§5.5 全同粒子系統(tǒng)

前面我們學(xué)習(xí)了量子力學(xué)的四個基本原理：原理3體系狀態(tài)的波函數(shù)可以用算符的本征函數(shù)來展開（測量假設(shè)或平均值假設(shè)）原理2力學(xué)量可以用厄米算符來描述（算符假設(shè)）原理1微觀體系的狀態(tài)可以用波函數(shù)完全描述原理4體系狀態(tài)的波函數(shù)要滿足Schr?dinger

方程。今天我們開始學(xué)習(xí)第五個基本原理----全同性原理521§5.5全同粒子系統(tǒng)和波函數(shù)的交換對稱性1、全同粒子經(jīng)典粒子：有軌跡，可分辨(熱統(tǒng)中有介紹)①概念：在量子力學(xué)中，把固有性質(zhì)如電荷、質(zhì)量、磁矩、自旋等內(nèi)稟屬性完全相同的粒子稱為全同粒子。故全同粒子在本質(zhì)上是不可分辨的。因而不能編號，交換任意兩粒子不影響體系522②性質(zhì)用量子力學(xué)的的第五個基本原理描述:全同性原理：全同粒子體系的狀態(tài)不因粒子的交換而改變?nèi)Ｗ泳哂械男再|(zhì)：任何可觀測量，特別是Hamiltonian量，對于任意兩個粒子的交換是不變的，即交換對稱性。523例1He原子中兩個電子組成的體系（只研究電子的運(yùn)動規(guī)律）電子的Hamiltonian表達(dá)式可以寫為兩電子動能兩電子與核庫侖能兩電子相互作用能顯然當(dāng)兩個電子交換時，Hamiltonian不變。設(shè)交換算符為P12，則有故e2e+r1-er2-524例2考慮N個全同粒子組成的多粒子體系，其量子態(tài)用波函數(shù)來描述。其中表示第i個粒子的全部坐標(biāo)（空間和自旋）。若Pij表示第i個粒子與第j個粒子的全部坐標(biāo)變換，即525根據(jù)全同性原理，有但從而有所以526可見，全同粒子系統(tǒng)波函數(shù)滿足下列關(guān)系之一：（交換對稱）（交換反對稱）結(jié)論：對全同粒子波函數(shù)的一個很強(qiáng)的限制，即全同粒子的波函數(shù)對兩個粒子的交換要么是對稱的，要么是反對稱的。這一點務(wù)必記住！527③全同粒子的本征態(tài)對于全同粒子，由前述可知比如對任意全同粒子系的波函數(shù)528？即在此情況下，我們推不出或滿足交換對稱或反對稱，則所有的都是對易的。試分析。529事實上，對全同粒子體系來說，所有的Pij所處的地位應(yīng)該是相同的。唯一可能的選擇是量子態(tài)是所有Pij的共同本征態(tài)。仔細(xì)分析表明，這種共同本征態(tài)是存在的----完全對稱波函數(shù)或完全反對稱波函數(shù)。既然所有Pij都是守恒量，所以其對稱性不隨時間變化,即全同粒子的統(tǒng)計性質(zhì)(Bose或Fermi統(tǒng)計)是不變的。

結(jié)論：描寫全同粒子系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，它們的對稱性不隨時間變化。5210④全同粒子的分類所有的基本粒子可分為兩類：玻色子Fermion和費(fèi)米子Boson1）玻色子：遵從Bose-Einstein統(tǒng)計的粒子。

波函數(shù)滿足交換對稱，如π介子（s=0）、光子（s=1

）等。5211引力子(Graviton)引力子(Graviton)，又稱重力子，在物理學(xué)中是一個傳遞引力的假想粒子。為了傳遞引力，引力子必須永遠(yuǎn)相吸、作用范圍無限遠(yuǎn)及以無限多的型態(tài)出現(xiàn)。在量子力學(xué)中，引力子被定義為一個自旋為2、質(zhì)量為零的玻色子。

