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文檔簡介
第四講圓錐曲線中得定點定值問題一、直線恒過定點問題例1、已知動點在直線上,過點分別作曲線得切線, 切點為、,求證:直線恒過一定點,并求出該定點得坐標(biāo);解:設(shè),x2 1過點A的拋物線切線方程為y--=—x(x—x),:切線過E點整理得:\o"CurrentDocument"4 21 1同理可得:\o"CurrentDocument"/.x,x是方程x2-2ax-8=0的兩根/.x+x=2a,x-x=—8,又12 1 2 12,、例2、已知點就是橢圓上任意一點,直線得方程為, 直線過P點與直線垂直,點M(-1,0)關(guān)于直線得對稱點為N,直線PN恒過一定點G,求點G得坐標(biāo)、解:直線得方程為,即設(shè)關(guān)于直線得對稱點得坐標(biāo)為則,解得直線得斜率為從而直線得方程為:即從而直線恒過定點二、恒為定值問題例3、已知橢圓兩焦點、在軸上,短軸長為,離心率為,就是橢圓在第一 象限弧上一點,且,過P作關(guān)于直線F1P對稱得兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點。(1)求P點坐標(biāo);(2)求證直線AB得斜率為定值;解:(1)設(shè)橢圓方程為,由題意可得,所以橢圓得方程為則,設(shè)
則點在曲線上,則從而,得,則點得坐標(biāo)為。(2)由(1)知軸,直線PA、PB斜率互為相反數(shù),設(shè)PB斜率為,則PB得直線方程為:由得設(shè)則同理可得,則所以直線AB得斜率為定值、例4、已知動直線與橢圓相交于、兩點,已知點,求證:為定值。解:將代入中得,,所以、課后作業(yè):1、在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓、如圖所示,斜率為且不 過原點得直線交橢圓于,兩點,線段得中點為,射線交橢圓于點,交直線于點、(I)求得最小值;(II)若?,求證:直線過定點;解:(1)由題意:設(shè)直線,由消y得:,設(shè)A、B,AB得中點E,則由韋達(dá)定理得:=,即,,所以中點E得坐標(biāo)為,因為O、E、0三點在同一直線上,所以,即,解得,所以=,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號, 即得最小值為2。(II)證明:由題意知:n〉0,因為直線OD得方程為,所以由得交點G得縱坐標(biāo)為,又因為,,且?,所以,又由(I)知:,所以解得,所以直線得方程為,即有,令得,y=0,與實數(shù)k無關(guān),所以直線過定點(—1,0)、2、 已知點為曲線上得一點,若,就是否存在垂直軸得直線 被以為直徑得圓截得得弦長恒為定值?若存在,求出直線得方程;若不存在, 請說明理由。解:設(shè)得中點為,垂直于軸得直線方程為,以為直徑得圓交于兩點,得中點為、所以,令,則對任意滿足條件得,都有(與無關(guān)),即為定值、已知拋物線6=酎的焦點為F,A、E是拋物線上的兩動點,且萬=人而。>。),過A、E兩點分別作拋物級的切級,設(shè)其交點為M.(I)證明前一石為定值;(n)設(shè)色AEM的面積為S,寫出S=f(7.)的恚達(dá)式,并求S的最小值,革若;解:門)設(shè)A ,0),B丘二,y.,HS/yJ,隹直F(□,口,準(zhǔn)手方程為1-L,顯總必料率存在且過F(Q,1)力地官線方程為t=&k+],聯(lián)立q?=/消去,用:2二qkK-q=ci,一■式占=利〔小+口>o.Z1+l2=4fc?芭13c2=-4于是曲紙dy二工?上任意一臣制軍為了'二:,則易得切緣LN,EM方程分別.為JT二£;)(:x-K1)十yjy=t;】工2( )+y-■*其中4丫.=、4q兀=9;,聯(lián)立方程易解得交點M坐標(biāo),W『上二Xsk,九=芋=-1,印劉44^,-□從而,兩'二t三*'7、,7s[工廠工.,y;-T-JFA/ (e--H£z)<h2-z.}-2(7--7-3=方門「kJJ-31j〔n「k[巧]=0■(定值)命巽得證.速就浪用AE_LFIL(口》由<I)物在△研N中,FNXABn因而5=^|AB||FH|.,;方=%而{入>吐-£]■1一了1)二k‘童■:,7-一!■),即,-.二%1-g=此々-4而■1丁.=h.',dy-=H則k,=7,Max,,,工「:r7 1?=戶力因為|即|、|BF分別等于。、E到拋糖姨難就y=-L的痘若,所以于是出網(wǎng)[FM|]印《〕"且當(dāng)k=j時,5取徨最小值■1-:2(Hd-東莞二橫)如圖?已知朝國二:(a>b>D)的離心率為,,以楠國匚的左頂點T為國。作回I::(r>0)-設(shè)同I與腌同。交于點N與點H.L1求橢圓匚的方程::2J京R??云的最小值,并求此時回I的方程;:3)設(shè)點P是鞘圖。上異于H,H的任理一點,目亙蛾MF,KF■分別與H軸交于卓氏,斗0為縷標(biāo)原點,求證:強(qiáng),I彘I為定值--解:tl)依用意I自好?,€二^?二¥,-"1c=j31b-J4-3=1?故插測匚的方程為2t>L=k…《3分》4';2:'方也一:點H與點N關(guān)于苴軸對郡,世N(k1■?了/!Hf啊!!一〃,,不妨設(shè)%>口,由于點M在鞘回二上,斯心」二1一乜
1 4…E分)由已知T"2,0?.叫門j=Qr[-3丁/TN ->'/二/“水=b]-,了]卜仁[十?7-.)-1)=(jc.+2)三->j二(工產(chǎn))]-[[-工)=;、之一%74=;住]T產(chǎn)-’6守'由于-2F1vz.也當(dāng)、二q時,-tai,五取得最小值為w由£*)式,>![=?,也j*一,尺點M在圖1上,代入圖的方程得到『二4?故圜工的方程為:(xi-2)2+Z=1^.-(8^)(3)方法一:設(shè)F(K:o9jr)9V17“1劃亙線MF的方程為:F-%二皂2,%-二卜U%-,”當(dāng)了=口,得Mr尤?戶訪
y】工^,"V1Hg-支口=-,…??谟?flI拉-、?、=—1/r口口…(11分]“寸I兄點H與.白下在癰限1上,故為)ij-1{1->/)?-U2B)代久,d式,Xi打巧^Jftl|0R|■|051=lxpI-Ixs-k,M-當(dāng)】=4.」二日為定值.-<14U-)方法二:設(shè)II(2co30?sinS):,If(2cos0?-3in9>串不妨設(shè)wlilB>口:,P(Zcosa?sina):,其中;slubiH±emH,則宜虢MF的方程為:》一宜皿二二;?一;:,^
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