2022-2023學年海南省?？谑旋埲A區(qū)重點學校高一（下）期末數(shù)學試卷（A卷）（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合，，那么集合等于()

A.B.或

C.D.

2.已知向量，若，則()

A.B.C.D.

3.已知向量，且，則()

A.B.C.D.

4.已知，則的值為()

A.B.C.D.

5.已知長方體的長、寬、高分別為，，，并且其頂點都在球的球面上，則球的體積是()

A.B.C.D.

6.若，，，則下列關系正確的是()

A.B.C.D.

7.已知，，且，則()

A.B.C.D.

8.遼寧省博物館收藏的商晚期饕餮紋大圓鼎如圖一出土于遼寧省喀左縣小波汰溝此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分別飾單層獸面紋，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕它的主體部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體忽略鼎壁厚度，如圖二所示已知球的半徑為，圓柱的高近似于半球的半徑，則此鼎的容積約為()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.已知復數(shù)，則下列敘述正確的是()

A.的虛部為B.在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限

C.D.

10.若直線平面，直線，則與的位置關系可以是()

A.與相交B.C.D.與異面

11.已知，則()

A.B.C.D.

12.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是()

A.是函數(shù)的一條對稱軸

B.

C.在上有個實數(shù)解

D.若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.函數(shù)的最小正周期______．

14.一圓錐的底面半徑為，高為，則圓錐的表面積是______．

15.在中，若一，則這個三角形是______三角形．

16.設函數(shù)，則______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

在中，已知，，，求，，的值．

18.本小題分

如圖所示，已知正方體的棱長為，求點到平面的距離．

19.本小題分

已知是第二象限的角，若，求，的值；

已知，求的值．

20.本小題分

如圖，在中，已知，是邊上的一點，，，．

求的面積；

求邊的長．

21.本小題分

如圖，在正方體中，．

Ⅰ求證：平面；

Ⅱ求證：平面；

Ⅲ求直線和平面所成的角．

22.本小題分

已知，，向量與向量的夾角為，設向量，向量．

求的值；

設，求的表達式；

設，求在上的值域．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因為，，所以

故選：．

利用交集的運算定義可求．

本題考查交集的運算，屬于基礎題．

2.【答案】

【解析】解：因為，，

所以，解得．

故選：．

根據(jù)已知條件，結合向量共線的性質(zhì)，即可求解．

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎題．

3.【答案】

【解析】解：，

，

又，知，即．

故選：．

根據(jù)已知條件，結合向量垂直的性質(zhì)，即可求解．

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎題．

4.【答案】

【解析】解：，

，

即，

．

故選：．

利用誘導公式得到，代入兩角和的正切公式即可求解．

本題考查了誘導公式和兩角和的正切公式，屬于基礎題．

5.【答案】

【解析】解：長方體的體對角線的交點到各個頂點的距離相等，

即球心即為體對角線交點，半徑為體對角線的一半，即球的半徑，

故，則球的體積

故選：．

長方體的體對角線的交點到各個頂點的距離相等，利用體對角線公式求得半徑，結合球的體積公式，即得解．

本題考查了幾何體的外接球表面積的計算問題，屬于基礎題．

6.【答案】

【解析】解：，，

，即．

故選：．

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出，然后根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出，然后即可得出，，的大小關系．

