2021年浙江省舟山市岱山中學高三數(shù)學文下學期期末試卷含解析

2021年浙江省舟山市岱山中學高三數(shù)學文下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知（a2012﹣1）3+2014a2012=0，（a3﹣1）3+2014a3=4028，則下列結論正確的是（）A．S2014=2014，a2012＜a3 B．S2014=2014，a2012＞a3C．S2014=2013，a2012＜a3 D．S2014=2013，a2012＞a3參考答案：A考點：等差數(shù)列的前n項和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：構造函數(shù)f（x）=（x﹣1）3+2014x，由函數(shù)的單調性可判a2012＜a3，已知兩式相加分解因式，由g（t）為增函數(shù)，且g（2）=4028，可得t=2，進而由等差數(shù)列的性質和求和公式可得．解答：解：構造函數(shù)f（x）=（x﹣1）3+2014x，則f′（x）=3（x﹣1）2+2014＞0，∴函數(shù)f（x）=（x﹣1）3+2014x單調遞增，∵f（a3）=4028＞f（a2012）=0，∴a2012＜a3，排除B和D，已知兩式相加可得（a2012﹣1）3+2014a2012+（a3﹣1）3+2014a3=4028分解因式可得（a3+a2012﹣2）[（a2012﹣1）2﹣（a2012﹣1）（a3﹣1）+（a3﹣1）2]+2014（a3+a2012）=4028，令a3+a2012=t，則有g（t）=[（a2012﹣1）2﹣（a2012﹣1）（a3﹣1）+（a3﹣1）2]（t﹣2）+2014t，∵[（a2012﹣1）2﹣（a2012﹣1）（a3﹣1）+（a3﹣1）2]＞0，∴g（t）為增函數(shù)，又∵g（2）=4028，∴必有t=2，即a3+a2012=2，∴S2014===2014故選：A點評：本題考查等差數(shù)列的求和公式，涉及函數(shù)的單調性的應用和構造函數(shù)的技巧，屬中檔題．2.函數(shù)的圖象上存在不同的三點到原點的距離構成等比數(shù)列，則以下不可能成為該等比數(shù)列的公比的數(shù)是A．

B．

C．

D．

參考答案：D略3.拋物線的焦點坐標是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.復數(shù)，則其共軛復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：C【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復數(shù)z，求出，再求出在復平面內對應的點的坐標，則答案可求．【解答】解：∵=，∴，則其共軛復數(shù)在復平面內對應的點的坐標為：（，﹣），位于第三象限．故選：C．【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎題．5.已知函數(shù)y＝f（x），滿足y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函數(shù)，且f（1）＝，設F（x）＝f（x）＋f（－x），則F（3）＝A．

B．

C．π

D．參考答案：B由y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函數(shù)知：f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）=f（x﹣2），故f（x）=f（x+4），則F（3）=f（3）+f（﹣3）=2f（3）=2f（﹣1）=2f（1）=，故選：B．

6.定義在上的函數(shù)在上為減函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D7.從2、3、5、7這四個質數(shù)中任取兩個相乘，可以得到不相等的積的個數(shù)是A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.某校數(shù)學復習考有位同學參加﹐評分后校方將此位同學依總分由高到低排序如下﹕前人為組﹐次人為組﹐再次人為組﹐最后人為組﹒校方進一步逐題分析同學答題情形﹐將各組在填充第一題（考排列組合）和填充第二題（考空間概念）的答對率列表如下﹕

組組組組第一題答對率100%80%70%20%第二題答對率100%80%30%0%則下列（）選項是正確的A．第一題答錯的同學﹐不可能屬于組B．從第二題答錯的同學中隨機抽出一人﹐此人屬于組的機率大于C．全體同學第一題的答對率比全體同學第二題的答對率低15%D．從組同學中隨機抽出一人﹐此人第一﹑二題都答對的機率不可能大于﹒參考答案：D9.下列敘述中正確的是（

）若，則的充分條件是若，則的充要條件是命題“對任意，有”的否定是“存在，有”是一條直線，是兩個不同的平面，若，則參考答案：D當時，A是正確的；當時，B是錯誤的；命題“對任意，有”的否定是“存在，有”，所以C是錯誤的。所以選擇D。10.已知集合，則A．{0,4}

B．(0,4]

C．[0,4]

D．(0,4)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若實數(shù)、，滿足，則的取值范圍是_______________.參考答案：略12.已知在的展開式中，各項的二項式系數(shù)之和是64，則的展開式中，x4項的系數(shù)是

.參考答案：答案:12013.若函數(shù)，則____________.參考答案：略14.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,則角B的值為參考答案：或15.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積的為

.

