微分中值定理教案

§2.6微分中值定理【課程名稱】《高等數(shù)學(xué)》【授課題目】微分中值定理【授課時(shí)間】20231118【授課對(duì)象】2023級(jí)電子信息專業(yè)本節(jié)課所將要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是微分中值定理中的核心定理——拉格朗日〔Lagrange〕中值定理，羅爾〔Rolle〕定理可以看成是拉格朗日中值定理的特別情形，而柯西〔Cauchy〕中值定理則是拉格朗日中值定理推廣。導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，因而稱為中值定理。它是幾個(gè)定理的統(tǒng)稱。微分中值定理也是微分學(xué)的理論根底，微分學(xué)的很多重要的應(yīng)用都是建立公式、函數(shù)的增減性與極值等都要用到微分中值定理?！窘虒W(xué)目標(biāo)】使學(xué)生把握拉格朗日中值定理，嫻熟運(yùn)用拉格朗日中值定理證明恒等式、不等式以及方程根的存在性等；納與總結(jié)，形成系統(tǒng)的學(xué)問(wèn)層次與構(gòu)造；的樂(lè)趣，進(jìn)展應(yīng)用意識(shí)和解決問(wèn)題的力量?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】微分中值定理中的拉格朗日中值定理及其應(yīng)用?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】微分中值定理中拉格朗日中值定理的證明?！窘虒W(xué)方法及手段】以啟發(fā)式講授為主，承受多媒體關(guān)心演示。§2.6.2一、內(nèi)容回憶在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間(ab在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間(ab內(nèi)可導(dǎo)；

〔幻燈片1〕板書(shū)標(biāo)題〔3〕f(a)f(b)。則至少存在一點(diǎn) (a,b)，使得f()0。幾何意義：在定理的條件下，區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得曲線在點(diǎn)((,f(處具有水平切線。〔2〕首先回憶前面所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，然后通過(guò)提問(wèn)引入課的內(nèi)容:微二、拉格朗日中值定理分中值定理的核2〔Lagrange〕f(x)滿足條件：心內(nèi)容---拉格〔1〕在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)；朗日〔Lagrange〕〔2〕在開(kāi)區(qū)間(ab內(nèi)可導(dǎo)；中值定理。則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得f()f(b)f(a)ba ?；?qū)懗蒮(bf(a)f()(ba)。上述公式稱為拉格朗日中值公式，且對(duì)于ba也成立。幾何意義yf(x)上除端點(diǎn)外處處具有xAB上至少存在一點(diǎn)((,f())AB?！不脽羝?〕【本節(jié)重點(diǎn)】板書(shū)定理內(nèi)容解釋定理的條件及結(jié)論，指出定理?xiàng)l件的一般性?！?Lagrange生平簡(jiǎn)〕〔5〕

由拉格朗日定理的幾何意義可以看出，當(dāng)函數(shù)滿足f(a)f(b)時(shí)，此時(shí)弦AB的斜率等于零。即f()0是羅爾定理的結(jié)論。所以羅爾定理可以看成是拉格朗日中值定理的特別情形。即Lagrange中值定 f(a)f(b)Rolle證明分析：假設(shè)記借助于多媒體，圖文并茂地解釋定理幾何意義。

f(b)f(a)ba k，要證〔1〕式，即 證f()kf()k0[f(x)k] 0[f(x)kx] 0x x也就是是否存在 (a,b)，使函數(shù)(x)f(x)kx在x 處的導(dǎo)數(shù)為零？即()0。證明：作關(guān)心函數(shù)(x)f(x)kxx[ab]。簡(jiǎn)潔驗(yàn)證(x)在閉區(qū)間[ab(ab)內(nèi)可導(dǎo)，且(a)f(a)kaf(a)

f(b)f(a)ba

【本節(jié)難點(diǎn)】板書(shū)分析證明的思路bf(a)af(b)ba

(b)。從而(x)滿足羅爾定理的條件，即至少存在一點(diǎn)(ab)，使()0。即

引導(dǎo)學(xué)生承受逆向思維的方式f()f(b)f(a)ba〔幻燈片6〕引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀看圖形的區(qū)分引導(dǎo)學(xué)生思考拉格朗日中值定理與羅爾定理的關(guān)系

證畢。

，從結(jié)論入手分析得出需證明的結(jié)論的條件。〔幻燈片7〕此定理的證明關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)心函數(shù)滿足羅爾定理?xiàng)l件，然后利用羅爾定理的結(jié)論

例1 證明arcsinxarccosx ,x[2證明。

。證： 設(shè)f(x)arcsinxarccosx，則在(1,1)上此處提出問(wèn)題讓學(xué)生思考是否還有別的方法構(gòu)造關(guān)心函數(shù)滿足條件，然后給出提示。

f(x)

1 1 01x1x21x2f(x)arcsinxarccosxC由拉格朗日中值定理還可以得出下面的推論：推論fx在開(kāi)區(qū)間(ab內(nèi)可導(dǎo),且f(x)0，則在(abfx為常數(shù)。即

〔x0，得C 。又2f(x)0xab) f(x)Cx(ab，其中C為常數(shù)。

f(1)

2，故xx1 2

ab)x1

x，在xx2 1

上所證等式在定義2f(x2

)f(x1

f()(x2

x，其中2

域[1,1] (x,x1 2

(abf(x)0,xab，所以立。f(0f(x1

)f(x2

。由xx1

ab的任

練習(xí)1fx為常數(shù)。

arctanxarccotx

2三、定理的應(yīng)用證 ： 設(shè)f(x)arctanxarccotx，則在(上，〔幻燈片8-9〕此處引導(dǎo)學(xué)生思考證明的思路與