【解析】2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊 25.3 解直角三角形 同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

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2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊25.3解直角三角形同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023·西山模擬）如圖，將兩條寬度都為1的紙條重疊在一起，使，則四邊形的面積為（）

A．B．C．D．

2．（2023·五華模擬）如圖所示，在中，按以下步驟作圖：①連接，以點(diǎn)C為圓心，以長為半徑作弧，交于點(diǎn)F；②分別以點(diǎn)D，F(xiàn)為圓心，以長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)G；③作射線交于點(diǎn)E．若，，則的長為（）

A．4B．C．D．

3．（2023·碑林模擬）如圖，正方形的對角線，相交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，若，則線段的長為（）

A．B．C．D．

4．（2023·玉溪模擬）如圖，在中，，設(shè)所對的邊邊長分別為a，b，c，則下列等式正確的是（）

A．B．C．D．

5．（2023·永康模擬）一沙灘球網(wǎng)支架示意圖如圖所示，AB=AC=a米，∠ABC=a，則最高點(diǎn)A離地面BC的高度為()

A．米B．米C．米D．米

6．（2023·黑龍江）如圖，在正方形中，點(diǎn)分別是上的動點(diǎn)，且，垂足為，將沿翻折，得到交于點(diǎn)，對角線交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論正確的是：①；②；③若，則四邊形是菱形；④當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到的中點(diǎn)，；⑤．（）

A．①②③④⑤B．①②③⑤C．①②③D．①②⑤

7．（2023·姜堰模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在直線l上，以A為圓心，為半徑的圓與y軸的另一個交點(diǎn)為E，給出如下定義：若線段，和直線l上分別存在點(diǎn)B，點(diǎn)C和點(diǎn)D，使得四邊形是矩形（點(diǎn)順時針排列），則稱矩形為直線l的“理想矩形”.例如，右圖中的矩形為直線l的“理想矩形”.若點(diǎn)，則直線的“理想矩形”的面積為（）

A．12B．C．D．

8．（2022八下·南潯期末）趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，形成一個大正方形，中間是一個小正方形（如圖所示）．某次課后服務(wù)拓展學(xué)習(xí)上，小潯繪制了一幅趙爽弦圖，她將EG延長交CD于點(diǎn)Ｉ．記小正方形EFGＨ的面積為Ｓ1，大正方形ABCD的面積為Ｓ2，若DＩ＝2，CＩ＝1，Ｓ2＝5Ｓ1，則GＩ的值是（）

A．B．C．D．

二、填空題

9．（2023·呈貢模擬）在中，，，則．

10．（2023·長寧模擬）如圖，在菱形中，對角線與交于點(diǎn)O，已知，，如果點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，那么．

11．（2023七下·長沙期中）一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)在的延長線上，，則°．

12．（2023·南充）如圖，在等邊中，過點(diǎn)C作射線，點(diǎn)M，N分別在邊，上，將沿折疊，使點(diǎn)B落在射線上的點(diǎn)處，連接，已知．給出下列四個結(jié)論：①為定值；②當(dāng)時，四邊形為菱形；③當(dāng)點(diǎn)N與C重合時，；④當(dāng)最短時，．其中正確的結(jié)論是（填寫序號）

13．（2023·長寧模擬）如圖，將平行四邊形沿著對角線翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，交于點(diǎn)，如果，，且，那么平行四邊形的周長為．（參考數(shù)據(jù)：）

三、解答題

14．（2023·徐匯模擬）如圖，在中，已知．點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，求的長．

15．（2022九上·江門期末）中，，，，求邊的長度．

四、綜合題

16．（2023八下·江北期末）如圖1，在菱形中，．等腰的兩個頂點(diǎn)分別在上，且，點(diǎn)在的異側(cè)．

（1）如圖2，當(dāng)于點(diǎn)時，

①求證：，且點(diǎn)在菱形的對角線上．

②如圖3，若交于點(diǎn)交于點(diǎn)，連結(jié)．當(dāng)時，四邊形為正方形．

（2）如圖1，

①判斷：點(diǎn)▲菱形的對角線上．（填“在”或“不在”）

②若，請求出的取值范圍．

17．（2023·山西）問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和，其中．將和按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)與點(diǎn)重合（標(biāo)記為點(diǎn)）．當(dāng)時，延長交于點(diǎn)．試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

（1）數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問題；

（2）深入探究：老師將圖2中的繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問題．

①“善思小組”提出問題：如圖3，當(dāng)時，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)與交于點(diǎn)．試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4，當(dāng)時，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，求的長．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．

答案解析部分

1．【答案】D

【知識點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：過點(diǎn)A作AE⊥CB，如圖所示：由題意得四邊形ABCD為平行四邊形，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

故答案為：D.