參考答案：；16.正三棱錐P-ABC底面邊長為1，高PH=2，在這個三棱錐的內切球上面堆放一個與它外切，且與棱錐各側面都相切的球，按照這種方法，依次堆放小球，則這些球的體積之和為

參考答案：解析：如圖，過側棱ＰＡ及高ＰＨ的截面為ＰＡＤ，則點Ｄ為ＢＣ的中點，設內切球。。。。和半徑為。。。，ＤＨ＝，ＰＤ＝，有cos==,由此解得＝，在直角梯形中，，解得，同理17.在平面直角坐標系中，，將向量按逆時針旋轉后，得向量，則點的坐標是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分16分）本題共有3小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分．已知各項為正數(shù)的數(shù)列中，，對任意的，成等比數(shù)列，公比為；成等差數(shù)列，公差為，且．（1）求的值；（2）設，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（3）求數(shù)列的前項和．參考答案：（1）由題意得，，或.

………………2分故數(shù)列的前四項為或.

………………4分（2）∵成公比為的等比數(shù)列，

成公比為的等比數(shù)列∴，又∵成等差數(shù)列，∴.得，，

………………6分，∴，，即.∴數(shù)列數(shù)列為公差等差數(shù)列，且或.

……8分∴或.

………………10分（3）當時，由（2）得.，，，.

………………13分當時，同理可得，.

………………16分

解法二：（2）對這個數(shù)列，猜想，下面用數(shù)學歸納法證明：?。┊敃r，，結論成立.ⅱ）假設時，結論成立，即.則時，由歸納假設，.由成等差數(shù)列可知，于是，∴時結論也成立.所以由數(shù)學歸納法原理知.

………………7分此時.同理對這個數(shù)列，同樣用數(shù)學歸納法可證.此時.∴或.

………………10分

（3）對這個數(shù)列，猜想奇數(shù)項通項公式為.顯然結論對成立.設結論對成立，考慮的情形.由（2），且成等比數(shù)列，故，即結論對也成立.從而由數(shù)學歸納法原理知.于是（易見從第三項起每項均為正數(shù)）以及，此時.

………………13分對于這個數(shù)列，同樣用數(shù)學歸納法可證，此時.此時.

…………16分19.（本小題滿分14分）

在三棱錐中，和是邊長為的等邊三角形，，分別是

的中點．（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求證：平面⊥平面；（Ⅲ）求三棱錐的體積．參考答案：（Ⅰ）分別為的中點，∥又平面，平面∥平面.………………5分（Ⅱ）連結，，為中點，,

⊥，.同理,⊥，.又,,，⊥.⊥,⊥,,⊥平面.又平面，平面⊥平面.……10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知垂直平面為三棱錐的高，且.…………14分

20.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=3Sn﹣2（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{nan}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】計算題；整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）通過an=3Sn﹣2與an﹣1=3Sn﹣1﹣2（n≥2）作差、整理可知an=﹣an﹣1（n≥2），進而可知數(shù)列{an}是首項為1、公比為﹣的等比數(shù)列，計算即得結論；（2）通過（1）可知nan=（﹣1）n﹣1?，進而利用錯位相減法計算即得結論．【解答】解：（1）∵an=3Sn﹣2，∴an﹣1=3Sn﹣1﹣2（n≥2），兩式相減得：an﹣an﹣1=3an，整理得：an=﹣an﹣1（n≥2），又∵a1=3S1﹣2，即a1=1，∴數(shù)列{an}是首項為1、公比為﹣的等比數(shù)列，∴其通項公式an=（﹣1）n﹣1?；（2）由（1）可知nan=（﹣1）n﹣1?，∴Tn=1?1+（﹣1）?2?+…+（﹣1）n﹣2?（n﹣1）?+（﹣1）n﹣1?，∴﹣Tn=1?（﹣1）?+2?+…+（﹣1）n﹣1?（n﹣1）?+（﹣1）n?n?，錯位相減得：Tn=1+[﹣+﹣+…+（﹣1）n﹣1?]﹣（﹣1）n?n?=1+﹣（﹣1）n?n?=+（﹣1）n﹣1??，∴Tn=[+（﹣1）n﹣1??]=+（﹣1）n﹣1??．【點評】本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，利用錯位相減法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．21.如圖，在直三棱柱中，,,為的中點.

(1)求證：平面；(2)求證：∥平面.

參考答案：解：（1）因為在直三棱柱中，所以平面,因為平面，所以，又，,所以平面,因為BACDA1B1C1

G，所以

又因為，所以是正方形，所以，又，所以平面，

(2)在正方形中，設，則為中點,為的中點，結,在中，∥，

因為平面，平面，所以∥平面，略22.如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上除A，B外的一個動點，DC垂直于半圓O所在的平面，DC∥EB，且DC=EB=1，AB=4．（1）證明：平面ADE⊥平面ACD；（2）當三棱錐C﹣ADE體積最大時，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【專題】空間位置關系與距離；空間角．【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面ACD；（2）根據(jù)三棱錐的體積公式，確定體積最大時的條件，建立空間坐標系，利用向量法即可得到結論．【解答】（1）證明：因為AB是直徑，所以BC⊥AC，…1分，因為CD⊥平面ABC，所以CD⊥BC

…2分，因為CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD

…3分因為CD∥BE，CD=BE，所以BCDE是平行四邊形，BC∥DE，所以DE⊥平面ACD，…4分，因為DE?平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD

…5分（2）因為DC=EB=1，AB=4由（Ⅰ）知===，，當且僅當AC=BC=2時等號成立