基于非降階牛頓算子的三維立體層析矩陣

基于非降階牛頓算子的三維立體層析矩陣

1立體層析反演方法三維層析是一種具有獨特特征的涂層反演方法。該方法將本地相位軸的射線參數(shù)（或p參數(shù)）的水平分量、射點的坐標和檢測點的坐標納入反演的數(shù)據(jù)空間，并重新排列數(shù)據(jù)分量和模型分量。這不僅使數(shù)據(jù)空間的準備比傳統(tǒng)的反射層析更簡單，而且將三維層析視為一種能夠同時反演速度結(jié)構(gòu)、反射點的位置和反演層的局部形式的方法（交替，2013；倪瑤等，2013；倪瑤等，2014；任立娟等，2014；李振偉等，2014；李立偉等（2016）。國內(nèi)外科學家在三維層析反演理論和實踐方面做了大量工作（prietal等人，2013；倪瑤等人，2013；倪瑤等人，2014；任立娟等，2014；李振偉等，2014；李立偉等（2016）。王宇祥等（2016）利用結(jié)構(gòu)張量算法搜索了p參數(shù)的水平分量，并實現(xiàn)了高密度三維層析反演。將有限頻率和nip波色理論與有限頻率理論相結(jié)合，形成了三維三維層析模型的理論基礎(chǔ)。三維三維算法的反演是允許國際發(fā)表評論（chalrdetal.2000；chalrdandlambar，2005），但與之前的算法相比，算法相關(guān)的理論推導(dǎo)沒有系統(tǒng)的安排。不同于之前，在輻射中心坐標系下，基于低級別漢語算子的算法的不同，三維數(shù)值分析（或frecet偏移導(dǎo)數(shù)）的算法。詳細介紹了基于三維直角坐標系統(tǒng)下的預(yù)測算法。然后，建立了三維三維層析成像矩陣（或frecht偏離導(dǎo)數(shù)）。然后，結(jié)合合理的規(guī)則，確保重復(fù)收斂的穩(wěn)定性。最后，通過兩個理論數(shù)據(jù)驗證上述理論推導(dǎo)的準確性。2維立體層析矩陣的建立首先對三維立體層析所涉及到的數(shù)據(jù)空間和模型空間各個分量給予詳細介紹.圖1顯示了三維立體層析數(shù)據(jù)空間各分量與模型空間各分量.對于三維空間的一個射線對而言,地表能觀測到的數(shù)據(jù)為d=(S對于數(shù)據(jù)空間和模型空間中的所有信息,將其進一步寫為(1a)式表達了數(shù)據(jù)空間表示拾取到的n個數(shù)據(jù)點;(1b)式表達了模型空間中對應(yīng)這n個數(shù)據(jù)點反射點坐標以及從這n個反射點出射到地表的射線初始信息.Billette和Lambaré(1998)、倪瑤等(2013)基于射線中心坐標系,推導(dǎo)了二維立體層析反演所需的模型空間各個分量擾動與數(shù)據(jù)空間各個分量擾動之間的線性關(guān)系,成功的建立了二維立體層析矩陣.三維立體層析矩陣的基本構(gòu)建思路與二維并無區(qū)別,都是將從炮點S→反射點X→檢波點R的反射過程分解為從X→S以及X→R這樣兩個透射過程.其中數(shù)據(jù)空間的殘差Δd與模型空間殘差Δm之間的關(guān)系由三維射線擾動理論建立:(2)式代表了一個矩陣方程,其系數(shù)矩陣F即為三維立體層析矩陣或FRECHET偏導(dǎo)數(shù)矩陣.其完整形式表達如下:對于三維立體層析所需的Fréchet偏導(dǎo)數(shù)(5)式中σ的含義為針對各類數(shù)據(jù)的尺度加權(quán)因子,用于平衡不同類型的數(shù)據(jù)對于立體層析反演的誤差泛函的貢獻比例,避免由于物理量綱不同造成數(shù)據(jù)類型量級之間差別過大的問題,參數(shù)的大小需要通過做具體的測試得到.例如,對于本文中使用的測試數(shù)據(jù),P參數(shù)關(guān)于模型空間的偏導(dǎo)數(shù)需要除以一個比較小的因子,基本上是103維立體層析方法立體層析反演的理論基礎(chǔ)是射線擾動理論(FarraandMadariaga,1987).