第三章-泛函分析初步課件

第三章泛函分析初步§3.1線性空間§3.2線性子空間§3.3距離空間§3.4Banach空間§3.5Hilbert空間§3.6完備規(guī)范正交集上廣義傅里葉展開1第三章泛函分析初步§3.1線性空間1§3.1線性空間線性空間：設(shè)W≠?（W為非空集合）(1)W中元對“+”構(gòu)成交換群，即對

X,Y,Z

W,有ⅰ.ⅱ.ⅲ.ⅳ.ⅴ.2§3.1線性空間線性空間：設(shè)W≠?（W為非空集合）2§3.1線性空間(2)對

X,Y

W，

α,β

C（復(fù)數(shù)域）有：ⅵ.ⅶ.ⅷ.ⅸ.稱W為線性空間；若

α,β

C，則W為復(fù)線性空間；若α,β

R，則W為實(shí)線性空間。3§3.1線性空間(2)對X,YW，α,βC（復(fù)§3.1線性空間

4§3.1線性空間4§3.1線性空間線性空間W上的算子L為線性算子零狀態(tài)線性系統(tǒng)

系統(tǒng)算子為線性算子5§3.1線性空間線性空間W上的算子L為線性算子5§3.2線性子空間線性子空間：設(shè)

?

≠V

W，V是W的線性子空間直和：設(shè)6§3.2線性子空間線性子空間：設(shè)?≠VW，V是§3.3距離空間（度量空間——MetricSpace）距離空間：設(shè)W≠?

，稱W為距離空間，指在W中定義了映射：（包括0），

X,Y

W滿足以下三條公理：

稱為W上的距離，為度量空間。7§3.3距離空間（度量空間——MetricSpace）距§3.3距離空間例：例：8§3.3距離空間例：8§3.3距離空間例：9§3.3距離空間例：9§3.3距離空間－收斂收斂：定理：在中，每個收斂點(diǎn)列有唯一的極限點(diǎn)。10§3.3距離空間－收斂收斂：10§3.3距離空間－完備度量空間柯西序列——CauchySequence例：11§3.3距離空間－完備度量空間柯西序列——CauchyS§3.3距離空間－完備度量空間中任意收斂序列是柯西序列中的柯西序列未必收斂到中例：12§3.3距離空間－完備度量空間中任意收斂§3.3距離空間－完備度量空間完備度量空間——CompleteMetricSpace

稱為完備度量空間，指其中所有柯西序列都收斂。極限運(yùn)算在完備時可行如何完備化？W不要求線性空間13§3.3距離空間－完備度量空間完備度量空間——Comple§3.4巴拿赫（Banach）空間14§3.4巴拿赫（Banach）空間14§3.4.1賦范線性空間賦范線性空間：設(shè)W≠?是線性空間，若對

X

W，

‖X‖

滿足： 稱為X的范數(shù)（Norm），定義了范數(shù)的線性空間稱為賦范線性空間，記為。15§3.4.1賦范線性空間賦范線性空間：設(shè)W≠?是線性空間，§3.4.1賦范線性空間（廣義）長度的推廣：例1：

16§3.4.1賦范線性空間（廣義）長度的推廣：16§3.4.1賦范線性空間（廣義）長度的推廣：例2：17§3.4.1賦范線性空間（廣義）長度的推廣：17§3.4.1賦范線性空間Minkowski不等式：18§3.4.1賦范線性空間Minkowski不等式：18§3.4.1賦范線性空間

19§3.4.1賦范線性空間19§3.4.1賦范線性空間例20§3.4.1賦范線性空間例20§3.4.1賦范線性空間強(qiáng)收斂：弱收斂：依泛函收斂。注：強(qiáng)收斂

弱收斂。21§3.4.1賦范線性空間強(qiáng)收斂：21§3.4.1賦范線性空間度量空間與賦范線性空間的關(guān)系：

例22§3.4.1賦范線性空間度量空間與賦范線性空間的關(guān)系：22§3.4.2.Banach空間Banach空間：完備的稱為Banach空間。是Banach空間。在中，取完備。