本題考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了計算能力，屬于基礎題．

7.【答案】

【解析】解：因為，

結合已知向量垂直知：．

故選：．

根據(jù)向量數(shù)量積的運算律求解．

本題考查平面向量的線性運算，考查運算求解能力，屬于基礎題．

8.【答案】

【解析】解：上半部分圓柱的體積為，

下半部分半球的體積為，

此鼎的容積約為．

故選：．

分別計算圓柱的體積與半球的體積，可求此鼎的容積．

本題考查空間幾何體的體積的計算，屬基礎題．

9.【答案】

【解析】解：，

則的虛部為，故A錯誤，

在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限，故B正確，

，則，故C正確，

，故D錯誤．

故選：．

根據(jù)已知條件，先求出，再結合虛部的定義，復數(shù)的幾何意義，復數(shù)模公式，共軛復數(shù)的定義，即可求解．

本題主要考查虛部的定義，復數(shù)的幾何意義，復數(shù)模公式，共軛復數(shù)的定義，屬于基礎題．

10.【答案】

【解析】解：直線平面，

直線與平面無公共點，

又直線，

直線與直線無公共點，

由線與線的位置關系可知，直線與直線平行或者異面，也可能異面垂直．

故選：．

根據(jù)線與線、線與面的位置關系判斷．

本題主要考查線面平行的性質(zhì)，屬于基礎題．

11.【答案】

【解析】解：，

當時，，，

故，故A正確；B錯誤；

當時，，，

故，故C正確，D錯誤．

故選：．

根據(jù)已知條件，結合，并分類討論，即可求解．

本題主要考查函數(shù)值的求解，屬于基礎題．

12.【答案】

【解析】解：由圖可知，最小正周期，

所以，

對于，因為，所以，

所以，即，

又，所以，此時，B錯誤；

對于，令，則，，

當時，，A正確；

對于，因為，，

所以在上有個實數(shù)解，

又的最小正周期，

所以在上有個實數(shù)解，

又，，

所以在上有個實數(shù)解，

故在上有個實數(shù)解，C正確；

對于，，所以，

當時，，

又，即，所以

所以，

令，則，所以，

而在此區(qū)間不單調(diào)，所以函數(shù)在上不單調(diào)，D錯誤．

故選：．

由圖象可知周期，從而求得，可判斷；由求得，令求解可判斷；利用余弦函數(shù)的性質(zhì)結合周期可判斷；由復合函數(shù)的單調(diào)性可判斷．

本題綜合考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的應用，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：函數(shù)的最小正周期是，

故答案為：．

由條件利用利用的周期等于，可得結論．

本題主要考查三角函數(shù)的周期性及其求法，利用了？的周期等于，屬于基礎題．

14.【答案】

【解析】解：圓錐的底面半徑為，高為，則母線長

圓錐的表面積

故答案為：．

先得出母線的長，再根據(jù)圓錐表面積公式計算．

本題考查了圓錐表面積的計算．是道基礎題．

15.【答案】直角

【解析】解：一，，即，

．

是直角三角形．

故答案為：直角．

移項后，利用兩角和的正弦公式即可得出，于是．

本題考查了兩角和的正弦公式，屬于基礎題．

16.【答案】

【解析】解：函數(shù)，

所以，，，，

，；

故函數(shù)最小正周期為，

所以．

故答案為：．

首先求出函數(shù)的最小正周期，進一步求出結果．

本題考查的知識要點：三角函數(shù)的值，函數(shù)的周期，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于基礎題和易錯題．

17.【答案】解：因為在中，已知，，，

則，

由正弦定理，，

則，

．

【解析】利用三角形內(nèi)角和為可解出，利用正弦定理可解，．

本題考查利用正弦定理解三角形，屬于中檔題．

18.【答案】解：設點到平面的距離為，

則，

，

，

，

點到平面的距離為．

【解析】根據(jù)棱錐體積的公式，利用三棱錐的等積性進行求解即可．

本題考查了點到平面的距離計算，屬于基礎題．

19.【答案】解：，是第二象限的角，故，

因為，

所以，；

因為，所以．

【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)關系結合是第二象限的角，求出正弦值和正切值；

化弦為切，代入求值．

本題主要考查了同角基本關系的應用，屬于基礎題．

20.【答案】解：在中，由余弦定理得

那么：

則

在中，，

由正弦定理得：

．

【解析】本題考查了正余弦定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．

在中，根據(jù)余弦定理求解，可得，即可求解的面積；

在中，，由正弦定理得的長度：

21.【答案】解：證明：，平面，平面，

平面．

證明：在正方體中，可得平面，

又平面，，

由四邊形是正方形，可得，

又，，平面，

平面；

解：取與的交點為，連接，

由知平面，

平面，

為直線和平面所成的角，

設正方體棱長為，則，，

，

，

直線和平面所成的角為．

【解析】本題考查線面平行線面垂直的證明，考查線面角的求法，屬中檔題．

由即可得出平面；

證明，，可證平面；

取與的交點為，連接，證明平面可得為直線和平面所成的