射線擾動理論的重要性在于,它在傍軸射線追蹤和漢密爾頓傳播算子的基礎(chǔ)上,成功建立了速度擾動與描述射線傳播的相空間各參數(shù)擾動量之間的一階線性關(guān)系,這是建立立體層析矩陣的關(guān)鍵所在.Billette和Lambaré(1998)在射線中心坐標系下推導(dǎo)了二維立體層析所需的模型空間各個分量擾動與數(shù)據(jù)空間各個分量擾動之間的線性關(guān)系,并成功實現(xiàn)了二維立體層析反演.國際上已有的三維立體層析工作(Chalardetal.,2000,2005)依然沿用了Billette和Lambaré(1998)的研究思路,在三維射線中心坐標系下使用降價漢米爾頓算子推導(dǎo)出公式(5)所示矩陣中的各個偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系.但是,三維射線擾動理論在射線中心坐標系下實現(xiàn)并非最佳,這是因為在三維射線中心坐標系下構(gòu)造傍軸射線追蹤所需的傳播矩陣時,涉及到對垂直于中心射線的各個方向求關(guān)于速度的二階導(dǎo)數(shù)計算.這個計算非常耗時,但是直角坐標系下的傍軸射線追蹤則不存在上述問題.此外,與前人使用降階漢密爾頓傳播算子有所不同,本文采用了非降階漢密爾頓傳播算子實現(xiàn)三維射線擾動理論.采用非降階漢密爾頓傳播算子的理由是出于算法適應(yīng)性方面的考量,使得算法可以自然的考慮回轉(zhuǎn)波射線.4維直角坐標系下射線場擾動的線性關(guān)系三維直角坐標系下非降階形式的各向同性漢密爾頓傳播算子形式為則直角坐標系下的各向同性運動學射線追蹤方程為方程(8)為三維直角坐標系下非降階形式的漢密爾頓運動學射線追蹤方程組,由6個一階微分方程組成.(X其中,Δζ=(Δx系數(shù)矩陣的表達式為方程(9)即為三維直角坐標系下非降階形式的運動學傍軸射線追蹤系統(tǒng).表達了射線場的初始擾動量與射線軌跡上任意一點的射線場擾動之間的線性關(guān)系.(9)式雖然建立了射線初始點的相空間擾動對射線末端的相空間擾動之間的線性關(guān)系,但是對于立體層析反演依然不夠,必須還要建立速度擾動對射線軌跡上任一點的射線場擾動的一階線性關(guān)系才可以建立完整的三維立體層析矩陣.這個一階影響必須要通過射線擾動理論來建立.5維直角坐標系下的射線追蹤根據(jù)(FarraandMadariaga,1987),速度擾動對于射線傳播漢密爾頓傳播算子的線性影響表達為其中擾動漢密爾頓傳播算子,即從(6)式出發(fā)可得對(10)式所代表的漢密爾頓傳播算子做關(guān)于Δζ=(Δx根據(jù)Gilbert和Backus(1966),(13)式的傳播矩陣形式的解為其中射線傳播矩陣是傍軸射線追蹤的一組基本解,在使用三維非降階漢密爾頓情形下為36個元素,即分別代入(1,0,0,0,0,0)、(0,1,0,0,0,0)、(0,0,1,0,0,0)、(0,0,0,1,0,0)、(0,0,0,0,1,0)、(0,0,0,0,0,1)這6組初始值,利用龍格庫塔計算出的6組解構(gòu)成的6×6矩陣.在射線路徑的每一個點上都可以算出這樣一個矩陣.以及其逆矩陣的具體形式為其中,根據(jù)式(16)即可以構(gòu)建三維直角坐標系下數(shù)據(jù)空間分量d=(S其中,數(shù)據(jù)空間其他分量對模型空間的偏導(dǎo)數(shù)均可以類似式(17)的形式寫出.在求解時,為了計算方便,我們實際上是將射線出射點處的射線參數(shù)63d直角坐標系統(tǒng)下的行程時間t走時T其中,θ,Φ代表炮點一側(cè)的θ7理論數(shù)據(jù)敏感度測試在得到三維立體層析所需的數(shù)據(jù)空間各分量與模型空間各分量之間的一階線性擾動關(guān)系之后,以下基于三維理論模型中的一個射線對信息,來測試不同數(shù)據(jù)分量與不同模型分量之間的敏感度.這些敏感度分析除了測試在前兩節(jié)中推導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系是否正確,也測試了在將來的反演中,各個模型分量是否能夠通過求解立體層析矩陣獲得足夠的更新量.如果某個數(shù)據(jù)分量對于某個模型分量非常不敏感,那么二者之間的偏導(dǎo)數(shù)就沒有必要求取了.