復(fù)交換banach代數(shù)乘子譜理論

復(fù)交換banach代數(shù)乘子譜理論

在光譜理論的發(fā)展中，除了吉爾伯特空間理論的經(jīng)典領(lǐng)域外，最重要的領(lǐng)域之一是banach序列積分的光譜理論。一是在和諧分析中出現(xiàn)的，主要是與fq分類理論有關(guān)的內(nèi)容。此后，乘數(shù)被廣泛應(yīng)用于其他方面，如傅里葉變換、群代代相傳、波納戈模型和一般理論的許多方面。對于乘子的研究由來已久,但是對于乘子譜理論的系統(tǒng)研究卻是近些年才開始的.LaursenKB對乘子的局部譜理論進(jìn)行深入的研究,具體見其關(guān)于局部譜理論的專著本文主要研究了Banach代數(shù)直和上乘子的表示形式,并由此得到其上乘子譜理論的相關(guān)結(jié)果,最后由A1banach對數(shù)設(shè)A是一個復(fù)Banach代數(shù),B(A)表示A上的有界線性算子全體.定義1.1稱映射T:A→A是A的乘子,如果當(dāng)A可交換時,A上的乘法算子L定義1.2稱Banach代數(shù)A是忠實的,如果關(guān)于忠實的交換Banach代數(shù)上的乘子,有如下結(jié)論命題1.3命題1.4定義Banach代數(shù)A的Jacobson根定義1.6設(shè)A與B是兩個Banach代數(shù),記稱A⊕B為A與B的直和.顯然A⊕B也是Banach代數(shù).容易知道,若A與B是忠實的,則A⊕B也是忠實的;若A與B是半單的,則A⊕B也是半單的.下面給出關(guān)于譜理論的一些定義與記號.設(shè)X,Y是Banach空間,B(X,Y)記為X到Y(jié)的全體有界線性算子,當(dāng)X=Y時簡記為B(X),K(X)表示X上的緊算子全體.對于T∈B(X),分別以T定義復(fù)Banach空間X上有界線性算子T∈B(X)的各種譜如下1)T的點譜σ2)T的滿譜σ3)T的近似點譜σ4)T的左譜σ5)T的右譜σ6)T的本性譜7)T的左本性譜σ8)T的右本性譜σ9)T的上半本性譜14)T的左Drazin譜σ15)T的下降譜σ16)T的上升譜σ17)T的Browder譜18)T的左Browder譜19)T的右Browder譜20)T的半正則譜σ稱算子T在λ若在下文討論中,如無特別說明,總假設(shè)A是忠實的交換Banach代數(shù).這時,顯然A⊕A也是忠實的交換Banach代數(shù).2aa上的乘子命題2.1特別地,從而對于證,(1),(2)兩式對于任意(x,y),(a,b)∈A⊕A成立.特別地,取y=b=0,由(1)得x(T由此對任意(x,y),(a,b)∈A⊕A,取x=y∈A,由(3)則T引理2.3設(shè)證由引理2.2,T從而(x-y)T同理可證T引理2.4若T由引理2.2、引理2.3及引理2.4,可以得到A⊕A上乘子的具體表示形式.定理2.5設(shè)3廣義drazen逆在上三角算子矩陣由此引出兩個有趣的問題.問題1什么樣的A∈(X),B∈B(Y),σ問題2對什么樣的C∈B(Y,X),σ這兩個問題也引起了許多學(xué)者的關(guān)注.文獻(xiàn)文獻(xiàn)文獻(xiàn)文獻(xiàn)利用這些結(jié)果,我們得到A⊕A上乘子譜理論的相關(guān)結(jié)論.定義3.1其中B是擬冪零算子,則稱T有廣義Drazin逆.由參考文獻(xiàn)引理3.2設(shè)T∈B(X),如下陳述等價1)T有廣義Drazin逆;2)T=T3)T∈B(X)的廣義Drazin譜和廣義Drazin正則集分別表示為σ定理3.3設(shè)其中σ證i)由于T∈M(A⊕A),由定理2.5,若T對于(T綜上T半正則當(dāng)且僅當(dāng)Tⅳ)從上面的證明中,可以看出,對于由閉值域定理知,從而注1以上6種譜,對于上三角算子矩陣命題3.4引理3.5若{a∈A|a證T∈M(A),定理3.6若{a∈A|aσ其中σ證由于T∈M(A⊕A),由定理2.5,注2以上三種譜,對于上三角算子矩陣對于任意S∈B(X),S的升降指數(shù)與S的零維、虧維之間存在著如下聯(lián)系.命題3.71)若asc(T)<∞,則α(T)≤β(T).2)若des(T)<∞,則β(T)≤α(T).3)若α(T)=β(T)<∞且asc(T)與des(T)有一個有限,則asc(T)=des(T).定理3.8若{a∈A|a其中證設(shè)(a,b)∈A⊕A,(a,b)由命題3.7的1)由命題3.7的1)與2)由定理3.3與定理3.6可知定理3.8成立.注3對于以上6種譜成立若A是半單的交換Banach代數(shù),則A是忠實的,且推理3.9設(shè)A是半單的Banach代數(shù),則其中4banach級數(shù)的ad定義4.1稱一個算子T為強不可約的,如果不存在非平凡的冪等算子P下面的例子說明存在Banach代數(shù)上的強不可約算子是乘子,也存在Banach代數(shù)上的強不可約算子不是乘子.例4.2考慮圓盤代數(shù)A(D)上的乘法算子L定義1.5稱Banach代數(shù)A是半單的,如果Rad(A)={0}.對于交換Banach代數(shù),A是半單的當(dāng)且僅當(dāng)A中沒有非零的擬冪零元.定義Banach代數(shù)A與Banach代