專題02不等式（教師版）

專題02不等式（核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布集合5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年全國甲，第16題,5分基本不等式求最值余弦定理2022年全國甲，第20題第2問,12分基本不等式拋物線2022年全國乙，第9題,5分基本不等式立體幾何2023年全國甲，第14題,5分線性規(guī)劃：“截距型”無2023年全國乙，第14題,5分線性規(guī)劃：“截距型”無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】在高考題中多作為載體考查其它知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合不等式的解法考查集合的關(guān)系與運(yùn)算、求函數(shù)的定義域與值域等；結(jié)合基本不等式解決最值和恒成立問題。2.考查線性規(guī)劃問題：“截距型”、“斜率型”、“距離型”的目標(biāo)函數(shù)最值；【備考策略】1.掌握不等式的性質(zhì)，能通過不等式的性質(zhì)進(jìn)行化簡求值；2.會(huì)解一元二次不等式、分式不等式、含絕對值的不等式、函數(shù)不等式等；3.能結(jié)合基本不等式解決最值和恒成立問題；4.能夠利用作差法、作商法比較大小；5.能夠解決線性規(guī)劃的三個(gè)常見問題：“截距型”、“斜率型”、“距離型”的目標(biāo)函數(shù)最值?！久}預(yù)測】1.考查線性規(guī)劃問題：“截距型”、“斜率型”、“距離型”的目標(biāo)函數(shù)最值；2.結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角函數(shù)、數(shù)列、圓錐曲線等知識(shí)進(jìn)行綜合運(yùn)用；3.能結(jié)合基本不等式解決最值和恒成立問題；知識(shí)講解一、不等式的性質(zhì)一、比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的基本事實(shí)aa二、等式與不等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)a=b?b=a性質(zhì)1:a>b?b<aa=b,b=c?a=c性質(zhì)2:a>b,b>c?a>ca=b?a±c=b±c性質(zhì)3:a>b?a+c>b+ca=b?ac=bc;a=b,c≠0?ac=性質(zhì)4:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bca=b,c=d?a+c=b+d性質(zhì)5:a>b,c>d?a+c>b+da=b,c=d?ac=bd性質(zhì)6:a>b>0,c>d>0?ac>bda=b>0?an=bn性質(zhì)7:a>b>0?an>bn(n∈N*,n≥2)a=b>0?na=性質(zhì)8:a>b>0?na>nb(n∈N*,n≥1.倒數(shù)的性質(zhì)(1)a>b,ab>0?1a<1(2)a<0<b?1a<1(3)a>b>0,0<c<d?ac>b(4)0<a<x<b或a<x<b<0?1b<1x<2.分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若a>b>0,m>0,則(1)ba<b+ma+m;ba(2)ab>a+mb+m;ab3.分式不等式的轉(zhuǎn)化(1)f(x)g(x)>0(<0)?f(x)·g(x)(2)f(x)g(x)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且以上兩式的核心意義是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式.4.比較大小的常用方法(1)作差法:①作差;②變形;③定號(hào);④得出結(jié)論.(2)作商法:①作商;②變形;③判斷商與1的大小關(guān)系;④得出結(jié)論.(3)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.二、基本不等式ab≤aa2+b2≥2ab(a,b∈R)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立).

1.基本不等式成立的條件:a>0,b>0.

2.等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.

3.其中a+b2叫作正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),ab叫作正數(shù)a,b的利用基本不等式求最大值、最小值1.如果x,y∈(0,+∞),且xy=P(定值),那么當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值2P.(簡記:積定和最小)