提出引力子的存在純因為量子理論在各方面都非常成功，譬如電磁學(xué)可用光子的量化來解釋（量子電動力學(xué)），而宇宙其他方面的基本作用力（弱核力和強(qiáng)核力）亦可用量子理論得到完美的描述；人們自然希望量子理論亦能解釋重力，故假想有一種未發(fā)現(xiàn)的引力子存在，其性質(zhì)與光子類似，而最終可發(fā)展出量子引力理論?？墒沁@種理論的數(shù)學(xué)運(yùn)算十分復(fù)雜且無法自洽。52122）費(fèi)米子：波函數(shù)對粒子的交換是反對稱，遵從Fermi-Dirac統(tǒng)計的粒子。3）復(fù)合粒子：由基本粒子組成，視其總自旋而定。奇數(shù)個費(fèi)米子組成的粒子仍為費(fèi)米子；由偶數(shù)個費(fèi)米子或玻色子組成的粒子均為玻色子。如電子、質(zhì)子、中子等，s=1/25213如：質(zhì)量數(shù)（核子數(shù)）質(zhì)子數(shù)中子數(shù)核子數(shù)為偶數(shù)，玻色子核子數(shù)為奇數(shù)，費(fèi)米子一般粒子的標(biāo)記：5214任意子：Anyon近年來，在凝聚態(tài)物理研究中，還提出所謂任意子（Anyon）的概念。波函數(shù)對兩粒子坐標(biāo)交換不是獲得一個簡單的正或負(fù)號，而是獲得一個附加的相位因子：

