河北省廊坊市北旺中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

河北省廊坊市北旺中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合,則中所含元素的個(gè)數(shù)為（▲）A． B． C． D．參考答案：C略2.在△ABC中，若lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．不能確定 D．等腰三角形參考答案：D【考點(diǎn)】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算法則可求得=2，利用正弦定理求得cosB，同時(shí)根據(jù)余弦定理求得cosB的表達(dá)式進(jìn)而建立等式，整理求得b=c，判斷出三角形為等腰三角形．【解答】解：∵lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，∴=2，由正弦定理可知=∴=∴cosB=，∴cosB==，整理得c=b，∴△ABC的形狀是等腰三角形．故選D3.在《九章算術(shù)》中，底面是直角三角形的直棱柱成為“塹堵”.某個(gè)“塹堵”的高為2，且該“塹堵”的外接球表面積為12π，則該“塹堵”的表面積的最大值為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】設(shè)底面直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c,求出，再利用基本不等式求出a+b的范圍，利用二次函數(shù)的圖象得解.【詳解】設(shè)底面直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c,由題得.由題得該“塹堵”的表面積為.因?yàn)?所以令，所以當(dāng)t=4時(shí)，S最大為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的外接球問題和基本不等式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4.在△ABC中，B=，BC邊上的高等于BC，則cosA=（）A． B． C．﹣ D．﹣參考答案：C【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【分析】作出圖形，令∠DAC=θ，依題意，可求得cosθ===，sinθ=，利用兩角和的余弦即可求得答案．【解答】解：設(shè)△ABC中角A、B、C、對應(yīng)的邊分別為a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC邊上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=coscosθ﹣sinsinθ=×﹣×=﹣．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查解三角形中，作出圖形，令∠DAC=θ，利用兩角和的余弦求cosA是關(guān)鍵，也是亮點(diǎn)，屬于中檔題．5.設(shè)兩條直線的方程分別為已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且0≤c≤，則這兩條直線之間距離的最大值和最小值分別為()A.，

B.

C.

D.參考答案：D6.函數(shù)f（x）=的定義域是（） A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．[0，1]參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法． 【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)的定義域． 【解答】解：要使函數(shù)有意義，則x﹣1≥0， 即x≥1， 故函數(shù)的定義域?yàn)閇1，+∞）， 故選：A 【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的定義域的求解，要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件．7.已知是奇函數(shù)且對任意正實(shí)數(shù)則一定正確的是（

）A、

B、C、

D、參考答案：D略8.函數(shù)的最小正周期為A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.將兩個(gè)數(shù)a=10，b=18交換，使a=18，b=10，下面語句正確一組是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B10.直角坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，若D為線段的中點(diǎn)，則向量與向量的夾角的余弦值是

．

參考答案：22略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列中,,(是常數(shù),),且成公比不為的等比數(shù)列,則的通項(xiàng)公式是______.參考答案：略12.將邊長為1正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四個(gè)結(jié)論：（1）AC⊥BD；（2）△ACD是等腰直角三角形；（3）四面體A﹣BCD的表面積為1+；（4）直線AC與平面BCD所成角為60°．則正確結(jié)論的序號為．參考答案：（1）（3）【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法．【分析】作出此直二面角的圖形，由圖形中所給的位置關(guān)系，對題目中的命題進(jìn)行判斷，即可得出正確的結(jié)論【解答】解：根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示：二面角A﹣BD﹣C為90°，E是BD的中點(diǎn)，可以得出∠AEC=90°，為直二面角的平面角；對于（1），由于BD⊥面AEC，得出AC⊥BD，故命題（1）正確；對于（2），在等腰直角三角形AEC中，可以求出AC=AE=AD=CD，所以△ACD是等邊三角形，故命題（2）錯(cuò)誤；對于（3），四面體ABCD的表面積為S=2S△ACD+2S△ABD=2××12×sin60°+2××1×1=1+，故命題（3）正確；對于（4），AC與平面BCD所成的線面角是∠ACE=45°，故（4）錯(cuò)誤．故答案為：（1）（3）．【點(diǎn)評】本題考查了與二面角有關(guān)的線線之間、線面之間角的求法問題，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．13.下列命題中①若loga3＞logb3，則a＞b；②函數(shù)f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域?yàn)閇2，+∞）；③設(shè)g（x）是定義在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)．若g（a）=g（b）＞0，則函數(shù)g（x）無零點(diǎn)；④函數(shù)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)．其中正確的命題有．參考答案：②④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，可判斷③；分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可判斷④．【解答】解：若loga3＞logb3＞0，則a＜b，故①錯(cuò)誤；函數(shù)f（x）=x2﹣2x+3的圖象開口朝上，且以直線x=1為對稱軸，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值2，無最大值，故函數(shù)f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域?yàn)閇2，+∞）；故②正確；g（x）是定義在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)．若g（a）=g（b）＞0，則函數(shù)g（x）可能存在零點(diǎn)；故③錯(cuò)誤；數(shù)滿足h（﹣x）=﹣h（x），故h（x）為奇函數(shù)，又由=﹣ex＜0恒成立，故h（x）為減函數(shù)故④正確；故答案為：②④．【點(diǎn)評】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的值域，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性等知識點(diǎn)，難度中檔．14.化簡得__________.參考答案：略15.已知二次函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的最小值為