2.如果x,y∈(0,+∞),且x+y=S(定值),那么當(dāng)x=y時(shí),xy有最大值S24.(簡記:1.ba+ab≥2(a,b同號(hào)且均不為0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b2.ab≤a+b22≤a2+3.21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b24.連續(xù)使用基本不等式求最值時(shí)要求每次等號(hào)成立的條件一致.1.拼湊法求最值:拼湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.2.拼湊法求解最值應(yīng)注意的問題(1)拼湊的技巧,以整式為基礎(chǔ),注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整,做到等價(jià)變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo);(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)是否滿足利用基本不等式的條件.1.常數(shù)代換法的運(yùn)用技巧常數(shù)代換的實(shí)質(zhì)是x×1=x,所以關(guān)鍵是找到常數(shù),從而找到結(jié)果為1的式子,然后通過乘積的運(yùn)算,利用基本不等式解題.2.用常數(shù)代換法求最值時(shí)應(yīng)注意的兩個(gè)方面(1)注意目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,看是否需要整體乘以“1”的“替身”;(2)注意常數(shù)的獲得方式,要根據(jù)已知代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征靈活處理.三、線性規(guī)劃問題1、二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：法一：取點(diǎn)定域法：由于直線的同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入后所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)相同.所以，在實(shí)際判斷時(shí)，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(diǎn)（如原點(diǎn)），由的正負(fù)即可判斷出或表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.即：直線定邊界，分清虛實(shí)；選點(diǎn)定區(qū)域，常選原點(diǎn).法二：根據(jù)或，觀察的符號(hào)與不等式開口的符號(hào)，若同號(hào)，或表示直線上方的區(qū)域；若異號(hào)，則表示直線上方的區(qū)域.即：同號(hào)上方，異號(hào)下方.2、二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.3、利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)為常數(shù)）的最值：法一：角點(diǎn)法：如果目標(biāo)函數(shù)（即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點(diǎn)處取得，將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到一組對應(yīng)值，最大的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的最大值，最小的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的最小值法二：畫——移——定——求：第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線，平移直線（據(jù)可行域，將直線平行移動(dòng)）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解；第四步，將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值.第二步中最優(yōu)解的確定方法：利用的幾何意義：,為直線的縱截距.①若則使目標(biāo)函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，取得最大值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，取得最小值；②若則使目標(biāo)函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，取得最小值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，取得最大值.4、常見的目標(biāo)函數(shù)的類型：①“截距”型：②“斜率”型：或③“距離”型：或或在求該“三型”的目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)，可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.四、二次函數(shù)與一元二次不等式1、一元二次不等式一般地,我們把只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,稱為一元二次不等式,其一般形式為ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0).

2、一元二次不等式的解法步驟（1）.將不等式化為右邊為零,左邊為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0).（2）.求出相應(yīng)的一元二次方程的根.（3）.利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集.二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式的解集求法為“大于取兩邊,小于取中間”.3、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根x1,x2(x1<x2)有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根x1=x2=-b沒有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}?

4、一元二次不等式的應(yīng)用（1）.與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題不等式類型恒成立條件ax2+bx+c>0a>0,Δ<0ax2+bx+c≥0a>0,Δ≤0ax2+bx+c<0a<0,Δ<0ax2+bx+c≤0a<0,Δ≤0（2）.能成立問題的轉(zhuǎn)化:a>f(x)能成立?a>f(x)min;a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.5、根據(jù)方程根的正負(fù)情況求解參數(shù)（1）.開口向上分布情況兩個(gè)負(fù)根(x1<0,x2<0)兩個(gè)正根(x1>0,x2>0)一正根一負(fù)根(x1<0<x2)大致圖象得出的結(jié)論Δ>0,Δ>0,f(0)<0（2）.開口向下,可將方程的二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù),或者模仿上表自行推導(dǎo)求解.6、根據(jù)方程的根與實(shí)數(shù)k(k≠0)的大小關(guān)系求解參數(shù)（1）.開口向上分布情況兩根都小于k(x1<k,x2<k)兩根都大于k(x1>k,x2>k)一根小于k,一根大于k(x1<k<x2)大致圖象x=kx=kx=k得出的結(jié)論Δ>0,Δ>0,f(k)<0（2）.開口向下,可將方程的二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù),或者模仿上表自行推導(dǎo)求解.7、根據(jù)方程的根所在區(qū)間求解參數(shù)（1）.開口向上分布情況兩根都在(m,n)內(nèi)兩根僅有一根在(m,n)內(nèi)(有兩種情況,只畫了一種)一根在(m,n)內(nèi),另一根在(p,q)內(nèi),m<n<p<q大致圖象得出的結(jié)論Δ>0,f(m)f(n)<0f(m)>0,（2）.開口向下,可將方程的二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù),或者模仿上表自行推導(dǎo)求解.考點(diǎn)一、不等式的性質(zhì)1．對于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則．【答案】C【分析】ABD選項(xiàng)，由做差法可判斷大小；C選項(xiàng)，分三種情況討論即可判斷大小.【詳解】A選項(xiàng)，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，因不清楚的正負(fù)情況，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，故C正確；D選項(xiàng)，，故D錯(cuò)誤.2．（德州模擬）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】移項(xiàng)可得，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，再根據(jù)指對冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】由題可得，，設(shè)，，所以，即函數(shù)在上遞增，所以由可得：．對于A，由函數(shù)在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；對于B，易知函數(shù)在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，若，則，C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤．3．（北京名校模擬）已知，則的取值范圍為__________．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)，得到方程組，解出，再根據(jù)不等式基本性質(zhì)即可得到答案.【詳解】設(shè),則解得故，由,故，由,故，所以.1．設(shè)、、為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、D，利用特例說明B，利用作差法判斷C.【詳解】因?yàn)?、、為?shí)數(shù)，且，所以，，，，故A錯(cuò)誤，D正確；當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；2．下列結(jié)論中，所有正確的結(jié)論是（