【分析】過點(diǎn)A作AE⊥CB，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合解直角三角形的知識即可得到AB的長，再結(jié)合題意即可求解。

2．【答案】D

【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：由題意得CG為直線DF的垂直平分線，

∴CE⊥DF，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD=CB=5，AD∥CB，

∴∠ADB=∠CBD，

∴，

∴CE=2，

∴由勾股定理得，

故答案為：D.

【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得到CE⊥DF，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到AD=CB=5，AD∥CB，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADB=∠CBD，再解直角三角形即可得到CE的長，進(jìn)而運(yùn)用勾股定理即可求解。

3．【答案】D

【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H，

∵正方形BCD的對角線相交于點(diǎn)O，

∴AC⊥BD，∠DAO=45°，

∴cos∠DAO=cos45°=，

∴，

∵DE平分∠ADO，EO⊥BD，EH⊥AD，

∴EH=EO，

設(shè)EH=EO=x，則AE=-x，

在Rt△AEH中∠HAE=45°，

∴AH=EH=x，

由勾股定理得AH2+EH2=AE2，即x2+x2=（-x）2，

解得x=（負(fù)值已舍），

∴線段OE的長為.

故答案為：.

【分析】過點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H，由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，∠DAO=45°，由∠DAO的余弦函數(shù)及特殊銳角三角函數(shù)值可求出AO=，由角平分線的性質(zhì)得EH=EO，設(shè)EH=EO=x，則AE=-x，由等腰直角三角形性質(zhì)得AH=EH=x，在Rt△AEH中，由勾股定理建立方程可求出x的值，從而得出答案.

4．【答案】D

【知識點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【解答】在△ABC中，∠A＝90°

tanB=，sinB=

∴四個選項中，只有D選項符合題意

【分析】根據(jù)正切是對邊與另外一條直角邊的比值，正弦是對邊與斜邊的比值進(jìn)行逐一判斷即可．

5．【答案】D

【知識點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴AD=ABsin∠B=asinα.

故答案為：D

【分析】利用垂直的定義可證得∠ADB=90°，再利用銳角三角函數(shù)的定義可求出AD的長.

6．【答案】B

【知識點(diǎn)】菱形的判定；正方形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，

∵AF⊥DE，

∴∠BAF+∠AED=90°，

∵∠BAF+∠AFB=90°，

∴∠AED=∠BFA，

在△ABF和△DAE中，

∵∠ABF=∠DAE=90°，∠BFA=∠AED，AB=DA，

∴△ABF≌△DAE(AAS)，

∴AF=DE，故①正確；

∵將△ABF沿AF翻折得到△AMF，

∴BM⊥AF，

∵AF⊥DE，

∴BM∥DE，故②正確；

當(dāng)CM⊥FM時，∠CMF=90°，

∵∠AMF=∠ABF=90°，

∴∠AMF+∠CMF=180°，即A，M，C在同一直線上，

∴∠MCF=45°，

∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，

由翻折的性質(zhì)可得：∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，

∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，

∴BC∥MH，HB∥MF，

∴四邊形BHMF是平行四邊形，

∴BF=MF，

∴平行四邊形BHMF是菱形，故③正確；

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AB的中點(diǎn)，

設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，則AE=BF=a，

在Rt△AED中，，

∵∠AHD=∠FHB，∠ADH=∠FBH=45°，

∴△AHD∽△FHB，

∴，

∴，，

∴，，

∵∠BHF=∠DHA，

∴在Rt△DGH中，tan∠BHF=tan∠DHA==3，故④錯誤；

∵△AHD∽△FHB，

∴，

∴，，

∵AF⊥EP，

根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，

∴，，∴EP·DH=2AG·BH，故⑤正確，

綜上分析可知，正確的是①②③④⑤.

故答案為：B.

