2017-2021北京初三（上）期中數(shù)學(xué)匯編：圓周角

2017-2021北京初三（上）期中數(shù)學(xué)匯編

圓周角

一、單選題

1.（2021?北京海淀?九年級期中）如圖,48是半圓。的直徑，點C,。在半圓。上.若NA3C=5O。，則NBDC

A.90°B.100°C.130°D.140°

2.（2020.北京豐臺.九年級期中）如圖,在。O中，AB是直徑，弦AC=5,ZBAC=ZD.則AB的長為（)

A.5B.10C.50D.10>/2

3.（2017?北京海淀?九年級期中）如圖,A、B、C是。。上的三個點，若NC=35。，則/OA8的度數(shù)是（)

B.55°C.65°D.70°

4.（2019?北京朝陽?九年級期中）如圖,A3是。。的直徑，弦CQ1A8,ZCDB=30°,CD=6,陰影部分圖形的面

積為（）

3兀C.2兀D.71

5.（2021?北京大興?九年級期中）如圖,點P為。O外一點，點A、B在圓上，PA,PB交優(yōu)弧AB于點C、D,若

ZAOB=60°,則判斷/APB大小正確的是（）

G

也

A.ZAPB=30°B.ZAPB>30°C.ZAPB<30°D.不能確定

6.（2019?北京朝陽?九年級期中）如圖，是。O的直徑，CD是。。的弦，NABD=59。，則NC等于（）

二、填空題

7.（2018?北京海淀?九年級期中）如圖，。。的動弦A8,CQ相交于點E,且=ABED=a

（0°<?<90°）.在①NBOD=a,（2）ZOAB=90°-a,③NABC=gc中，一定成立的是（填序號）.

8.（2021?北京大興?九年級期中）如圖，。。是AABC的外接圓，ZOCB=30°,則NA的度數(shù)等于.

9.（2019.北京朝陽?九年級期中）閱讀下面材料：

在數(shù)學(xué)課上，老師提出利用尺規(guī)作圖完成下面問題:

已知：NACB是△ABC的一個內(nèi)角.

求作：

小明的做法如下：

如圖

①作線段AB的垂直平分線加

②作線段8c的垂直平分線小與直線機交于點O；

③以點。為圓心，0A為半徑作AABC的外接圓；

④在弧ACB上取一點P,連結(jié)AP,BP.

所以NAP8=NACB.

老師說：“小明的作法正確.”

請回答：

（1）點。為△4BC外接圓圓心（即。4=08=00的依據(jù)是:

（2）/APB=NAC8的依據(jù)是.

10.（2021?北京大興?九年級期中）如圖，AC與8。交于P,AD,8c延長交于點E,NAEC=37。，ZCAE=31°,則

11.（2021?北京海淀?九年級期中）已知：A,B是直線/上的兩點.求作：△ABC,使得點C在直線/上方，且

ZAG5=150°.

~~AB1

作法：

①分別以A,B為圓心，A3長為半徑畫弧，在直線/下方交于點。；

②以點。為圓心，長為半徑畫圓；

③在劣弧AB上任取一點C（不與A,B重合），連接AC,BC.

△ABC就是所求作的三角形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）：

（2）完成下面的證明.

證明：在優(yōu)弧人8上任取一點M（不與A,B重合），連接A",BM,0A,08.

OA=OB=AB，

“Mb是等邊三角形.

???ZAOB=60°.

???A,B,M在。。上,

=（）（填推理的依據(jù)）.

??,四邊形AC3M內(nèi)接于。。，

ZAAffi+ZACB=180°（）（填推理的依據(jù)）.

ZACfi=150°.

12.（2020?北京豐臺?九年級期中）如圖，AB為。O的直徑，C,D是。O上的點，P是。。外一點，ACLPD于點

E,AD平分/BAC.

（1）求證：PD是。O的切線；

（2）若DE=Vi,,/BAC=60。，求。O的半徑.

13.（2020.北京豐臺.九年級期中）下面是“作已知三角形的高”的尺規(guī)作圖過程.

已知：MBC.

求作：8c邊上的高AD.

作法：如圖，

①分別以點A和點C為圓心，大于^AC的長為半徑作弧，兩弧相交于P,。兩點；

②作直線尸Q,交AC于點0,則直線PQ是線段AC的線；

③以。為圓心，為半徑作OO,與C8的延長線交于點連接A。，線段AO即為所作的高.

（1）補全尺規(guī)作圖并填空；

（2）判斷為高的依據(jù)是

14.（2019?北京朝陽?九年級期中）如圖，。是弧4B與弦AB所圍成的圖形的內(nèi)部的一定點，P是弦A8上一動點,

連接PQ并延長交弧AB于點C,連接BC.已知AB=6czn,設(shè)A,P兩點間的距離為xcm,P,C兩點間的距離為

yicm,A,C兩點間的距離為"cm.

小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，分別對函數(shù)》，”，隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.