）A．若，則B．命題的否定是：C．若且，則D．若，則實(shí)數(shù)【答案】A【分析】對A，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)即可；對B，根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題判斷即可；對C，利用作差法判斷即可；對D，舉反例判斷即可.【詳解】對A，，則，又，則，，故A正確；對B，命題的否定是：，故B錯(cuò)誤；對C，，因?yàn)榍?，故，即，故C錯(cuò)誤；對D，當(dāng)，時(shí)，不成立，故D錯(cuò)誤；3．若實(shí)數(shù)x、y滿足，，則的取值范圍為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意以整體，結(jié)合不等式的性質(zhì)分析運(yùn)算.【詳解】設(shè)，由題意可得，解得，所以，由，可得，所以，即，考點(diǎn)二、基本不等式1．已知，且，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對于A，直接利用基本不等式判斷；對于B，利用“1”的代換，再利用基本不等式判斷；對于C，由判斷；對于D，由得到，再利用函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，A不正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，B不正確；對于C，因，則有，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，由得，所以當(dāng)時(shí)，，C正確：對于D，由得，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，不正確.2．（天津名校模擬）已知，，且，則的最小值為（

）A． B．21 C．25 D．【答案】C【分析】變換得到，再利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】，，因?yàn)?，，故，，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為．3．（浙江名校模擬）已知在中，角A，B，C，所對的邊為a，b，c，若，且，則面積的最大值為__________．【答案】【分析】利用正弦定理邊角變換得到，再利用余弦定理即可求的C；代入所得數(shù)據(jù)得到，再利用基本不等式得到，從而利用三角形面積公式即可得解.【詳解】由正弦定理及得，由余弦定理得，又因?yàn)椋裕?，所以由得，因?yàn)?，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故的面積最大值為．1．已知，，且，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)公式即可判斷選項(xiàng)A，B，C錯(cuò)誤；根據(jù)不等式可判斷選項(xiàng)D正確.【詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以，故選項(xiàng)A，B，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)D正確.2．若，則的最小值是（

）A．B．1C．2D．【答案】C【分析】根據(jù)給定等式，利用均值不等式變形，再解一元二次不等式作答.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值2.3．已知，.(1)若不等式恒成立，求的最大值；(2)若，求的最小值.【答案】(1)12；(2)4.【分析】（1）對給定不等式分離參數(shù)，再利用1的妙用求出最小值作答.（2）變形給定等式，利用均值不等式建立并解一元二次不等式作答.【詳解】（1）因?yàn)椋?，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，依題意，不等式恒成立，于是所以m的最大值為12.（2）若，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，于是，而，解得，所以的最小值為4.考點(diǎn)三、線性規(guī)劃1．（2023年全國甲卷（理科）第14題）設(shè)x，y滿足約束條件，設(shè)，則z的最大值為____________．【命題意圖】本題考察線性規(guī)劃“截距”型問題，由約束條件作出可行域，求目標(biāo)函數(shù)最值，難度：容易【答案】15【詳解】作出可行域，如圖，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，有最大值，由可得，即,所以.2．（內(nèi)蒙古名校模擬）已知x，y滿足約束條件，則的最小值為（

