彈性力學課件 第二章

彈性力學課件第二章第1頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月3.幾何方程剛體位移形變和位移之間的關系：位移確定，形變完全確定；形變確定，位移不完全確定。

第2頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月4.物理方程平面應力問題平面應變問題第3頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月§2-6邊界條件邊界條件：建立邊界上的物理量與內(nèi)部物理量間的關系，是力學計算模型建立的重要環(huán)節(jié)。

邊界上位移與約束，或應力與面力之間的關系。第4頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月邊界分類：（1）位移邊界三類邊界1.位移邊界條件

位移分量已知的邊界——位移邊界。——平面問題的位移邊界條件說明：當u=v=0時,稱為固定位移邊界。（2）應力邊界（3）混合邊界用表示邊界上的位移分量，u,v表示彈性體位移分量的已知函數(shù)，則位移邊界條件可表達為：(a)第5頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

位移邊界條件的說明： ⑴它是函數(shù)方程，要求在上每一點s，

彈性體位移與對應的約束位移相等。 ⑵若為簡單的固定邊，u=v=0,則有 （在

上）。 ⑶它是在邊界上物體保持連續(xù)性的條 件，或位移保持連續(xù)性的條件。(b)第6頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月設在上給定面力分量2.應力邊界條件在§2-3中，通過三角形微分體的平衡條件，導出坐標面應力與斜面應力的關系式，將此三角形移到邊界上，并使斜面與邊界面重合，則得應力邊界條件：（在上）(c)(d)此式表示了彈性體邊界上內(nèi)力于外力之間的平衡關系。第7頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月應力邊界條件的說明：⑴它是邊界上微分體的靜力平衡條件；⑵它是函數(shù)方程，要求在邊界上每一點s上均滿足，這是精確的條件；⑶式（c）在A中每一點均成立，而式（d）只能在邊界

s上成立；⑷式（d）中，σx,σy,τxy─按應力符號規(guī)定，

fx、fy─按面力符號規(guī)定；⑸位移、應力邊界條件均為每個邊界兩個，分別表示

x、y方向的條件；⑹所有邊界均應滿足，無面力的邊界（自由邊）

fx=fy

=0,也必須滿足。第8頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月(e)當邊界面為坐標面時，若x=a為正x

面，l=1,m=0,則式(d)成為第9頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月若x=-b為負x

面，l=-1,m=0,則式(d)成為(f)第10頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

應力邊界條件的兩種表達式：

⑴在邊界點取出微分體，考慮其平衡條 件，得出應力邊界條件； ⑵在同一邊界面上，應力分量應等于對 應的面力分量（數(shù)值相等，方向一致）。即在同一邊界面上,應力數(shù)值應等于面力數(shù)值(給定),應力方向應同面力方向。第11頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月 例如：在斜面上，

在

±坐標面上，由于應力與面力的 符號規(guī)定不同，故表達式有區(qū)別。平行于邊界面的正應力，它的邊界值與面力分量并不直接相關。第12頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例1列出邊界條件：

y第13頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例2列出邊界條件：第15頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月3.混合邊界條件⑴部分邊界上為位移邊界條件，另一部分邊界上為應力邊界條件；⑵同一邊界上，一個為位移邊界條件，另一個為應力邊界條件。第17頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例3列出x=a

的邊界條件：x=a,(u)x=a=0,(τxy)x=a=0.第18頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題：試寫出如下幾個問題的邊界條件。第19頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月1、若在斜邊界面上，受有常量的法向分布壓力q作用，試列出應力邊界條件，(思考題圖中（a）)。2、證明在無面力作用的0A邊上，σy不等于零（思考題圖中(b)）。3、證明在凸角A點附近，當無面力作用時，其應力為零（思考題圖中(c)）。4、試導出在無面力作用時，AB邊界上的σx

,σy

,τxy

之間的關系。（思考題圖中（d））。5、試比較平面應力問題和平面應變問題的基本方程和邊界條件的異同，并進一步說明它們的解答的異同。第20頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月§2-7圣維南原理及其應用彈力問題是微分方程的邊值問題。應力、位移等未知函數(shù)必須滿足A內(nèi)的方程和S上的邊界條件。主要的困難在于難以滿足邊界條件。圣維南原理可用于簡化小邊界上的應力邊界條件。第21頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月1.靜力等效的概念兩個力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個力系為靜力等效力系。這種等效只是從平衡的觀點而言的，對剛體來而言完全正確，但對變形體而言一般是不等效的。2.圣維南原理如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對同一點的主矩也相同），那么，近處的應力分量將有顯著的改變，但遠處所受的影響可以不計。第22頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

圣維南原理的說明： 1、圣維南原理只能應用于一小部分邊界 （小邊界，次要邊界或局部邊界）； 2、靜力等效─指兩者主矢量相同，對同一點主矩也相同； 3、近處─指面力變換范圍的一、二倍的局部區(qū)域； 4、遠處─指“近處”之外。第23頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例1比較下列問題的應力解答：第24頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月 圣維南原理表明，在小邊界上進行面力的靜力等效變換后，只影響近處（局部區(qū)域）的應力，對絕大部分彈性體區(qū)域的應力沒有明顯影響。 圣維南原理推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應力，而遠處的應力可以不計。第25頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例2比較下列問題的應力解答：第26頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月3.圣維南原理的應用 (1)對復雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。(2)有些位移邊界不易滿足時，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項： (1)必須滿足靜力等效條件； (2)只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。第27頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

圣維南原理在小邊界上的應用：

如圖，考慮x=l

小邊界， ⑴精確的應力邊界條件第28頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)在同一邊界x=l上，上式是函數(shù)方程，要求在邊界上任一點，應力與面力數(shù)值相等，方向一致，往往難以滿足。第29頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月⑵圣維南原理的應用─積分的應力邊界條件在小邊界x=l上，用下列條件代替式(a)的條件：在同一邊界x=l

上，應力的主矢量(Fx

,Fy

)=數(shù)值相等方向一致(b) 面力的主矢量（給定) 應力的主矩(M)=

面力的主矩（給定）第30頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

具體列出三個積分的條件：右端面力的主矢量、主矩的數(shù)值及方向，均已給定；右端應力的主矢量、主矩的數(shù)值及方向應與右端面力相同，并按應力的方向規(guī)定確定正負號。(c)第31頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月即：應力的主矢量、主矩的數(shù)值

=面力的主矢量、主矩的數(shù)值；應力的主矢量、主矩的方向

=面力的主矢量、主矩的方向。式中，應力主矢量、主矩的正方向的正負號的確定：應力的主矢量的正方向，即應力的正方向，應力的主矩的正方向為，即（正應力）×（正的矩臂）的方向。第32頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

討論：1.如果只給出面力的主矢量、主矩如圖，則式(c)右邊直接代入面力的主矢量、主矩；2.在負x面，x=?l

，由于應力、面力的符號規(guī)定不同，應在式(c)中右端取負號；3.積分的應力邊界條件(b)或(c)雖是近似的，但只用于小邊界，不影響整體解答的精度。第33頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年