概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件數(shù)學(xué)期望

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件數(shù)學(xué)期望第1頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)期望的引例MathematicalExpectation例如：某7人的高數(shù)成績?yōu)?0，85，85，80，80，75，60，則他們的平均成績?yōu)橐灶l率為權(quán)重的加權(quán)平均第2頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)期望E(X)MathematicalExpectation定義設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作E（X），即第3頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月XP41/451/261/4數(shù)學(xué)期望的計(jì)算已知隨機(jī)變量X的分布律：例求數(shù)學(xué)期望E（X）解第4頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X)連續(xù)型隨機(jī)變量定義設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),則即第5頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)期望的計(jì)算已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為例

求數(shù)學(xué)期望。解

第6頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)期望的意義試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，X的觀測值的算術(shù)平均值在E(X)附近擺動數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望值(ExpectedValue)，均值(Mean)E(X)反映了隨機(jī)變量X取值的“概率平均”,是X的可能值以其相應(yīng)概率的加權(quán)平均。第7頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量第8頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為例(1)求k(2)求X和Y的邊緣密度(3)求E(X),E(Y).第9頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)由解所以所以得113時(shí)(2)第10頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月（３）時(shí)113第11頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月113（３）另解無需求邊緣分布密度函數(shù)第12頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理1：一維情形設(shè)是隨機(jī)變量X的函數(shù),離散型連續(xù)型概率密度為第13頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月服從

已知上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望。因?yàn)?/p>

所以

例解第14頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理2：二維情形聯(lián)合概率密度為設(shè)是隨機(jī)變量X，Y的函數(shù),連續(xù)型離散型第15頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月15例設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X，Y的密度函數(shù)分別為

求E（XY）解

第16頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)相互獨(dú)立時(shí)當(dāng)隨機(jī)變量.C為常數(shù)..第17頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)（X,Y）在由4個(gè)點(diǎn)（0，0）（3，0），（3，2),(0,2)決定的矩形域內(nèi)服從均勻分布，求E(X+Y),E(X2)E(Y2),E(XY).302練一練答案：第18頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月0-1分布的數(shù)學(xué)期望X服從0-1分布，其概率分布為P(X=1)=pP(X=0)=1-pXP011-pp若X服從參數(shù)為p的0-1分布，則E(X)=p分布律數(shù)學(xué)期望第19頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月IfX~B(n,p),thenE(X)=np二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望分布律X服從二項(xiàng)分布，其概率分布為數(shù)學(xué)期望二項(xiàng)分布可表示為個(gè)０－１分布的和其中則第20頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月泊松分布的數(shù)學(xué)期望If,then

分布律數(shù)學(xué)期望第21頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月均勻分布的期望分布密度數(shù)學(xué)期望第22頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月X~N(μ，σ2）正態(tài)分布的期望分布密度數(shù)學(xué)期望第23頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月指數(shù)分布的期望分布密度數(shù)學(xué)期望第24頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個(gè)應(yīng)用AnapplicationofExpectedValueinMedicine考慮用驗(yàn)血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每10個(gè)人一組，把這10個(gè)人的血液樣本混合起來進(jìn)行化驗(yàn)。如果結(jié)果為陰性，則10個(gè)人只需化驗(yàn)1次；若結(jié)果為陽性，則需對10個(gè)人在逐個(gè)化驗(yàn)，總計(jì)化驗(yàn)11次。假定人群中這種病的患病率是10%，且每人患病與否是相互獨(dú)立的。試問：這種分組化驗(yàn)的方法與通常的逐一化驗(yàn)方法相比，是否能減少化驗(yàn)次數(shù)？分析：設(shè)隨機(jī)抽取的10人組所需的化驗(yàn)次數(shù)為X我們需要計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望，然后與10比較第25頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1，11先求出化驗(yàn)次數(shù)X的分布律。(X=1)=“10人都是陰性”（X=11)=“至少1人陽性”結(jié)論：分組化驗(yàn)法的次數(shù)少于逐一化驗(yàn)法的次數(shù)注意求X期望值的步驟！第26頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月1、概率p對是否分組的影響問題的進(jìn)一步討論若p=0.2，則當(dāng)p>0.2057時(shí)，E(X)>102、概率p對每組人數(shù)n的影響當(dāng)p=0.2時(shí)，可得出n<10.32，才能保證EX<10.當(dāng)p=0.1時(shí)，為使第27頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年