）A．1 B． C．-2 D．【答案】D【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合求出的最小值.【詳解】

由約束條件作出可行域如圖，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，聯(lián)立方程，得交點(diǎn)坐標(biāo)，由圖得，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，斜率最小為，所以的最小值為.3．（江西省新八校模擬）已知x，y滿足約束條件，則的最小值為________．【答案】/【分析】畫出可行域，表示可行域中一點(diǎn)與原點(diǎn)之間距離的平方，由圖找到最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】畫出可行域如下圖陰影部分，表示可行域中一點(diǎn)與原點(diǎn)之間距離的平方，由圖可知，原點(diǎn)到直線的距離最小，為，則的最小值為.1．若，滿足約束條件則的最大值為（

）A．0 B．2 C．14 D．16【答案】C【分析】畫出不等式組對應(yīng)的可行域，再利用數(shù)形結(jié)合分析解答.【詳解】畫出不等式組對應(yīng)的可行域（如圖所示），由題得，它表示斜率為縱截距為的平行直線系，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最小，最大.聯(lián)立直線方程得.此時(shí)的最大值為.

2．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值是（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【分析】作出可行域，根據(jù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】畫出不等式組表示的可行域，如圖所示（陰影部分），解方程組，得，故，解，可得，故，表示的是可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，,根據(jù)的幾何意義可知的最大值為2，的最大值為.3．已知實(shí)數(shù)、滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出可行域，找出使得取的最大值時(shí)對應(yīng)的最優(yōu)解，求出的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：記點(diǎn)、，則，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，同理可得、，因?yàn)?，，，所以，?dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最大值，且，所以，的最大值為，故.考點(diǎn)四、二次函數(shù)與一元二次不等式1．（鎮(zhèn)江中學(xué)模擬）已知全集，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先化簡集合，再根據(jù)補(bǔ)集和交集運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題意得，，，則，所以.2．（信陽市模擬）已知條件，條件，若p是q的必要而不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求解命題中涉及的不等式，根據(jù)題意可得相應(yīng)集合的包含關(guān)系，列出不等式組，即可求得答案.【詳解】由，得，所以，由，得，所以，因?yàn)閜是q的必要而不充分條件，所以，則，解得，3．已知集合，，若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出集合，然后根據(jù)的關(guān)系，結(jié)合進(jìn)行分析即可.【詳解】因?yàn)榛?，所以或，由，所以?dāng)時(shí)，不成立，所以集合為空集，滿足題意，當(dāng)時(shí)，，由，所以，所以有，綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍是，1．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】解不等式求出不等式的解集，根據(jù)為的真子集，得到答案.【詳解】解不等式得，不等式化為，所以，因?yàn)闉榈恼孀蛹浴啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件.2．已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】解不等式，化簡集合A，B，后由可得時(shí)的范圍.【詳解】，注意到，則或；，則或，，若，則或，則時(shí)，a的范圍集合為時(shí)a的范圍集合關(guān)于的補(bǔ)集，即為.

