關(guān)于運(yùn)動(dòng)方程的解會(huì)

關(guān)于運(yùn)動(dòng)方程的解會(huì)

1非完整約束系統(tǒng)的特征自1894年h.r.hetrz引入非完全限制系統(tǒng)的概念以來，許多力學(xué)和數(shù)學(xué)家在這方面做了大量工作。一種觀點(diǎn)認(rèn)為,虛位移應(yīng)滿足Appell-Четаев定義按Appell-對(duì)于完整約束系統(tǒng),這個(gè)條件自動(dòng)成立,因?yàn)橥暾s束系統(tǒng)的約束不含廣義速度,其對(duì)廣義速度的偏導(dǎo)數(shù)為零。從變分角度來講,加在虛位移上的條件是式(2)與式(3)完全不同。著名的數(shù)學(xué)力學(xué)家V.I.Arnold認(rèn)為條件(2)是人為加上去的,因?yàn)槔脳l件(2)推導(dǎo)出來運(yùn)動(dòng)方程的解會(huì)出現(xiàn)“怪行為”另一種觀點(diǎn)認(rèn)為,由于最優(yōu)控制問題可看作非完整約束系統(tǒng),最優(yōu)控制問題的控制方程的推導(dǎo)是從式(3)出發(fā)的,因此應(yīng)從式(3)出發(fā)推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方程利用約束自身的特點(diǎn),文獻(xiàn)[8-10]通過解除約束的方法推導(dǎo)出了3類特殊的一階非完整約束系統(tǒng)的不帶乘子的Lagrange方程。本文通過引進(jìn)新的位移參數(shù)解除非完整約束,使非完整約束系統(tǒng)成為無約束系統(tǒng);再按照完整約束系統(tǒng)推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方程的方法,推導(dǎo)出一階非完整約束系統(tǒng)的不帶乘子的Lagrange方程。2這個(gè)亞組系統(tǒng)，沒有包含欺詐系統(tǒng)的拉格倫方程2.1t、c、l的lagrange函數(shù)通過3個(gè)實(shí)例,介紹怎樣引進(jìn)新的位移參數(shù)來解除非完整約束。例1斜面冰橇問題。該問題對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)式中:(x,y)是冰刀與斜面接觸點(diǎn)的坐標(biāo);k為回轉(zhuǎn)半徑;φ為冰刀與Ox軸的夾角;g為重力加速度;α為斜面的傾角。引進(jìn)新的位移參數(shù)u使得式中:z為積分變量;t為時(shí)間。系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)(4)變?yōu)橐虼?這個(gè)系統(tǒng)變成以新位移參量u和φ為獨(dú)立變分變量的無約束系統(tǒng)。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理,這個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)應(yīng)使得泛函的變分為零,即δI=0。式中t通過直接計(jì)算得利用關(guān)系例2均質(zhì)球在粗糙的圓錐面內(nèi)純滾動(dòng)問題。該問題對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)式中:m為球的質(zhì)量;r為球與圓錐面的接觸點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離;α為半錐角;a為球的半徑;γ為兩平面的夾角;k為回轉(zhuǎn)半徑;φ,χ+γ,θ為3個(gè)歐拉角。由式(9)可得對(duì)式(10)積分得由式(8)和式(11)可得因此,該系統(tǒng)的2個(gè)約束被解除,從而系統(tǒng)成為無約束系統(tǒng),可以按例1的方法推導(dǎo)其運(yùn)動(dòng)方程。例3三粗糙均質(zhì)圓柱體問題。該問題對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)式中:(x,y)為上圓柱質(zhì)心的兩水平坐標(biāo);A為上圓柱繞通過中心鉛垂軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;C為上圓柱繞通過中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;θ為上圓柱母線與Ox軸的夾角;Jφ為上圓柱的轉(zhuǎn)角;φL式(14)~(17)中:R為上面圓柱的半徑;r為下面兩圓柱的半徑;a為常數(shù);α為下面兩圓柱母線的夾角。由式(14)和式(15)可得由式(16)和式(17)可得由式(18)和式(20)可得因此有式中u是引進(jìn)的位移參數(shù)。由式(18)和式(22),如果還引進(jìn)位移參數(shù)v使得就解除了約束式(18)(20)。由式(19)(22)(23)可得因此,約束式(19)被解除。由式(19)(21)(22)可得由式(18)和式(22),通過積分可得式中由式(25)和式(26)可解得利用式(27)和式(23)可得綜合式(28)和式(22)~(24)可得因此,該系統(tǒng)的所有約束被解除。從上面3個(gè)例子可以看出,可通過引進(jìn)位移參數(shù)u式中:2.2lagrange方程推導(dǎo)將式(29)代入系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)下面只從式(30)出發(fā)推導(dǎo)Lagrange方程。對(duì)于一般情況,只給出Lagrange方程,而不給出詳細(xì)的推導(dǎo)過程。對(duì)式(30)求變分得為了方便,記利用分部積分法可得由式(31)~(33)可得由δI=0得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為式中:i=1,2,…,n-h;C對(duì)于一般情況,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為式中C如果Lagrange函數(shù)中不含σ可以直接用式(34)推導(dǎo)出例1~3的運(yùn)動(dòng)方程,這些直接的計(jì)算從略。3種約束系統(tǒng)的對(duì)比通過引進(jìn)新位移變量解除非完整約束,使非完整約束系統(tǒng)成為無約束系統(tǒng)。對(duì)于無約束系統(tǒng),不需要考慮加在虛位移上的條件,從而完全可以按完整約束系統(tǒng)的方法來推導(dǎo)非完整約束系統(tǒng)的不帶乘子的Lagrange方程。完整約束系統(tǒng)與非完整約束系統(tǒng)具有如下區(qū)別:1)對(duì)于完整約束系統(tǒng),在引進(jìn)新的位移參數(shù)后,所有的廣義坐標(biāo)都是新參數(shù)的函數(shù);對(duì)于非完整約束系統(tǒng),在引進(jìn)新的位移參數(shù)后,所有的廣義坐標(biāo)不僅是新參數(shù)的函數(shù),而且與新參數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān),還含有積分。2)對(duì)于完整約束系統(tǒng)在解除約束后,系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)只與新參數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)有關(guān);對(duì)于非完整約束系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)與新參數(shù)以及它們的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)有關(guān),并且還含有積分。3)完整約束系統(tǒng)與非完整約束系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的形式不同。系統(tǒng)的約束方程為因?yàn)棣膗與δφ是相互獨(dú)立的,由δ