下面是小明的探究過程，請補充完整：

（1）確定自變量x的取值范圍是

（2）按下表中自變量x的值進(jìn)行取點、畫圖、測量，分別得到了y/,”與x的幾組對應(yīng)值.

xlcm0123456

yi/cm5.624.673.762.653.184.37

y21cm5.625.595.535.425.194.734.11

（3）在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點（x,y/）,（x,”），并面出函數(shù)

y/,”的圖象.

6--，--L_1-_L_P__|

IIIIII

5

u123456wcm

（4）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)△APC為等腰三角形時,AP的長度約為_￡■〃?.

ApB

15.（2019?北京朝陽?九年級期中）如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于。。，NABC=135。，AC=4,求。。的半徑長.

D

16.（2019?北京海淀?九年級期中）如圖，在。O中，弦AB與DC相交于E,且BE=DE,求證：AD=BC-

17.（2017?北京海淀?九年級期中）如圖，在。。中，.求證/B=NC.

參考答案

1.D

【分析】

由題意易得NACB=90。，則有乙4=40。，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：是半圓。的直徑，

ZACB=90°,

ZABC=5O°,

ZA=40°,

???四邊形A8OC是圓內(nèi)接四邊形，

ZA+ZD=18O°,

ZD=140°；

故選D.

【點睛】

本題主要考查圓周角及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】

根據(jù)圓周角定理得出ND=/B,得出aABC是等腰直角三角形，進(jìn)而解答即可.

【詳解】

；AC=AC,

.,.ZD=ZB,

,二/BAC=ND,

ZB=ZBAC,

.1.△ABC是等腰三角形，

:AB是直徑，

??.△ABC是等腰直角三角形，

???AC=5,

AB-5>/2?

故選：C.

【點睛】

本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)圓周角定理得出ND=NB.

3.B

【分析】

根據(jù)“同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半''求出NAOB的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

?J/AOB與NC是同弧所對的圓心角與圓周角,

NAOB=2NC=2X35°=70°,

■：OA=OB,

180°-ZAQB_180°-70°

=55°.

22

故選：B.

【點睛】

本題考查的是圓周角定理，掌握圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵.

4.C

【分析】

先求出△BOC是等邊三角形，再根據(jù)垂徑定理及圓周角定理得到NCB0=/80。，由將陰影部

分面積轉(zhuǎn)化為S扇形OBC,代入數(shù)值求解即可.

【詳解】

解：連接8C,OD,設(shè)8交AB于￡

，/COB=60°,

■：OC=OB,

???△BOC是等邊三角形,

.,.NCBO=60。，

■.■CD1AB,CD=6,

BC=BD<CE=ED=3,

；"BOC=/BOD=60。,EO=,OC=26,

"CB0=2B0D,

■■.BCl/OD,

:.SABCD=S4BCO,

，S陰=S扇形OBC=6°.”碓@=2兀

360

故選C.

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理及勾股定理，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形面積是解題關(guān)鍵.

5.C

【分析】

連接BC,已知NAOB=60。，NAOB與NACB為優(yōu)弧AB所對的圓心角和圓周角，利用圓周角定理求得NACB,再

利用三角形外角的性質(zhì)得出答案即可.

【詳解】

；/AOB與/ACB為優(yōu)弧AB所對的圓心角和圓周角，

ZACB=gZAOB=；x60°=30°,

,J/ACB是aPBC的外角，

.,.ZAPB<ZACB=30°.

故選C.

【點睛】

本題考查了圓周角定理的運用，三角形外角的性質(zhì)，掌握同弧所對的圓心角和圓周角之間的關(guān)系是解決問題關(guān)鍵.

6.B

【詳解】

「AB是。的直徑，

ZADB=90°,

?「NABD=59。，

.,.ZA=90°-ZABD=31°,

.,.ZC=ZA=31°

故選B.

7.①③

【分析】

根據(jù)AB=CD證明AC=BD，得ZABC=ZBCD,再根據(jù)圓周角定理及推論即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：；AB=CD,

AB=CD,

AB-BC=CD-BC,

即AC=80,

/ABC=/BCD=：ZBOD,

ZBED=ZABC+ZBCD=2x；ZBOD=ZBOD,

Y/BED=a,

ZBOD=a,

故①正確；

②無法證明；

??,ZABC=yZBOD,

，/ABC=ga,

故③成立，

綜上,答案為①③.

【點睛】

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

8.60°

【分析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由OB=OC得NOBC=NOCB=30。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算出NBOC=120。，然后根據(jù)

圓周角定理求解.

【詳解】

?,OB=OC,

.,.ZOBC=ZOCB=30°,

ZBOC=180°-30°-30°=120°

.-.ZA=|ZBOC=60°.

【點睛】

本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理的用法.

9.①線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；②等量代換同弧所對的圓周角相等

【分析】

(1)根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理以及等量代換即可得出結(jié)論.