3．已知集合，，若“”是“”的充分非必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解一元二次不等式求出集合，依題意可得，即可得到，再求出集合，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】由，解得，所以，因?yàn)?，所以不等式，等價(jià)于，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞址潜匾獥l件，所以，所以，則，所以不等式，即，解得，所以，又，所以.【基礎(chǔ)過關(guān)】1．設(shè)P=2a2-4a+3,Q=(a-1)(a-3),a∈R,則有（）.A.P≥Q B.P>Q C.P<Q D.P≤Q【答案】A【詳解】∵P-Q=2a2-4a+3-(a-1)(a-3)=a2≥0,∴P≥Q.2．(2023·湖北聯(lián)考)已知三個(gè)不等式:①ab>0;②ca>d 【答案】D【詳解】由ab>0,在bc>ad兩邊同除以ab,得ca>d由ab>0,在ca>d由ca>db,移項(xiàng)通分得綜上所述,以其中兩個(gè)作條件,余下的一個(gè)作結(jié)論,可組成3個(gè)真命題.3．(2023·宿州模擬)已知函數(shù)y=x-4+9x+1(x>-1),當(dāng)x=a時(shí),y取得最小值b,則2a+3b=(A.9 B.7 C.5 D.3【答案】B【詳解】因?yàn)閤>-1,所以x+1>0,所以y=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5≥2(x+1)·9x+1-5=1,當(dāng)且僅當(dāng)x+1=9x+1,即x=2時(shí)取等號(hào),所以y取得最小值b=1,此時(shí)x=a=4．已知x<54,則f(x)=4x-2+14x-5【答案】1【詳解】∵x<54則f(x)=4x-5+14x-5+3=-5?4x+1當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=15?4x,即x=1或x=3故f(x)=4x-2+14x5．已知不等式2x+m+2x-1>0對一切x∈32,+∞恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】(-6,+∞)【詳解】由題意知,-m<2x+2x-1對一切x∈32,+∞恒成立,又x≥32時(shí),x-1>0,則2x+2x-1=2(x-1)+2x6．(2023·重慶模擬)已知a>0,b>0,且a+b=2,則2a+1 C.94 D.【答案】C【詳解】因?yàn)閍>0,b>0,且a+b=2,所以a+b2所以2a+12b=12(a+b)2a+12b=122ba+7．已知a>1,b>0,a+b=2,則1a-1+12b【答案】32+【詳解】已知a>1,b>0,a+b=2,可得(a-1)+b=1,又a-1>0,則1a-1+12b=[(a-1)+b]1a-1+12b=1+12+a-12b+ba-1≥32+2a-12b·ba-1=32+28．（2023河南省部分名校模擬）若，滿足約束條件則的最大值為（

）A．0 B．2 C．14 D．16【答案】C【分析】畫出不等式組對應(yīng)的可行域，再利用數(shù)形結(jié)合分析解答.【詳解】畫出不等式組對應(yīng)的可行域（如圖所示），由題得，它表示斜率為縱截距為的平行直線系，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最小，最大.聯(lián)立直線方程得.此時(shí)的最大值為.9．（2023贛州市名校模擬）設(shè)實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為（

）A． B． C．5 D．【答案】B【分析】由題意畫出可行域，表示可行域中一點(diǎn)與之間距離的平方，由圖可知到直線的距離的平方為的最小值，求解即可.【詳解】由題意畫出可行域，如下圖，，表示可行域中一點(diǎn)與之間距離的平方，則到直線的距離的平方為的最小值，則，所以.10．設(shè)滿足約束條件，則的最小值為________．【答案】【分析】作出線性區(qū)域，由圖分析求目標(biāo)函數(shù)的最小值即可.【詳解】作出線性區(qū)域如圖所示：，所以表示可行域中的點(diǎn)到原點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率最小，所以的最小值為：11．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】解不等式求出不等式的解集，根據(jù)為的真子集，得到答案.【詳解】解不等式得，不等式化為，所以，因?yàn)闉榈恼孀蛹?，所以“”是“”的必要不充分條件.12．不等式1x-1+2≥0的解集為【答案】x【詳解】可將原不等式變?yōu)?x-1x-1≥0,即(213．已知關(guān)于x的方程x2+2(a+2)x+a2-1=0.當(dāng)該方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(-1,1)【詳解】關(guān)于x的方程x2+2(a+2)x+a2-1=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根,只需其對應(yīng)的二次函數(shù)f(x)=x2+2(a+2)x+a2-1滿足f(0)<0,即a2-1<0,解得-1<a<1.【能力提升】1．(2023·新余模擬)下列結(jié)論中,恒成立的是().,則(n∈N*)B.C.若0<a<1,則(1-a)1+a<1D.若-1≤α<β≤1,則-32<α+1【答案】C【詳解】根據(jù)不等式乘方性質(zhì)知A選項(xiàng)不正確;因?yàn)椋訠選項(xiàng)不正確;根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)可知選項(xiàng)C正確;因?yàn)?1≤α<β≤1,所以-1≤α<1,-12<12β≤12,所以-32<α+2．(2023·貴陽四校聯(lián)考)已知a+b=2,且a>-1,b>0,則1a+1+1A.32 C.43 【答案】C【詳解】由a+b=2,得aa>-1,所以a+1>0,所以1a+1+1b=13(a+1+b)1a+1+1b=132+ba+1+a+1b≥132+2ba+1·a+1b=43,當(dāng)且僅當(dāng)ba+1=所以1a+1+1b的最小值為3．(2020年江蘇卷)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),則x2+y2的最小值是.