【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)及垂直的定義，由同角的余角相等得∠AED=∠BFA，從而由AAS判斷出△ABF≌△DAE，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得AF=DE，故①正確；由翻折的性質(zhì)得BM⊥AF，由同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行得BM∥DE，故②正確；首先判斷出A，M，C在同一直線上，由正方形的性質(zhì)得∠MCF=45°，由三角形的內(nèi)角和定理得∠MFC=90°-∠MCF=45°，則∠HMF=∠MFC=45°，∠HBC=∠MFC=45°，推出BC∥MH，HB∥MF，由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形得四邊形BHMF是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得平行四邊形BHMF是菱形，故③正確；當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AB的中點(diǎn)，設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，則AE=BF=a，在Rt△AED中，由勾股定理用含a的式子表示出DE，進(jìn)而根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得△AHD∽△FHB，由相似三角形對應(yīng)邊成比例建立方程分別用含a的式子表示出EG、AG，進(jìn)而再根據(jù)線段的和差分別表示出DG、GH，再由等角的同名三角函數(shù)值相等可判斷出④；由相似三角形對應(yīng)邊成比例建立方程表示出BH、DH、由折疊得，進(jìn)而分別算出EP·DH與2AG·BH，即可判斷⑤.

7．【答案】B

【知識點(diǎn)】一次函數(shù)的圖象；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接、，如圖.

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，，.

點(diǎn)在直線上，

，

解得.

設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，

當(dāng)時，，點(diǎn)，，

，

，.

在中，.

在中，.

所求“理想矩形”面積為；

故答案為：B.

【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接、，由點(diǎn)A坐標(biāo)可求出AC=AO=5，AF=3，OF=4，將點(diǎn)代入中求出k=1，即得y=x+1，可得G（0，1），△FGA為等腰直角三角形，可得∠FGA=45°，AG=3，利用解直角三角形求出AB的長，再利用勾股定理求出BC，根據(jù)矩形的面積公式計算即可.

8．【答案】A

【知識點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的應(yīng)用；解直角三角形

【解析】【解答】解：過點(diǎn)I作IM⊥HC于點(diǎn)M，

∵正方形EFGH，

∴∠HGE=∠IGM=45°，

∴IM=GM，

∵DＩ＝2，CＩ＝1，

∴CD=DI+CI=2+1=3

∵記小正方形EFGＨ的面積為Ｓ1，大正方形ABCD的面積為Ｓ2，Ｓ2＝5Ｓ1，

∴5Ｓ1=9

解之：

∴HG=

∵趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，

∴DH=CG，

設(shè)DH=CG=x，則HC=+x，

在Rt△DHC中

DH2+CH2=DC2即

解之：（取正值），

∴

設(shè)IM=GM=a，

在Rt△CMI中，IM2+CM2=CI2

∴

解之：

在等腰直角△IGM中

.

故答案為：A.

【分析】過點(diǎn)I作IM⊥HC于點(diǎn)M，利用正方形的性質(zhì)可證得∠HGE=∠IGM=45°，可推出IM=GM，同時可求出CD的長；利用已知條件求出HG的長；利用大正方形中的四個直角三角形全等，可證得HD=CG，設(shè)DH=CG=x，可表示出CH的長；再利用勾股定理可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，可得到CG的長；設(shè)IM=GM=a，在Rt△CMI中，利用勾股定理可得到關(guān)于a的方程，解方程求出a的值，然后利用解直角三角形求出GI的長.

9．【答案】

【知識點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【解答】解：由題意得在中，，

故答案為：

【分析】根據(jù)題意直接運(yùn)用解直角三角形的知識即可求解。

10．【答案】5

【知識點(diǎn)】勾股定理；菱形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，

∴DB⊥CA，OA=OC，，

∵，

∴OC=OA=6，

由勾股定理得，

∵E是邊的中點(diǎn)，

∴，

故答案為：5

【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到DB⊥CA，OA=OC，，再結(jié)合解直角三角形的知識即可得到OC=OA=6，再根據(jù)勾股定理求出BA的長，進(jìn)而結(jié)合題意即可求解。

11．【答案】15

【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】

解：如圖

∵AB∥CF，∠A=60°，

∴∠ACM=∠A=60°，

∵∠BCA=0°，

∴∠BCD=30°，

∵∠EFD=90°，∠E=45°，

∴∠EDC=∠E+∠EFD=135°，

∴∠DBC=180°-30°-135°=15°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ACM，根據(jù)平角求出∠BCD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠BDC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．

12．【答案】①②④

【知識點(diǎn)】三角形的面積；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；菱形的判定；翻折變換（折疊問題）；解直角三角形