(2)根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)如圖2中，

?.?MN垂直平分AB,EF垂直平分BC,

??.OA=OB,OB=OC（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等），

--.OA=OB=OC（等量代換）

故答案是：

（2）：AB=AB,

.,.ZAPB=ZACB（同弧所對的圓周角相等）.

故答案是：（1）線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等和等量代換：（2）同弧所對的圓周角相

等.

【點睛】

考查作圖-復(fù)雜作圖、線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外心等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外心的性

質(zhì).

10.99°##90度

【分析】

由NACB為AACE的外角，求得NACE=NA+NAEC,由圓周角定理，得根據(jù)三角形外角定理即可

求得答案.

【詳解】

解：?.?NAC8為△ACE的外角，

：.AACE^AA+AAEC

■：Z.AEC=3T,ZCAE=31°,

ZACE=68°.

由圓周角定理，得

ZADB=68°,

ZAPB=ZA+ZA￡>B=31O+68O=99°,

故答案為:99°.

11.（1）見解析；（2）同弧所對圓周角等于該弧所對圓心角的一半；圓的內(nèi)接四邊形對角互補

【分析】

（1）按照題目所給作法作出相應(yīng)圖形即可；

（2）根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得4405=60。，再根據(jù)圓周角定理可得NAM8=30。，最后再根據(jù)圓的內(nèi)接

四邊形的性質(zhì)即可證得ZACB=150。.

【詳解】

解：（1）如下圖即為所求.

（2）證明：如圖，在優(yōu)弧A8上任取一點M（不與A,B重合），連接AM,BM,,OB.

OA=OB=AB9

△OAB是等邊三角形.

??.ZAOB=60°.

:A,B,V在。。上，

：.ZAMH=^AOB（同弧所對圓周角等于該弧所對圓心角的一半）.

ZAMB=30°.

一??四邊形AC8M內(nèi)接于。。，

ZAMB+ZACB=\WP（圓的內(nèi)接四邊形對角互補）.

Z4Cfi=150°.

故答案為：同弧所對圓周角等于該弧所對圓心角的一半；圓的內(nèi)接四邊形對角互補.

【點睛】

本題考查作圖-復(fù)雜作圖，圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

12.（1）見解析：（2）2

【分析】

（1）連接0D,根據(jù)角平分線的定義得到NBAD=NDAE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NODA=NOAD,由垂直的

定義得到/AEP=90。，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)連接BD,根據(jù)角平分線的定義得到NBAD=NDAE=30。，推出AB=2BD,設(shè)BD=x,則AB=2x,根據(jù)勾股定

理即可得到結(jié)論.

【詳解】

(1)證明：連接OD,

；AD平分/BAC,

?1.ZBAD=ZDAE,

?.?OA=OD,

.,.ZODA=ZOAD,

ZODA=ZDAE,

.-.OD/7AE,

,.ACIPD,

.,.ZAEP=90o,

，NODP=/AEP=90。，

.'.ODIPE,

?.OD是。O的半徑，

?,.PD是。。的切線；

(2)解：連接BD,

TAD平分NBAC,ZBAC=60°,

.'.ZBAD=ZDAE=30o,

-,AC1PE,DE=6

AD=2DE=2>/3>

,.AB為。。的直徑，

.,.ZADB=90o,

AB=2BD,

設(shè)BD=x,則AB=2x,

\AD2+BD2=AB2,

.,.X2+(2^)2-(2X)2

/.BD=2,AB=4,

A0=2,

--.?O的半徑為2.

【點睛】

本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的定義，圓周角定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確

的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

13.(1)畫圖見解析，垂直平分；(2)直徑所對的圓周角是直角

【分析】

(1)利用基本作圖可判斷PQ垂直平分AC；

(2)根據(jù)圓周角定理求解.

【詳解】

解：②作直線P。，交AC于點。，則直線尸。是線段AC的垂直平分線；

(1)如圖，AD為所作；

(2)?；AC為直徑，

.,.ZADC=90°,

-??AD1BC.

故答案為垂直平分線；直徑所對的圓周角為直角.

【點睛】

本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本

作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合兒何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作

圖，逐步操作.也考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)和圓周角定理.

14.(1)0<r<6；(2)3；(3)詳見解析；(4)3或4.91或5.77.

【分析】

(1)由4B=6可得0SE6；

(2)PA=6時,通過表格可得AB=6,BC=4.37,AC=4A1,由勾股定理逆定理可得/ACB=90。，所以AB是直

徑，當(dāng)x=3時，PA=PB=PC=3；

(3)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，描點連線畫圖即可；

(4)當(dāng)PA=PC或PA=AC或PC=AC時，根據(jù)函數(shù)圖像可得x即AP的長.

【詳解】

解：(1)'."AB=6cm,

自變量x的取值范圍是0W爛6；

故答案為0SW6；

(2),.JA=6時，AB=6,BC=4.37,AC=4.11,

.--AB^Afy+BC2,

，/ACB=90。，

是直徑.

當(dāng)x=3時，PA=PB=