【答案】4【詳解】(法一)由5x2y2+y4=1得x2=15y2-y25,則x2+y2=15y2+4y25≥215y2·4y25=45,(法二)4=(5x2+y2)·4y2≤[(5x2+y2)+4y22]2=254(x2+y2)2,則x2+y2≥45,當(dāng)且僅當(dāng)5x2+y2=4y2=2,即x2=310,y24．(2023·河南模擬)已知在等差數(shù)列{an}中,a3=7,a9=19,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則Sn+10a【答案】3【詳解】∵a3=7,a9=19,∴d=a9-a39?3=19?76=2,∴an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1,∴Sn=因此Sn+10an+1=n(n+2)+102n+2=12[(n+1當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取等號(hào).故Sn+10a5．（蘭州市名校模擬）已知x，y滿足約束條件，若的最大值為4，則______．【答案】2【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定的最大值．【詳解】作出，滿足約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）則，若取得最大值為4，即目標(biāo)函數(shù)在軸的最大截距為4，目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過時(shí)，取最大值，則，解得，

6．已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則的最小值為______．【答案】-1【分析】作出可行域，由圖求目標(biāo)函數(shù)的最小值即可.【詳解】作出可行域如圖中陰影部分所示易得，的幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)和定點(diǎn)連線的斜率．由圖可知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，z最小，．7．已知單位向量，若對任意實(shí)數(shù)x，恒成立，則向量的夾角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平面向量數(shù)量積與模長的關(guān)系結(jié)合一元二次不等式恒成立的解法計(jì)算即可.【詳解】設(shè)向量的夾角為θ，因?yàn)椋?，則，即恒成立.所以，解得，故的夾角的取值范圍是.8．解關(guān)于x的不等式12x2-ax>a2(a∈R).【詳解】原不等式可化為12x2-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-a4,x2=a當(dāng)a>0時(shí),不等式的解集為-∞,-a4∪當(dāng)a=0時(shí),不等式的解集為(-∞,0)∪(0,+∞);當(dāng)a<0時(shí),不等式的解集為-∞,a3∪9．(2023·江蘇模擬)已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|1<x<3},則cx2-bx+a>0的解集是.

【答案】x【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|1<x<3},所以a>0,且方程ax2+bx+c=0的解為x1=1,x2=3,則-ba=4,ca=3,所以b=-4a,c=3故不等式cx2-bx+a>0可化為3ax2+4ax+a>0,則3x2+4x+1>0,解得x>-13或x<-1所以cx2-bx+a>0的解集是x|10．若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對一切x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().A.(-∞,2] B.[-2,2]C.(-2,2] D.(-∞,-2)【答案】C【詳解】當(dāng)a-2=0,即a=2時(shí),不等式為-4<0,對一切x∈R恒成立;當(dāng)a≠2時(shí),有a-2<0,Δ=4(a-2)2+16(綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,2].11．已知當(dāng)a∈[-1,1]時(shí),不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,則x的取值范圍為().A.(-∞,2)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)