當(dāng)θ=0或θ=π，分別回到玻色或費(fèi)米統(tǒng)計，但對一般0<θ<2π，便是一種新的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計了。5215⑤全同粒子波函數(shù)的構(gòu)造方法在忽略粒子間相互作用的情況下，完全對稱和反對稱波函數(shù)可通過單粒子態(tài)基矢乘積形式構(gòu)造出來；若有相互作用，則可按無相互作用基矢進(jìn)行展開。我們下面分別以雙全同粒子體系和N全同粒子體系為例來進(jìn)行說明。52162、兩個全同粒子組成的體系①簡介忽略相互作用，Hamiltonian可表為故則有5217則它們組成的雙粒子態(tài)對應(yīng)的能量都是-----能量交換簡并。按照全同粒子波函數(shù)的特點----滿足交換對稱。但任意兩粒子態(tài)的乘積不一定滿足這種交換對稱，比如則與不滿足交換對稱。如何構(gòu)造對稱波函數(shù)？針對不同體系！5218②波函數(shù)的構(gòu)造1）對玻色子，交換對稱，分兩種情況a.歸一化波函數(shù)可表成（量子態(tài)不同）其中symmetry5219b.（量子態(tài)相同）這是自然的結(jié)果。2）對費(fèi)米子，交換反對稱，歸一化波函數(shù)可表成歸一化波函數(shù)可表成以上兩種情況所構(gòu)造的波函數(shù)都是交換對稱的。5220同樣，由上式可知，則（不存在）泡利不相容原理asymmetry5221泡利不相容原理：在全同費(fèi)米子體系中，不可能有兩個或兩個以上的粒子處于同一個單粒子態(tài)中（包括坐標(biāo)、自旋量子數(shù)完全相同）統(tǒng)計排斥性③*全同性原理對散射體系的影響設(shè)有兩個全同的自由粒子都處在動量本征態(tài)，本征值為討論它們在空間距離的幾率分布5222（1）無交換對稱性兩粒子的波函數(shù)可表示為作變換以及上式中相對坐標(biāo)質(zhì)心坐標(biāo)相對動量質(zhì)心總動量（或不考慮交換對稱性）5223則此時波函數(shù)可表為質(zhì)心運(yùn)動（不考慮）相對運(yùn)動（研究目標(biāo)）5224即令其等于rdr5225（2）考慮交換反對稱波函數(shù)-----費(fèi)米子根據(jù)前述現(xiàn)在讓5226這樣由前面的知識可知5227rdr5228即這就是兩全同粒子波函數(shù)交換反對稱時在空間相對距離的幾率分布，見下圖。5229（3）考慮交換對稱波函數(shù)-------玻色子此時同理可得見下頁圖。5230可以看出，在空間波函數(shù)對稱情況下，兩個粒子靠近的幾率最大，而在交換反對稱的情況下兩個粒子靠近的幾率最小。無交換對稱時，15231這說明，玻色子統(tǒng)計吸引，費(fèi)米子統(tǒng)計排斥說明交換對稱性只在兩單粒子波函數(shù)交疊處起作用，即此時才明顯地體現(xiàn)出交換對稱性。注意：全同粒子相對距離的幾率分布與波函數(shù)的交換對稱性密切相關(guān)。這是可觀測效應(yīng)，尤其在電子-電子散射及介子-介子散射中，這種全同性效應(yīng)可觀測到。52323、N個全同費(fèi)米子體系波函數(shù)的特點：反對稱(1)先考慮三個全同費(fèi)米子體系，無相互作用，設(shè)三個粒子處于不同的單粒子態(tài)其中k1,k2,k3表示量子數(shù)集即波函數(shù)可以用單粒子態(tài)波函數(shù)來進(jìn)行展開即不僅僅表示動量，還可能同時表示其它量子數(shù)，如自旋量子數(shù)等。5233其中則反對稱波函數(shù)為稱為反對稱算子。5234(2)考慮N個全同費(fèi)米子體系設(shè)N個全同費(fèi)米子體系處于不同的單粒子態(tài)同樣k1,k2,…,kN表示量子數(shù)集，則5235其中稱為反對稱算子。對N個粒子，單粒子態(tài)有N個。排列數(shù)？N!個P表示允許的置換奇置換偶置換上述行列式稱為Slater行列式。為歸一化因子。5236比如原序123則231→123偶置換（2次）321→123奇置換（3次）很明顯，所有置換奇偶各半。此時-1奇置換1偶置換δp=5237Slater行列式由于全同粒子的不可區(qū)分性，由二個或二個以上全同費(fèi)米子組成的系統(tǒng)的任何可觀測量必須具有坐標(biāo)交換的不變性。由此要求全同費(fèi)米子系的波函數(shù)有坐標(biāo)交換的反對稱性，即把任意二個粒子的坐標(biāo)相互交換，波函數(shù)將改變它的符號。體現(xiàn)這種反對稱性的簡便方法是把有N個全同費(fèi)米子的系統(tǒng)的波函數(shù)寫成一個有N行和N列的行列式即斯萊特行列式。交換系統(tǒng)中任意兩個粒子的坐標(biāo)就相當(dāng)于將該行列式中兩個對應(yīng)列相互交換，因而行列式改變符號，精確地體現(xiàn)了全同費(fèi)米子系波函數(shù)的反對稱性。52384、N個全同玻色子體系波函數(shù)的特點：對稱波函數(shù)由于不受Pauli原理的限制，可以有任意數(shù)目的粒子處于同一狀態(tài)。n1個粒子n2個粒子5239P指那些只對處于不同單粒子態(tài)上的粒子進(jìn)行對換而構(gòu)成的置換。這種置換共有因此歸一化對稱波函數(shù)為比如也可以有5240特例：（1）N=2粒子體系，單粒子態(tài)有2個粒子的填充情況有兩種對稱波函數(shù)有兩個（見前面的討論）5241（2）N=3粒子體系:單粒子態(tài)有3個①則對稱波函數(shù)可以寫為這種對稱態(tài)有1個[111]5242②則對稱波函數(shù)可以寫為這種對稱態(tài)有6個，即[210]書寫方式同5243③則對稱波函數(shù)可以寫為這種對稱態(tài)有3個，即[300]書寫方式同5244全同粒子波函數(shù)的這種表達(dá)方式比較繁瑣，比較方便的方法是二次量子化和占有數(shù)表象全同粒子狀態(tài)遵從全同性原理。這是因為：全同粒子不可追蹤，即不能編號。但為了描述方便又必須編號，交換對稱性這種表達(dá)形式的目的就是使這些編號不起作用。5245二次量子化（正則量子化）普通的量子力學(xué)方法只能處理粒子數(shù)守恒的系統(tǒng)。但在相對論量子力學(xué)中，粒子可以產(chǎn)生和湮沒，普通量子力學(xué)的數(shù)學(xué)表述方法不再適用。二次量子化通過引入產(chǎn)生算符和湮沒算符處理粒子的產(chǎn)生和湮沒，是建立相對論量子力學(xué)和量子場論的必要數(shù)學(xué)手段。相比普通量子力學(xué)表述方式，二次量子化方法能夠自然而簡潔的處理全同粒子的對稱性和反對稱性，所以即使在粒子數(shù)守恒的非相對論多體問題中，也被廣泛應(yīng)用。5246

例:

一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子態(tài)構(gòu)成？解:狀態(tài)數(shù)=(1)三個玻色子處在同一個狀態(tài)。(2)兩個玻色子處在同一個狀態(tài)，另一個玻色子處于另一狀態(tài)。有兩種情況：設(shè)兩單粒子態(tài)為和。5247第一種情況有：三粒子同處于態(tài)：三粒子同處于態(tài)：

第二種情況有：兩粒子同處于態(tài)：兩粒子同處于態(tài)：5248例：一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用?？赡艿膯瘟Ｗ討B(tài)有三個，問體系可能的狀態(tài)有幾個？波函數(shù)怎樣由單粒子態(tài)構(gòu)成？狀態(tài)數(shù)=解:（1）三個玻色子分別處于三個單態(tài)上：（2）三個粒子處于同一個單態(tài)上5249