【解析】【解答】解：

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=CB=AC=2，∠B=60°，

由折疊得B'N=BN，∠B=∠MB'N=60°，

∴，

∴為定值，①正確；

∵，

∴，

∴∠B'NC=60°=MB'N=∠B，

∴BM∥B'N，MB'∥BC，

∴四邊形為平行四邊形，

∵B'N=BN，

∴四邊形為菱形，②正確；

如圖：點(diǎn)N與C重合，

∵，

∴∠DCB=90°，

由折疊可知BC=B'C，

∴∠B'CA=30°，CB'=CA，

∴∠CB'A=∠B'AC=75°，

∴，③錯誤；

當(dāng)最短時，DC⊥AB'，

過點(diǎn)M作EM⊥CB于點(diǎn)E，連接BB'交NM于點(diǎn)O，如圖所示：

∵∠B'CA=30°，CA=2，

∴，

∴由勾股定理得，

由折疊得，

設(shè)NB=NB'=x，則NC=2-x，

由勾股定理得，

解得，

設(shè)BE為a，則

由勾股定理得，

∴（等面積法），

解得，

∴，④正確，

故答案為：①②④

【分析】①先根據(jù)等邊三角形得到性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)即可得到AB=CB=AC=2，∠B=60°，B'N=BN，∠B=∠MB'N=60°，進(jìn)而結(jié)合題意即可求解；②先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得到∠B'NC=60°=MB'N=∠B，再運(yùn)用平行線的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定即可求解；③根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到BC=B'C，再結(jié)合題意即可求解；④當(dāng)最短時，DC⊥AB'，過點(diǎn)M作EM⊥CB于點(diǎn)E，連接BB'交NM于點(diǎn)O，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得到，再根據(jù)勾股定理即可求出，再運(yùn)用折疊的性質(zhì)即可得到，設(shè)NB=NB'=x，則NC=2-x，運(yùn)用勾股定理即可求出BN的長，設(shè)BE為a，則根據(jù)勾股定理結(jié)合三角形的等面積法即可求出a的值，進(jìn)而即可求解。

13．【答案】4.96m

【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；解直角三角形

【解析】【解答】解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作NF⊥BC于點(diǎn)F，如圖所示：

由折疊可知∠ACB=∠ACM，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，，

∴∠D=76°，AB∥CD，

∴∠ACB=∠CAD，

∴∠CAD=∠ACM，

∴△CNA為等腰三角形，

∴CN=AN，

設(shè)∠MCD=a，則∠ACM=∠BCA=a+10°，

∴a+2(a+10°)+76°=180°，

解得a=28°，

∴∠MCB=76°，

∴CF=NCcos76°=0.24m，BE=BAcos76°=0.24m，

∴BC=EB+EF+CF=1.48m，

∴平行四邊形的周長為2×（1+1.48）=4.96m，

故答案為：4.96m

【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作NF⊥BC于點(diǎn)F，先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠ACB=∠ACM，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠D=76°，AB∥CD，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合題意得到∠CAD=∠ACM，再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)得到CN=AN，設(shè)∠MCD=a，則∠ACM=∠BCA=a+10°，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可求出a的值，進(jìn)而得到∠MCB=76°，最后再解直角三角形結(jié)合平行四邊形的周長公式即可求解。

14．【答案】解：在中，，

設(shè)，

∴，

在中，，

∴，

∴．

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

【知識點(diǎn)】勾股定理；解直角三角形

【解析】【分析】設(shè)，利用勾股定理可得AC=12k，利用線段的和差求出，再結(jié)合，可得，求出k的值，最后求出CD的長即可。

15．【答案】解：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．

，，，

，．

在中，

，

，，

，．

在中，

，

．

．

【知識點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【分析】過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，先利用解直角三角形的方法求出，，再結(jié)合，可得，最后利用線段的和差求出BC的長即可。

16．【答案】（1）解：①連接，如圖所示，

四邊形是菱形，

平分，即，

又

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴.

又平分垂直平分，

在的中垂線上，即在上．

②

（2）解：①在

②

如圖，作于于，連結(jié)，

，

，又，

又，

在的平分線上，四邊形是菱形，平分，

在上．，

．

故答案為：.

【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：（1）②，

是正三角形，，

是正方形，，

是菱形，，即，

∴.

故答案為：.

（2）①四邊形是菱形，

平分，即，

又

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴.

又平分垂直平分，

在的中垂線上，即在上．

∴點(diǎn)M在菱形ABCD的對角線AC上.