．參考答案：略16.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則________.參考答案：設(shè)公比為q(q≠0)，由題意知q≠－1，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，得＝＝1＋q3＝3，即q3＝2.于是＝＝＝.17.給出下面四個(gè)命題：①；；

②；③；

④。其中正確的是____________．

參考答案：①②略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）有一個(gè)公益廣告說：“若不注意節(jié)約用水，那么若干年后，最有一滴水只能是我們的眼淚．”我國是水資源匱乏的國家．為鼓勵(lì)節(jié)約用水，某市打算出臺一項(xiàng)水費(fèi)政策措施，規(guī)定：每一季度每人用水量不超過5噸時(shí)，每噸水費(fèi)收基本價(jià)1.3元；若超過5噸而不超過6噸時(shí)，超過部分的水費(fèi)加收200%；若超過6噸而不超過7噸時(shí)，超過部分的水費(fèi)加收400%．設(shè)某人本季度實(shí)際用水量為x（0≤x≤7）噸，應(yīng)交水費(fèi)為f（x），（1）求f（4）、f（5.5）、f（6.5）的值；（2）試求出函數(shù)f（x）的解析式．參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．專題： 計(jì)算題；應(yīng)用題．分析： （1）根據(jù)每一季度每人用水量不超過5噸時(shí)，每噸水費(fèi)收基本價(jià)1.3元，求f（4）；根據(jù)若超過5噸而不超過6噸時(shí)，超過部分的水費(fèi)加收200%求f（5.5）；（2）根據(jù)每一季度每人用水量不超過5噸時(shí)，每噸水費(fèi)收基本價(jià)1.3元；若超過5噸而不超過6噸時(shí)，超過部分的水費(fèi)加收200%；若超過6噸而不超過7噸時(shí)，超過部分的水費(fèi)加收400%．分為三段，建立分段函數(shù)模型．解答： （1）根據(jù)題意f（4）=4×1.3=5.2；f（5.5）=5×1.3+0.5×3.9=8.45；f（6.5）=5×1.3+1×3.9+0.5×6.5=13.65．（2）根據(jù)題意：①當(dāng)x∈[0，5]時(shí)f（x）=1.3x②若超過5噸而不超過6噸時(shí)，超過部分的水費(fèi)加收200%；即：當(dāng)x∈（5，6]時(shí)f（x）=1.3×5+（x﹣5）×3.9=3.9x﹣13③當(dāng)x∈（6，7]時(shí)f（x）=6.5x﹣28.6；∴f（x）=．點(diǎn)評： 本題主要考查做應(yīng)用題時(shí)：要仔細(xì)閱讀，抓住關(guān)鍵詞，關(guān)鍵句來建立數(shù)學(xué)模型．19.（8分）已知非零向量、滿足，且.（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，求向量與的夾角的值.參考答案：（1）因?yàn)?/p>

，即，所以，故.

（2）因?yàn)?，又，故.略20.已知函數(shù)（其中），求：（1）函數(shù)的最小正周期;（2）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;參考答案：（1）（2）單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為試題分析：（Ⅰ）化簡函數(shù)解析式為，利用周期公式求出f（x）的最小正周期．（Ⅱ）令，解得x的范圍，即可得到f（x）的單調(diào)增區(qū)間，同理可得減區(qū)間試題解析：（1）.所以的最小正周期為（2）由得所以的單調(diào)增區(qū)間為所以的單調(diào)減區(qū)間為考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的單調(diào)性21.將函數(shù)y=msinx（其中m≠0）的圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮到原來的倍，縱坐標(biāo)保持不變，得到了函數(shù)y=f（x）的圖象．（1）寫出函數(shù)f（x）的表達(dá)式；（2）當(dāng)m=時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小正周期及對稱中心；（3）若x∈[﹣，]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為2，試求函數(shù)f（x）的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；正弦函數(shù)的圖象．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）由調(diào)件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得函數(shù)f（x）的表達(dá)式．（2）由條件利用正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．（3）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的最小值．【解答】解：（1）把函數(shù)y=msinx（其中m≠0）的圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，可得y=msin（x+）的圖象；再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮到原來的倍，縱坐標(biāo)保持不變，得到了函數(shù)y=f（x）=msin（2x+）的圖象，故f（x）=msin（2x+）．（2）當(dāng)m=時(shí)，函數(shù)f（x）=sin（2x+），它的最小正周期為=π，令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，可得它的圖象的對稱中心為（﹣，0），k∈Z．（3）若x∈[﹣，]時(shí)，2x+∈[﹣，]，函數(shù)f（x）=msin（2x+）的最大值為m=2，求函數(shù)f（x）的最小值m?（﹣）=﹣1．【點(diǎn)評】本題主要考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的周期性以及定義域和值域，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．22.已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，c=asinC+ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面積為，求△ABC的周長．參考答案：【考點(diǎn)】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化簡，根據(jù)sinC不為0，得到關(guān)系式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的三角函數(shù)值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)即可；（2）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將sinA，已知面積代入求出bc的值，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，bc，cosA的值代入求出b+c的值，即可出三角形ABC周長．【解答】解：（1）由c=asinC