彈性力學課件一三

第四章平面問題的極坐標解答4—1DifferentialEquationsofEquilibriuminPolarCoordinates4—2GeometricalEquationsandPhysicalEquationsinPolarCoordinates4—3StressFunctionandCompatibilityEquationsinPolarCoordinates4—9Effectofcircularholesonstressdistribution4.SolutionofPlaneProblemsinPolarCoordinates4—4CoordinatesTransformationofStressComponents4—5AxisymmetricalStressesandCoorespondingDisplacements

4—6HollowCylinderSubjectedtoUniformPressures4—11ConcentratedNormalLoadonaStraightBoundary4—1極坐標中的平衡微分方程求解平面問題時，對于圓形、楔形、扁形等物體，用極坐標求解比用直角坐標方便得多，平面內(nèi)任一點的位置，用徑向坐標r及環(huán)向坐標

來表示如何建立極坐標中的平衡微分方程？從物體（薄板或長柱體）中取出一微單元PABC，如圖所示，其厚度為1

drPABCxyoKrK

應力的正負號規(guī)定與直角坐標中一致建立平衡方程：整理簡化后得：（2）建立平衡方程：整理簡化后得：（2）極坐標下平面問題的平衡微分方程：基本宰未知驚應力朗分量慶：

r、

、r=債

r4—弄2意極坐華標中侵的幾定何方扮程和鑼物理貨方程一、倡幾何贈方程在極宴坐標鬧中，

r代表韻徑向匪應變量，

代表蔑環(huán)向玩應變章，r代表勻剪應惠變，ur代表梢徑向進位移叢，u

代表正環(huán)向降位移要確虜定幾萬何方踏程，柱過P點取眉圖示揚隔離饞體PA照B，如圖外所示其總倆變形澆可由禽兩種較變形方相疊訂加：（1罩）假鐮定只折有徑書向位植移，霞無環(huán)施向位怎移PABxyo

drP`B`A`徑向扮正應仇變：環(huán)向腸正應世變：PABxyo

dP’B’A’rPA的轉角：PB的轉角：xAPByo

dr（2）假定只有環(huán)向位移，無徑向位移A”P”B”剪應變：徑向正應變：環(huán)向正應變：PA的轉角：PB的轉角：剪應變：當徑榴向和術環(huán)向稅都有刃位移鋼時，溜總應咐變?yōu)殡`：這就貌是極傾坐標冶中的跑幾何鋒方程二、蹄物理專方程由于開極坐蘿標和怠直角燦坐標歸都是倦正交彈坐標鋪，所蝦以極皇坐標桑中物碑理方箭程與使直角忍坐標蛾中的惠物理酸方程高具有著相同瀉的形牌式：附（平似面應倆力情避況）平面感應變繞情況濤下的濫物理擋方程勤：4—序3村極坐踏標中拳的應叼力函迎數(shù)和烤相容瞎方程可利用坐標變換，將直角坐標下的相容方程變換成極坐標下的相容方程極坐標與直角坐標的關系：xyo（x，y）xyr

由此得：是x、拔y的函禿數(shù)，典也是r、斑

的函俘數(shù)，毀所以重復皺上述蒙運算種：同理劫：將上策式相序加得別：直角互坐標催下的持相容兔方程趣為：所以孩，極勺直角絡坐標掀下的妥相容愁方程綱為：是光極坐習標下餃的應豈力函啟數(shù)，宣是r、病

的函油數(shù)根據(jù)應力函數(shù)求應力分量：xyo（x，y）xyr

將x軸轉淚到與r重合魄，可清得極坐視標下趁得應射力分左量（傭忽略渣體力慢）：歸納蔬：求解極坐標下得平面問題時，只須要由相容方程求解應力函數(shù)，然后按公式：求應力分量即