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和兩直線平行即可求證AE=AF，利用菱形的性質(zhì)對角線將角互相平分即可求出AC垂直平分EF，從而求證M在菱形ABCD的對角線上；

（2）利用特殊角的銳角三角函數(shù)可求出EF與EM的關(guān)系，再根據(jù)第一問AE=AF和已知條件即可求證AE=EF和EM的關(guān)系，利用正方形的性質(zhì)可知EH=EF與EM的關(guān)系，最后根據(jù)菱形ABCD的性質(zhì)和特殊角的銳角三角函數(shù)可求出EB與EH的關(guān)系，通過等量轉(zhuǎn)化，苛求抽AB與EM的關(guān)系；

（3）通過三角形全等解證明MG=MH，結(jié)合菱形的性質(zhì)證明M在線段AC上，根據(jù)兩點(diǎn)之間垂線段最短可知道HM的取值范圍，從而知道AM取值安慰，最后利用勾股定理求出AC長度，從而求證CM取值范圍.

17．【答案】（1）解：四邊形為正方形．理由如下：

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴四邊形為矩形．

∵，

∴．

∴矩形為正方形．

（2）解：①．

證明：∵，

∴．

∵，

∴．

∵，即，

∴．

∵，

∴．

由（1）得，

∴．

②解：如圖：設(shè)的交點(diǎn)為M，過M作于G，

∵，

∴，，

∴；

∵，

∴，

∴，

∵，

∴點(diǎn)G是的中點(diǎn)；

由勾股定理得，

∴；

∵，

∴，即；

∴；

∵，，

∴，

∴，

∴，即的長為．

【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；正方形的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【分析】（1）先證四邊形為矩形，再由，可得，從而證得四邊形為正方形；

（2）①由可得，再根據(jù)，可得BC=AM，由（1）得，利用等量代換即得結(jié)論；

②設(shè)的交點(diǎn)為M，過M作于G，先證，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得點(diǎn)G是的中點(diǎn)，利用解直角三角形求出DG、DM的長，從而求出AM的長，再證，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出AH的長即可.

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2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊25.3解直角三角形同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023·西山模擬）如圖，將兩條寬度都為1的紙條重疊在一起，使，則四邊形的面積為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：過點(diǎn)A作AE⊥CB，如圖所示：由題意得四邊形ABCD為平行四邊形，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

故答案為：D.

【分析】過點(diǎn)A作AE⊥CB，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合解直角三角形的知識即可得到AB的長，再結(jié)合題意即可求解。

2．（2023·五華模擬）如圖所示，在中，按以下步驟作圖：①連接，以點(diǎn)C為圓心，以長為半徑作弧，交于點(diǎn)F；②分別以點(diǎn)D，F(xiàn)為圓心，以長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)G；③作射線交于點(diǎn)E．若，，則的長為（）

A．4B．C．D．

【答案】D

【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：由題意得CG為直線DF的垂直平分線，

∴CE⊥DF，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD=CB=5，AD∥CB，

∴∠ADB=∠CBD，

∴，

∴CE=2，

∴由勾股定理得，

故答案為：D.

【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得到CE⊥DF，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到AD=CB=5，AD∥CB，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADB=∠CBD，再解直角三角形即可得到CE的長，進(jìn)而運(yùn)用勾股定理即可求解。

3．（2023·碑林模擬）如圖，正方形的對角線，相交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，若，則線段的長為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H，

∵正方形BCD的對角線相交于點(diǎn)O，

∴AC⊥BD，∠DAO=45°，

∴cos∠DAO=cos45°=，

∴，

∵DE平分∠ADO，EO⊥BD，EH⊥AD，

∴EH=EO，

設(shè)EH=EO=x，則AE=-x，

在Rt△AEH中∠HAE=45°，

∴AH=EH=x，

由勾股定理得AH2+EH2=AE2，即x2+x2=（-x）2，

解得x=（負(fù)值已舍），

∴線段OE的長為.

故答案為：.

【分析】過點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H，由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，∠DAO=45°，由∠DAO的余弦函數(shù)及特殊銳角三角函數(shù)值可求出AO=，由角平分線的性質(zhì)得EH=EO，設(shè)EH=EO=x，則AE=-x，由等腰直角三角形性質(zhì)得AH=EH=x，在Rt△AEH中，由勾股定理建立方程可求出x的值，從而得出答案.

