定積分的幾何應用課件

Chapter6(4)定積分的幾何應用Chapter6(4)定積分的幾何應用1教學要求：掌握用定積分表達和計算一些幾何量（平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、平行截面面積為已知的立體體積、平面曲線的弧長）.教學要求：掌握用定積分表達和計算一些幾何量（平面圖形的2定積分的幾何應用ppt課件3回顧曲邊梯形求面積的問題abxyo一、問題的提出與微元法回顧曲邊梯形求面積的問題abxyo一、問題的提出與微元法4面積表示為定積分的步驟如下:面積表示為定積分的步驟如下:5abxyo提示面積元素1.思考方法:(1)求總體量,先求部分量(以不變代變).(2)對部分量求和取極限.abxyo提示面積元素1.思考方法:(1)求總體量,先求部62.所求量U須滿足的條件(1)U是與一個變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量.(2)U對于區(qū)間[a,b]具有可加性,就是說,如果把區(qū)間[a,b]分成許多部分區(qū)間,則U相應地分成許多部分量,而U等于所有部分量之和.這樣,就可考慮用定積分來表達這個量U.2.所求量U須滿足的條件(1)U是與一個變量x的變化區(qū)間[73.微元法的一般步驟：根據(jù)問題的具體情況,選取一個變量(如x)為積分變量,并確定它的變化區(qū)間[a,b].(2)設(shè)想把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間,取其中任一小區(qū)間并記為[x,x+dx],求出相應于這小區(qū)間的部分量

U的近似值.如果

U能近似地表示為[a,b]上的一個連續(xù)函數(shù)在x處的值f(x)與dx的乘積,就把f(x)dx稱為量U的微元,且記為dU.這個方法通常叫做微元法．應用方向：平面圖形的面積;體積;平面曲線的弧長;功;水壓力;引力和平均值等.3.微元法的一般步驟：根據(jù)問題的具體情況,選取一個變量(如8曲邊梯形的面積圍成圖形的面積1.直角坐標情形二、平面圖形的面積曲邊梯形的面積圍成圖形的面積1.直角坐標情形二、平面圖形的9圍成圖形的面積為:圍成圖形的面積為:10Solution.兩曲線的交點選擇x為積分變量,面積元素Solution.兩曲線的交點選擇x為積分變量,面積元素11Solution.兩曲線的交點選x為積分變量,Solution.兩曲線的交點選x為積分變量,12Solution.曲線與x軸的交點的橫坐標有:問題:積分變量只能選x嗎?Solution.曲線與x軸的交點的橫坐標有:問題:積13Solution.兩曲線的交點選為積分變量Solution.兩曲線的交點選為積分變量14如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積2.參數(shù)方程情形此時要注意曲邊是有正方向的!從而確定出起點和終點.當你沿曲邊朝著這方向前進時曲邊梯形將在你的右邊.如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積2.參數(shù)方程情形15Solution.橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．Solution.橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一16面積元素曲邊扇形的面積3.極坐標情形面積元素曲邊扇形的面積3.極坐標情形17Solution.由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積Solution.由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積18Solution.利用對稱性知Solution.利用對稱性知19Solution.由極坐標計算公式得:Solution.由極坐標計算公式得:201.平行截面面積為已知的立體的體積如果一個立體，我們知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.立體體積三、立體體積1.平行截面面積為已知的立體的體積如果一個21Solution.取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積Solution.取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積22Solution.取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積Solution.取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積23注意:若立體垂直于y軸的截面面積為B(y),則注意:若立體垂直于y軸的截面面積為B(y),則24

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺2.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而25旋轉(zhuǎn)體的體積為xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為xyo26Solution.直線方程為Solution.直線方程為27Solution.Solution.28定積分的幾何應用ppt課件29定積分的幾何應用ppt課件30定積分的幾何應用ppt課件31定積分的幾何應用ppt課件32Solution.(1)繞x軸旋轉(zhuǎn)時,選x為積分變量,(2)繞y軸旋轉(zhuǎn)時,Solution.(1)繞x軸旋轉(zhuǎn)時,選x為積分33Solution.如圖所示,選x為積分變量,Solution.如圖所示,選x為積分變量,34Solution.Solution.35定積分的幾何應用ppt課件36補充利用這個公式，可知上例中補充利用這個公式，可知上例中37Solution.體積元素為Solution.體積元素為38四、平面曲線弧長的概念四、平面曲線弧長的概念39弧長元素弧長1.直角坐標情形弧長元素弧長1.直角坐標情形40Solution.所求弧長為Solution.所求弧長為41Solution.Solution.42曲線弧為弧長2.參數(shù)方程情形曲線弧為弧長2.參數(shù)方程情形43Solution.星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對稱性第一象限