統(tǒng)計(jì)概率高考試題(答案)

統(tǒng)計(jì)概率高考試題(答案)1.在某次測量中，A樣本數(shù)據(jù)為82，84，84，86，86，86，88，88，88，88。若B樣本數(shù)據(jù)是A樣本數(shù)據(jù)都加2后所得數(shù)據(jù)，則A、B兩樣本的標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)應(yīng)相同。2.交通管理部門為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員對(duì)某新法規(guī)的知曉情況，對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層抽樣調(diào)查。假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人。若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為808人。3.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。為掌握各類超市的營業(yè)情況，現(xiàn)按分層抽樣方法抽取一個(gè)容量為100的樣本，應(yīng)抽取中型超市25家。4.對(duì)某商店一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到樣本的莖葉圖。則該樣本的中位數(shù)為46，眾數(shù)為45，極差為56-45=11。5.容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表。則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40]的頻率為0.45。6.由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標(biāo)準(zhǔn)差等于1，則這組數(shù)據(jù)為1,1,3,3。7.根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫?cái)?shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是［20.5，26.5］，樣本數(shù)據(jù)的分組為[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]。已知樣本中平均氣溫低于22.5℃的城市個(gè)數(shù)為11，則樣本中平均氣溫不低于25.5℃的城市個(gè)數(shù)為9。8.圖2是某學(xué)校一名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則該運(yùn)動(dòng)員在這五場比賽中得分的方差為135。注：方差s2=1/(2n)[(x1-x)^2+(x2-x)^2+...+(xn-x)^2]，其中x為x1，x2，…，xn的平均數(shù)。解析：方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)的離散程度的，它越小表示數(shù)據(jù)越集中。其中，x為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，n為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。方差的計(jì)算公式為上述公式。需要注意的是，方差的單位是原數(shù)據(jù)的單位的平方。某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3:3:4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級(jí)抽取15名學(xué)生。解析：分層抽樣是一種常用的抽樣方法，它可以保證樣本的代表性。在這道題中，高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3:3:4，因此我們可以按照這個(gè)比例來確定樣本中來自不同年級(jí)的學(xué)生數(shù)。樣本總?cè)藬?shù)為50，因此從高二年級(jí)抽取的人數(shù)應(yīng)為50*（3/10）=15人。袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（B）。解析：從袋中任取兩球，共有C6^2=15種取法。其中，顏色為一白一黑的取法有2*3=6種，即先取一個(gè)白球再取一個(gè)黑球，或者先取一個(gè)黑球再取一個(gè)白球。因此，兩球顏色為一白一黑的概率為6/15=2/5，選項(xiàng)B正確。設(shè)不等式組{x≤2,y≤2}表示平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（D）。解析：不等式組{x≤2,y≤2}表示的區(qū)域是一個(gè)邊長為2的正方形，如圖所示。而點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域是圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓的外部區(qū)域。因此，所求概率為圓的面積除以正方形的面積，即P=π*2^2/(2*2)=π/2，選項(xiàng)D正確。在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C?，F(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC、CB的長，則該矩形面積大于20cm的概率為(C)。解析：設(shè)線段AC的長為xcm，則線段CB的長為(12-x)cm。根據(jù)題意，矩形的面積為S=x(12-x)cm^2，而S>20，解得2<x<10。又因?yàn)閤的取值范圍為0<x<12，因此該矩形面積小于32cm^2的概率為(2*10)/(12*12)=5/9，因此該矩形面積大于20cm^2的概率為1-5/9=4/9，選項(xiàng)C正確。從邊長為1的正方形的中心和頂點(diǎn)這五點(diǎn)中，隨機(jī)（等可能）取兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的距離小于1的概率為(A)。解析：從正方形的中心和頂點(diǎn)這五點(diǎn)中隨機(jī)取兩點(diǎn)，共有C5^2=10種取法。其中，距離小于1的取法有4種，即中心和任一頂點(diǎn)的連線，以及相鄰頂點(diǎn)之間的連線。因此，這兩點(diǎn)之間的距離小于1的概率為4/10=2/5，選項(xiàng)A正確。14、已知等比數(shù)列首項(xiàng)為1，公比為-3，其中有5個(gè)數(shù)小于8，從中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，它小于8的概率是3/5。15、從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于11/30。16、甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，甲隊(duì)只要贏一次就獲冠軍，乙隊(duì)需要贏兩次才能得冠軍，若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為3/4。17、從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概率是1/3。18、從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，則所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是9/10。