4．（2023·玉溪模擬）如圖，在中，，設(shè)所對的邊邊長分別為a，b，c，則下列等式正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【解答】在△ABC中，∠A＝90°

tanB=，sinB=

∴四個選項中，只有D選項符合題意

【分析】根據(jù)正切是對邊與另外一條直角邊的比值，正弦是對邊與斜邊的比值進(jìn)行逐一判斷即可．

5．（2023·永康模擬）一沙灘球網(wǎng)支架示意圖如圖所示，AB=AC=a米，∠ABC=a，則最高點(diǎn)A離地面BC的高度為()

A．米B．米C．米D．米

【答案】D

【知識點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴AD=ABsin∠B=asinα.

故答案為：D

【分析】利用垂直的定義可證得∠ADB=90°，再利用銳角三角函數(shù)的定義可求出AD的長.

6．（2023·黑龍江）如圖，在正方形中，點(diǎn)分別是上的動點(diǎn)，且，垂足為，將沿翻折，得到交于點(diǎn)，對角線交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論正確的是：①；②；③若，則四邊形是菱形；④當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到的中點(diǎn)，；⑤．（）

A．①②③④⑤B．①②③⑤C．①②③D．①②⑤

【答案】B

【知識點(diǎn)】菱形的判定；正方形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，

∵AF⊥DE，

∴∠BAF+∠AED=90°，

∵∠BAF+∠AFB=90°，

∴∠AED=∠BFA，

在△ABF和△DAE中，

∵∠ABF=∠DAE=90°，∠BFA=∠AED，AB=DA，

∴△ABF≌△DAE(AAS)，

∴AF=DE，故①正確；

∵將△ABF沿AF翻折得到△AMF，

∴BM⊥AF，

∵AF⊥DE，

∴BM∥DE，故②正確；

當(dāng)CM⊥FM時，∠CMF=90°，

∵∠AMF=∠ABF=90°，

∴∠AMF+∠CMF=180°，即A，M，C在同一直線上，

∴∠MCF=45°，

∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，

由翻折的性質(zhì)可得：∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，

∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，

∴BC∥MH，HB∥MF，

∴四邊形BHMF是平行四邊形，

∴BF=MF，

∴平行四邊形BHMF是菱形，故③正確；

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AB的中點(diǎn)，

設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，則AE=BF=a，

在Rt△AED中，，

∵∠AHD=∠FHB，∠ADH=∠FBH=45°，

∴△AHD∽△FHB，

∴，

∴，，

∴，，

∵∠BHF=∠DHA，

∴在Rt△DGH中，tan∠BHF=tan∠DHA==3，故④錯誤；

∵△AHD∽△FHB，

∴，

∴，，

∵AF⊥EP，

根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，

∴，，∴EP·DH=2AG·BH，故⑤正確，

綜上分析可知，正確的是①②③④⑤.

故答案為：B.

【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)及垂直的定義，由同角的余角相等得∠AED=∠BFA，從而由AAS判斷出△ABF≌△DAE，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得AF=DE，故①正確；由翻折的性質(zhì)得BM⊥AF，由同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行得BM∥DE，故②正確；首先判斷出A，M，C在同一直線上，由正方形的性質(zhì)得∠MCF=45°，由三角形的內(nèi)角和定理得∠MFC=90°-∠MCF=45°，則∠HMF=∠MFC=45°，∠HBC=∠MFC=45°，推出BC∥MH，HB∥MF，由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形得四邊形BHMF是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得平行四邊形BHMF是菱形，故③正確；當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AB的中點(diǎn)，設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，則AE=BF=a，在Rt△AED中，由勾股定理用含a的式子表示出DE，進(jìn)而根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得△AHD∽△FHB，由相似三角形對應(yīng)邊成比例建立方程分別用含a的式子表示出EG、AG，進(jìn)而再根據(jù)線段的和差分別表示出DG、GH，再由等角的同名三角函數(shù)值相等可判斷出④；由相似三角形對應(yīng)邊成比例建立方程表示出BH、DH、由折疊得，進(jìn)而分別算出EP·DH與2AG·BH，即可判斷⑤.

