Q可逆，使得B=PAQ存在P可逆，使得B=P-1AP存在P可逆，使得B=PTAP共同點(diǎn)都滿(mǎn)足反身性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性，都保持矩陣的秩不變