19、袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)分別為1，2。（I）從五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率為1/5。（II）現(xiàn)袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為4的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率為1/2。20、某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售。如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理。（Ⅰ）設(shè)當(dāng)天需求量為n（單位：枝，n∈N），則當(dāng)天的利潤y為：y=5n，當(dāng)n≤17；y=10×17，當(dāng)n>17。（Ⅱ）設(shè)當(dāng)天需求量為n（單位：枝，n∈N），則當(dāng)天的利潤為y=5n，當(dāng)n≤17；y=10×17，當(dāng)n>17。根據(jù)頻率作為概率的條件概率公式，可得當(dāng)天需求量為n時(shí)，利潤不少于75元的概率為P(n≥8)=0.1+0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.8。21、某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為1/10和p。（Ⅰ）根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式，可得至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為1-P(A和B同時(shí)發(fā)生故障)=1-P(A發(fā)生故障)×P(B發(fā)生故障)=1-(1/10)×p=49/50，解得p=41/50。（Ⅱ）設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為X，則X服從參數(shù)為3、概率為1-p的二項(xiàng)分布。所求概率為P(X>1)=1-P(X≤1)=1-[P(X=0)+P(X=1)]=1-[C(3,0)×(1-p)^3+C(3,1)×(1-p)^2×p]=1-(1-p)^2(3p+2)，代入p=41/50，可得概率為0.743。22、甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束，設(shè)甲每次投籃投中的概率為1/3，乙每次投籃投中的概率為1/2，且各次投籃互不影響。（Ⅰ）求乙獲勝的概率。乙獲勝的條件是在前6次投籃中，乙先投中或者甲投中的次數(shù)不超過2次。根據(jù)組合數(shù)學(xué)知識(shí)，可得乙獲勝的概率為P=C(6,0)×(1/2)^3×(2/3)^3+C(6,1)×(1/2)^3×(2/3)^2+C(6,2)×(1/2)^3×(2/3)^1=67/144。（Ⅱ）求投籃結(jié)束時(shí)乙只投了2個(gè)球的概率。根據(jù)條件概率公式，可得P(乙只投了2個(gè)球)=P(甲投中1次且乙未投中)+P(乙投中1次且甲未投中)=C(3,1)×(1/3)×(2/3)^2×C(2,2)×(1/2)^2+C(3,2)×(1/3)^2×(2/3)×C(2,1)×(1/2)=7/27。4、[2011·陜西卷]根據(jù)給出的三視圖，可以確定該幾何體是一個(gè)棱長為2的正方體中間挖去一個(gè)半徑為1，高為2的圓錐。根據(jù)公式，可以計(jì)算出該幾何體的體積為V=2×2×2-π×1×2=8-π，選擇B。5、【2012高考新課標(biāo)】根據(jù)題目所給條件，可以計(jì)算出球的半徑為2，根據(jù)球體積公式，可以計(jì)算出該球的體積為43π，選擇B。6、【2012高考全國】根據(jù)題目所給條件，可以確定四棱柱ABCD-A1B1C1是一個(gè)棱長為2的正四棱柱。根據(jù)幾何知識(shí)，可以得知直線AC1與平面BED平行，且點(diǎn)C到平面BED的距離等于CF。通過計(jì)算，可以得出CF=1，因此直線AC1與平面BED的距離為1，選擇D。7、在三棱錐O-ABC中，OA、OB、OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB的中點(diǎn)。根據(jù)幾何知識(shí)，可以得知OM與平面ABC所成角的正弦值等于1/2。8、如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)。根據(jù)幾何知識(shí)，可以得知異面直線AB1和BM所成的角的大小為45°。9、如圖，正四面體S-ABC中，E、F分別是SC、AB的中點(diǎn)。根據(jù)幾何知識(shí)，可以得知異面直線EF與SA所成的角等于45°。10、[2011·四川卷]如圖1-5，在直三棱柱ABC-A1D中，AB=2，AD=4，AE=2，AF=√10。根據(jù)幾何知識(shí)，可以得知異面直線AE和BF所成的角為60°。在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝BC＝1，延長AC至點(diǎn)P，使CP＝AB，連結(jié)AP交邊BC于點(diǎn)D。(1)證明：PB∥平面BDA；(2)求二面角A－AD－B的平面角的余弦值。解法一：(1)連接AB與BA'交于點(diǎn)O，連結(jié)OD。因?yàn)镃D∥AA'，AC＝CP，所以AD＝PD，又AO＝BO，所以O(shè)D∥PB。又因?yàn)镺D?平面BDA，PB?平面BDA，所以PB∥平面BDA。(2)過A作AE⊥DA'于點(diǎn)E，連結(jié)BE。因?yàn)锽A⊥CA，BA⊥AA'，且AA'∩AC＝A，所以BA⊥平面AA'C。由三垂線定理可知BE⊥DA'。所以∠BEA為二面角A－AD－B的平面角。在直角三角形A'CD中，AD＝√5，S△AA'D＝1/2×1×1＝1/2，所以AE＝√5/2。在直角三角形BAE中，BE＝√2，所以cos∠BEA＝AE/BE＝√5/2√2。所以二面角A－AD－B的平面角的余弦值為√5/3。解法二：以A'為原點(diǎn)，A'B'，A'C'，AA'所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)'－xyz，則A'(0,0,0)，B'(1,0,0)，C'(0,1,0)，B(1,0,1)，P(0,2,0)。(1)在△PAA'中有CD＝AA'，即D(1/2,1/2,0)。設(shè)平面BDA的一個(gè)法向量為n＝(a，b，c)，則AB＝a＋c，n·AD＝b＋c＝0。令c＝－1，則n＝(1，1，－1)。因?yàn)閚·BP＝1×(－1)＋1×2＋(－1)×0＝0，所以PB∥平面BDA。(2)由(1)知，平面BA'D的法向量為n＝(1，1，－1)。所以cos∠BEA＝n·BA/(|n||BA|)＝(1×1＋1×0＋－1×1)/(√3√2)＝√5/3。D的一個(gè)法向量n1=(1,-1,2)，另一個(gè)法向量n2=(1,0,0)是平面AA1D的法向量。因?yàn)閚1·n2=12，所以cos〈n1，n2〉=1/√6。由此可得二面角A-A1D-B的平面角的余弦值為1/√6。在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD的中點(diǎn)。(1)證明PB∥平面ACM：連接BD，MO。由于O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)是BD的中點(diǎn)。又因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以PB∥MO。因?yàn)镻B?平面ACM，MO?平面ACM，所以PB∥平面ACM。(2)證明AD⊥平面PAC：由于∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC。又因?yàn)镻O⊥平面ABCD，AD?