7．（2023·姜堰模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在直線l上，以A為圓心，為半徑的圓與y軸的另一個交點(diǎn)為E，給出如下定義：若線段，和直線l上分別存在點(diǎn)B，點(diǎn)C和點(diǎn)D，使得四邊形是矩形（點(diǎn)順時針排列），則稱矩形為直線l的“理想矩形”.例如，右圖中的矩形為直線l的“理想矩形”.若點(diǎn)，則直線的“理想矩形”的面積為（）

A．12B．C．D．

【答案】B

【知識點(diǎn)】一次函數(shù)的圖象；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接、，如圖.

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，，.

點(diǎn)在直線上，

，

解得.

設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，

當(dāng)時，，點(diǎn)，，

，

，.

在中，.

在中，.

所求“理想矩形”面積為；

故答案為：B.

【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接、，由點(diǎn)A坐標(biāo)可求出AC=AO=5，AF=3，OF=4，將點(diǎn)代入中求出k=1，即得y=x+1，可得G（0，1），△FGA為等腰直角三角形，可得∠FGA=45°，AG=3，利用解直角三角形求出AB的長，再利用勾股定理求出BC，根據(jù)矩形的面積公式計算即可.

8．（2022八下·南潯期末）趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，形成一個大正方形，中間是一個小正方形（如圖所示）．某次課后服務(wù)拓展學(xué)習(xí)上，小潯繪制了一幅趙爽弦圖，她將EG延長交CD于點(diǎn)Ｉ．記小正方形EFGＨ的面積為Ｓ1，大正方形ABCD的面積為Ｓ2，若DＩ＝2，CＩ＝1，Ｓ2＝5Ｓ1，則GＩ的值是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的應(yīng)用；解直角三角形

【解析】【解答】解：過點(diǎn)I作IM⊥HC于點(diǎn)M，

∵正方形EFGH，

∴∠HGE=∠IGM=45°，

∴IM=GM，

∵DＩ＝2，CＩ＝1，

∴CD=DI+CI=2+1=3

∵記小正方形EFGＨ的面積為Ｓ1，大正方形ABCD的面積為Ｓ2，Ｓ2＝5Ｓ1，

∴5Ｓ1=9

解之：

∴HG=

∵趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，

∴DH=CG，

設(shè)DH=CG=x，則HC=+x，

在Rt△DHC中

DH2+CH2=DC2即

解之：（取正值），

∴

設(shè)IM=GM=a，

在Rt△CMI中，IM2+CM2=CI2

∴

解之：

在等腰直角△IGM中

.

故答案為：A.

【分析】過點(diǎn)I作IM⊥HC于點(diǎn)M，利用正方形的性質(zhì)可證得∠HGE=∠IGM=45°，可推出IM=GM，同時可求出CD的長；利用已知條件求出HG的長；利用大正方形中的四個直角三角形全等，可證得HD=CG，設(shè)DH=CG=x，可表示出CH的長；再利用勾股定理可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，可得到CG的長；設(shè)IM=GM=a，在Rt△CMI中，利用勾股定理可得到關(guān)于a的方程，解方程求出a的值，然后利用解直角三角形求出GI的長.

二、填空題

9．（2023·呈貢模擬）在中，，，則．

【答案】

【知識點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【解答】解：由題意得在中，，

故答案為：

【分析】根據(jù)題意直接運(yùn)用解直角三角形的知識即可求解。

10．（2023·長寧模擬）如圖，在菱形中，對角線與交于點(diǎn)O，已知，，如果點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，那么．

【答案】5

【知識點(diǎn)】勾股定理；菱形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，

∴DB⊥CA，OA=OC，，

∵，

∴OC=OA=6，

由勾股定理得，

∵E是邊的中點(diǎn)，

∴，

故答案為：5

【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到DB⊥CA，OA=OC，，再結(jié)合解直角三角形的知識即可得到OC=OA=6，再根據(jù)勾股定理求出BA的長，進(jìn)而結(jié)合題意即可求解。

11．（2023七下·長沙期中）一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)在的延長線上，，則°．

【答案】15

【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】

解：如圖

∵AB∥CF，∠A=60°，

∴∠ACM=∠A=60°，

∵∠BCA=0°，

∴∠BCD=30°，

∵∠EFD=90°，∠E=45°，

∴∠EDC=∠E+∠EFD=135°，

∴∠DBC=180°-30°-135°=15°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ACM，根據(jù)平角求出∠BCD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠BDC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．