23§3.4.2.Banach空間Banach空間：完備的§3.4.2.Banach空間定理：若H?lder不等式：證明思路：24§3.4.2.Banach空間定理：若24§3.5Hilbert空間25§3.5Hilbert空間25§3.5.1內(nèi)積空間內(nèi)積：設(shè)W≠?為實(shí)或復(fù)線性空間，若對

X,Y,Z∈W,λ∈C，均有一個實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)與之對應(yīng)，記為〈X,Y〉，滿足：則稱〈X,Y〉為X與Y的內(nèi)積，定義了內(nèi)積的空間為內(nèi)積空間。26§3.5.1內(nèi)積空間內(nèi)積：設(shè)W≠?為實(shí)或復(fù)線性空間，若對§3.5.1內(nèi)積空間注：

例子：

27§3.5.1內(nèi)積空間注：27§3.5.1內(nèi)積空間例子：

28§3.5.1內(nèi)積空間例子：28§3.5.2Hilbert空間定義歐氏范數(shù)，則內(nèi)積（線性）空間成為賦范線性空間。Hilbert空間：依歐氏范數(shù)完備的內(nèi)積空間稱為Hilbert空間。有限維內(nèi)積空間必完備：完備。完備，定義內(nèi)積。H空間是能量有限信號的集合。29§3.5.2Hilbert空間定義歐氏范數(shù)§3.5.2Hilbert空間Cauchy-Schwarz不等式：W為內(nèi)積空間，

X,Y∈W，有注：1.在H?lder不等式中，取，就成為Cauchy-Schwarz不等式。2.在空間中，有Cauchy不等式：3.在空間中，有Schwarz不等式：30§3.5.2Hilbert空間Cauchy-Schwarz§3.5.3線性泛函算子—Operator：X,Y為線性空間，算子：

其中，為定義域，為值域。31§3.5.3線性泛函算子—Operator：X,Y為線性§3.5.3線性泛函泛函—Functional：值域是實(shí)／復(fù)數(shù)域的算子為泛函。注：定積分，距離，范數(shù)，內(nèi)積，函數(shù)（第三種定義），（普通）函數(shù)均為泛函。線性算子：X,Y為線性空間，，若對，有：則T為線性算子。32§3.5.3線性泛函泛函—Functional：值域是實(shí)／§3.5.3線性泛函線性泛函：線性算子T的值域?yàn)閷?shí)／復(fù)數(shù)集。距離、范數(shù)是泛函，但非線性泛函。連續(xù)線性算子T線性算子：有界

連續(xù)內(nèi)積為連續(xù)線性泛函積分算子33§3.5.3線性泛函線性泛函：線性算子T的值域?yàn)閷?shí)／復(fù)數(shù)集§3.6完備規(guī)范正交集上廣義傅里葉展開34§3.6完備規(guī)范正交集上廣義傅里葉展開34§3.6.1正交—Orthogonal正交：在內(nèi)積空間W中，若，滿足：，則稱正交，記為：。其中k為常數(shù)，為Kronecker符號－正交（子）集：中任意兩個元正交。35§3.6.1正交—Orthogonal正交：在內(nèi)積空間§3.6.1正交集正交：若正交補(bǔ)：規(guī)范正交完備集V：1.（完備性）2.（規(guī)范正交）36§3.6.1正交集正交：若36§3.6.1正交定理：Hilbert空間存在規(guī)范正交完備集。定理：W是Hilbert空間，，V是W的正交子集。37§3.6.1正交定理：Hilbert空間存在規(guī)范正交完備集§3.6.2正交投影—OrthogonalProjection正交投影：W是Hilbert空間，在V上的正交投影或投影，記為：。注：的距離最小，即正交投影使均方誤差最小化。38§3.6.2正交投影—OrthogonalProjecti§3.6.3廣義傅里葉展開廣義傅里葉展開：設(shè)是H空間W的規(guī)范正交完備集，則對為廣義傅里葉系數(shù)。注：是Hilbert空間W的規(guī)范且完備的一組基。是X在上的投影。39§3.6.3廣義傅里葉展開廣義傅里葉展開：設(shè)§3.6.3廣義傅里葉展開Parseval等式：設(shè)，則物理解釋：信號的總能量＝各個分量的能量的和。幾何解釋：