圖2a展示了一個鹽丘速度模型,橫向、縱向網(wǎng)格數(shù)為51×51×26,網(wǎng)格間距分別為橫向dx=dy=40m,縱向dz=40m.圖2b是圖2a的光滑版本.可以看到圖2b中的一個射線對,從x8基于規(guī)則化項的速度場建模三維立體層析矩陣相比二維情形顯然更為稀疏,需要更強的規(guī)則化項保證方程能夠收斂到一個合理的解.作者認為射線類層析反演方法通常用于偏移速度建模的階段.在這個階段,光滑性約束依然不失為一個重要的考量.在計算FRECHET偏導(dǎo)數(shù)的過程中,傍軸射線追蹤本身就要求速度至少二階可導(dǎo).綜合考慮各種光滑規(guī)則化項,本文采取了一種聯(lián)合約束的策略:對速度場的二階梯度求極小值作為一個約束項,對速度場的縱向光滑和橫向光滑則作為另外兩個約束項綜合施加在誤差泛函上.這種聯(lián)合規(guī)則化項在實踐中證明效果良好.考慮規(guī)則化項的、二范數(shù)意義下的三維立體層析反演可以歸結(jié)為如下泛函的求極值問題:其中ε本文利用最新的最小二乘QR(QR分解即將一個矩陣分解為一個正交陣Q與一個上三角陣R的乘積)方法(LSQR)(PaigeandSaunders,1982)求解(22)式所示的矩陣方程組,該方法是一種迭代方法,可以在最小二乘意義下高效地求解大規(guī)模稀疏矩陣.9三維數(shù)據(jù)的反演測試9.1模型的迭代更新實驗一在如圖4a所示的鹽丘光滑速度模型中進行.為了驗證立體層析反演對強非均質(zhì)性模型的適應(yīng)能力,利用射線追蹤為立體層析反演提供理想的數(shù)據(jù)輸入.初始給定為梯度速度模型.輸入數(shù)據(jù)分量與初始模型分量,便可開始立體層析的模型迭代更新過程.圖4(c,d)為第1次迭代更新后的速度場,可以看出,表層的速度得到了有效修改.隨著迭代次數(shù)的增加,速度模型逐漸收斂,迭代8次后的速度模型如圖4(e,f)所示,地下鹽丘的形狀得到了較好的恢復(fù).迭代8次后誤差泛函下降緩慢,說明泛函的下降已接近極值處.迭代8次后的射線出射位置如圖4(g,h)所示,可以看見原本散亂分布的射線出射位置已經(jīng)收斂到非常接近真實的射線出射點位置.從圖4i所示的目標泛函下降曲線中可看出迭代到第7,8輪時其殘差已接近于0,證明了反演的正確性.9.2反射點位置的實際應(yīng)用實驗二沿用實驗一的五層鹽丘速度模型,橫向、縱向網(wǎng)格數(shù)與網(wǎng)格間距均保持不變.同樣使用射線正演數(shù)據(jù)作為數(shù)據(jù)空間,不同的是,把射線正演的出射點設(shè)在五層鹽丘的層位上,繞著鹽丘各層的法向方向出射(圖5a),這樣更符合實際情況的反射點分布.注意對每個正演得到的數(shù)據(jù)點信息(S初始模型空間得到后,便可以從初始反射點位置出發(fā),基于初始方位角與張角信息分別向炮點和檢波點做運動學射線追蹤,得到觀測面上的三維立體層析數(shù)據(jù)分量,同時利用公式(16)計算Fréchet導(dǎo)數(shù)并建立層析方程組.對該方程組求解可以得到模型更新量.本次實驗中采用的規(guī)則化因子分別為εd=0.002,εC實驗二再次證明了本文推導(dǎo)的三維立體層析算法的穩(wěn)定性.圖5b是11次迭代后的速度模型結(jié)果,與圖5c所示原始模型比對有很好的相似度.圖5(d,e)分別顯示了初始化模型空間射線出射點位置和迭代11次之后的射線出射點位置,可以看出射線出射點位置有很好的收斂.圖5(f—i)顯示了迭代11次后、不同深度的射線出射點位置,按照從淺到深的順序與真實模型的射線出射點位置的貼合對比.可以看出從淺到深反射點位置都基本歸位,再次說明了三維立體層析反演對于強非均質(zhì)性模型也具有很好的適應(yīng)性.從圖5j所示的目標泛函下降曲線中同樣也可看出迭代到最后時殘差已非常小,也可證明反演的正確性.9.3反演中的規(guī)則化因素的作用10基于數(shù)據(jù)的三維立體層析不同于前人在射線中心坐標系下基于降階漢密爾頓算子建立三維立體層析矩陣,本文在三維直角坐標系下基于非降階漢密爾頓算子,通過射線擾動理論導(dǎo)出了三維立體層析反演所需的數(shù)據(jù)空間對模型空間