12．（2023·南充）如圖，在等邊中，過點(diǎn)C作射線，點(diǎn)M，N分別在邊，上，將沿折疊，使點(diǎn)B落在射線上的點(diǎn)處，連接，已知．給出下列四個結(jié)論：①為定值；②當(dāng)時，四邊形為菱形；③當(dāng)點(diǎn)N與C重合時，；④當(dāng)最短時，．其中正確的結(jié)論是（填寫序號）

【答案】①②④

【知識點(diǎn)】三角形的面積；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；菱形的判定；翻折變換（折疊問題）；解直角三角形

【解析】【解答】解：

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=CB=AC=2，∠B=60°，

由折疊得B'N=BN，∠B=∠MB'N=60°，

∴，

∴為定值，①正確；

∵，

∴，

∴∠B'NC=60°=MB'N=∠B，

∴BM∥B'N，MB'∥BC，

∴四邊形為平行四邊形，

∵B'N=BN，

∴四邊形為菱形，②正確；

如圖：點(diǎn)N與C重合，

∵，

∴∠DCB=90°，

由折疊可知BC=B'C，

∴∠B'CA=30°，CB'=CA，

∴∠CB'A=∠B'AC=75°，

∴，③錯誤；

當(dāng)最短時，DC⊥AB'，

過點(diǎn)M作EM⊥CB于點(diǎn)E，連接BB'交NM于點(diǎn)O，如圖所示：

∵∠B'CA=30°，CA=2，

∴，

∴由勾股定理得，

由折疊得，

設(shè)NB=NB'=x，則NC=2-x，

由勾股定理得，

解得，

設(shè)BE為a，則

由勾股定理得，

∴（等面積法），

解得，

∴，④正確，

故答案為：①②④

【分析】①先根據(jù)等邊三角形得到性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)即可得到AB=CB=AC=2，∠B=60°，B'N=BN，∠B=∠MB'N=60°，進(jìn)而結(jié)合題意即可求解；②先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得到∠B'NC=60°=MB'N=∠B，再運(yùn)用平行線的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定即可求解；③根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到BC=B'C，再結(jié)合題意即可求解；④當(dāng)最短時，DC⊥AB'，過點(diǎn)M作EM⊥CB于點(diǎn)E，連接BB'交NM于點(diǎn)O，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得到，再根據(jù)勾股定理即可求出，再運(yùn)用折疊的性質(zhì)即可得到，設(shè)NB=NB'=x，則NC=2-x，運(yùn)用勾股定理即可求出BN的長，設(shè)BE為a，則根據(jù)勾股定理結(jié)合三角形的等面積法即可求出a的值，進(jìn)而即可求解。

13．（2023·長寧模擬）如圖，將平行四邊形沿著對角線翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，交于點(diǎn)，如果，，且，那么平行四邊形的周長為．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】4.96m

【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；解直角三角形

【解析】【解答】解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作NF⊥BC于點(diǎn)F，如圖所示：

由折疊可知∠ACB=∠ACM，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，，

∴∠D=76°，AB∥CD，

∴∠ACB=∠CAD，

∴∠CAD=∠ACM，

∴△CNA為等腰三角形，

∴CN=AN，

設(shè)∠MCD=a，則∠ACM=∠BCA=a+10°，

∴a+2(a+10°)+76°=180°，

解得a=28°，

∴∠MCB=76°，

∴CF=NCcos76°=0.24m，BE=BAcos76°=0.24m，

∴BC=EB+EF+CF=1.48m，

∴平行四邊形的周長為2×（1+1.48）=4.96m，

故答案為：4.96m

【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作NF⊥BC于點(diǎn)F，先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠ACB=∠ACM，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠D=76°，AB∥CD，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合題意得到∠CAD=∠ACM，再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)得到CN=AN，設(shè)∠MCD=a，則∠ACM=∠BCA=a+10°，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可求出a的值，進(jìn)而得到∠MCB=76°，最后再解直角三角形結(jié)合平行四邊形的周長公式即可求解。

三、解答題

14．（2023·徐匯模擬）如圖，在中，已知．點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，求的長．

【答案】解：在中，，

設(shè)，

∴，

在中，，

∴，

∴．

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

【知識點(diǎn)】勾股定理；解直角三角形

【解析】【分析】設(shè)，利用勾股定理可得AC=12k，利用線段的和差求出，再結(jié)合，可得，求出k的值，最后求出CD的長即可。

15．（2022九上·江門期末）中，，，，求邊的長度．

【答案】解：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．

，，，

，．

在中，

，

，，

，．

在中，

，

．

．

【知識點(diǎn)】解直角三