三角函數(shù)概念

三角函數(shù)一、任意角1.任意角是由角的終邊按照一定方向旋轉(zhuǎn)而定義的，由于旋轉(zhuǎn)有逆時(shí)針和順時(shí)針兩種方向，因此旋轉(zhuǎn)所得到的角也有正負(fù)之分.如果角的終邊沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)，則稱該角為零角。注意：一般情況下，角的始邊與軸的正半軸重合，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。2.正確理解直角坐標(biāo)系中的角象限角：是指始邊與軸的正半軸重合，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，而終邊落在某個(gè)象限內(nèi)的角。注意：終邊落在坐標(biāo)軸上的角叫軸線角，它不屬于任何象限角。3.終邊相同的角：具有同一終邊的角的集合。與角終邊相同的角可用集合表示為｛∣｝或｛∣｝。二、弧度制1.等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫1弧度的角。2.如果半徑為的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為，那么，角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是。3.弧度制和角度制的相互轉(zhuǎn)化：，。三、任意角的三角函數(shù)1．三角函數(shù)的定義：設(shè)是一個(gè)任意角，點(diǎn)是角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，那么：叫做的正弦，記作，即；叫做的余弦，記作，即；叫做的正切，記作，即。正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。推廣：設(shè)點(diǎn)是角終邊上的任意一點(diǎn)，它到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，于是；；。另外還有，分別表示角的正割、余割、余切。根據(jù)這些三角函數(shù)的計(jì)算式容易看到，。2．三角函數(shù)值的符號(hào)與角所在的象限有關(guān)，它可根據(jù)三角函數(shù)的定義和各象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)推出。四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；（當(dāng)，時(shí)）。五、誘導(dǎo)公式1.誘導(dǎo)公式：，，，，，的三角函數(shù)值可簡(jiǎn)記為：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中“奇、偶”是指中的奇偶性；“符號(hào)”是指把任意角看作銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)。2.使用誘導(dǎo)公式的一般步驟：這一過(guò)程充分體現(xiàn)了把未知問(wèn)題化歸為已知問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想。六、兩角和與差的三角函數(shù)七、旋轉(zhuǎn)變換公式若點(diǎn)與原點(diǎn)的距離保持不變，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度到點(diǎn)，則八、輔助角公式。九.倍角公式在公式，，中，當(dāng)時(shí)，得到相應(yīng)的一組公式：；；因?yàn)?，所以公式可變形為或?)公式，，，統(tǒng)稱為二倍角的三角函數(shù)公式，簡(jiǎn)稱為二倍角公式．（1）二倍角公式的作用在于用單角的三角函數(shù)來(lái)表達(dá)二倍角的三角函數(shù)，它適用于二倍角與單角的三角函數(shù)之間的互化問(wèn)題．（2）二倍角公式不僅限于是的二倍的形式，其他如：是的兩倍，是的兩倍，是的兩倍，是的兩倍等，所有這些都可應(yīng)用二倍角公式．因此，要理解“二倍角”的含義，即當(dāng)時(shí)，就是的二倍角．凡是兩角之間符合二倍關(guān)系的可都應(yīng)用二倍角公式．切記：“倍角”的意義是相對(duì)的。（3）二倍角公式是從兩角和的三角函數(shù)公式中，取兩角相等時(shí)推而得，記憶時(shí)可聯(lián)想相應(yīng)角的公式．（4）公式，，，成立的條件：公式成立的條件是．其余公式成立的條件皆為（5）熟悉“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角—降次，降角—升次）（6）特別注意公式的三角表達(dá)形式，且要善于變形：（這兩個(gè)形式今后將經(jīng)常用到）2.半角公式證：1）在中，以代2，代替即得：∴2）在中，以代替2，代替即得：∴3）以上結(jié)果相除得：4）分析：公式中正負(fù)號(hào)的選取取決于所在的象限；注意正切的半角公式中的取值范圍；及積化和差公式的推導(dǎo)。十．三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式1、公式的推導(dǎo) 得 即 （1） （2） （3） （4） 公式（1）（2）（3）（4）叫做積化和差公式。 其特點(diǎn)為：同名函數(shù)之積化為兩角和與差余弦的和（差）的一半，異名函數(shù)之積化為兩角和與差正弦的和（差）的一半，等式左邊為單角α、β，等式右邊為它們的和差角。 在積化和差的公式中，如果“從右往左”看，實(shí)質(zhì)上就是和差化積。為了用起來(lái)方便，在積化和差的公式中，如果令，則。 把這些值代入積化和差的公式（1）中，就有 （5） 同理可得， （6） （7） （8） 公式（5）（6）（7）（8）叫做和差化積公式。 其特點(diǎn)為：同名函數(shù)的和（或差）才可化積；余弦函數(shù)的和或差化為同名函數(shù)之積；正弦函數(shù)的和（或差）化為異名函數(shù)之積；等式左邊為單角θ與，等式右邊為與的形式。 牢記兩組公式的區(qū)別與聯(lián)系，才能正確使用。2、明確公式是由兩角和與差的三角函數(shù)公式推導(dǎo)而得，進(jìn)一步明確三角函數(shù)中雖然公式較多