【解析】2023-2024學年初中數學九年級上冊 24.3 三角形一邊的平行線 同步分層訓練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

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2023-2024學年初中數學九年級上冊24.3三角形一邊的平行線同步分層訓練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023七下·東莞期末）某校要舉辦國慶聯歡會，主持人站在舞臺中軸線AB的黃金分割點C處（如圖1）最自然得體．即，在數軸（如題圖2）上最接近的點是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】實數在數軸上的表示；黃金分割

【解析】【解答】解：根據點P、Q、M、N的位置可得=，則最接近的是點M.

故答案為：C.

【分析】根據點P、Q、M、N的位置可得=，據此解答.

2．（2023·吉林）如圖，在中，點D在邊上，過點D作，交于點E．若，則的值是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴=，

故答案為：A

【分析】先根據平行線段成比例即可得到，進而結合題意即可求解。

3．（2023·廣東）我國著名數學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻，優(yōu)選法中有一種0.618法應用了（）

A．黃金分割數B．平均數C．眾數D．中位數

【答案】A

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：我國著名數學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻，優(yōu)選法中有一種0.618法應用了黃金分割數.

故答案為：A

【分析】利用黃金分割的定義，可得答案.

4．（2023·福田模擬）小明用地理中所學的等高線的知識在某地進行野外考察，他根據當地地形畫出了“等高線示意圖”，如圖所示(注：若某地在等高線上，則其海拔就是其所在等高線的數值；若不在等高線上，則其海拔在相鄰兩條等高線的數值范圍內)，若點，，三點均在相應的等高線上，且三點在同一直線上，則的值為（）

A．B．C．D．2

【答案】B

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵點A、B、C均在相應的等高線上，且三點在同一直線上，

∴.

故答案為：B.

【分析】根據平行線分線段成比例的性質進行解答.

5．（2023九下·鹿城月考）如圖，在矩形中，，延長至點，使得，以為直徑的半圓交延長線于點.歐幾里得在《幾何原本》中利用該圖得到結論：矩形的面積等于的平方（即）.現連接并延長交于點，若，則與矩形的面積之比為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】矩形的性質；平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：如圖，∵OF=2OG，

∴，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD∥AB，

∴，

∴CF=2BC，

設BC=CE=a，則CF=2a，設OC=b，則OE=OC+CE=a+b，

∵DE是半圓O的直徑，

∴DE=2OE=2（a+b），

∴DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，

∴S矩形ABCD=DC·BC=（a+2b）a，

∵S矩形ABCD=CF2=（2a）2=4a2，

∴4a2=a(a+2b），

∴b=，

∵S△OCF=OC·CF=b·2a=，

∴S△OCF∶S矩形ABCD=.

故答案為：B.

【分析】由矩形對邊平行得CD∥AB，由平行線分線段成比例及已知得，則CF=2BC，設BC=CE=a，則CF=2a，設OC=b，則OE=OC+CE=a+b，DE=2OE=2（a+b），由線段的和差得DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，由矩形的面積計算公式及已知得4a2=a(a+2b），則b=，然后用含a的式子表示出三角形OCF的面積，從而此題得解了.

6．（2023·寶山模擬）在中，點D、E分別在AB、AC上，如果AD：：3，那么下列條件中能夠判斷的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】如圖：

∵AD：BD=1：3，

∴，

∴當時，，

∴DE//BC，

∴C選項能夠判斷DE//BC，

故答案為C.

【分析】利用平行線分線段成比例的性質逐項判斷即可。

7．（2023八下·鎮(zhèn)海區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD的外部有四個全等的直角三角形，分別為△AEB，△BFG，△CGD，△DHE，連結EC，DF交于點O，若，則的值為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】三角形的面積；平行四邊形的判定；平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：如圖，設EC、AF交于點I，連接DI，

，

DE=DC=AB=BG，AE=BF=DH=CG，

由DE=DC，得到為等腰直角三角形，

，

，

為等腰直角三角形，

AE=AI，

，

AI=BF，

AB=IF，，

四邊形DIFC為平行四邊形，

OI=OC，OD=OF，

，

，

，

，

，

，

，

，

.

故答案為：A.

【分析】如圖，設EC、AF交于點I，連接DI，證明出四邊形DIFC為平行四邊形，得到，再根據，推出EI與EC的比，即得出AI與DC的比，即可得出結果.

8．（2023八上·鄞州期末）如圖，邊長為5的大正方形是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，連結并延長交于點M.若，則的長為（）

A．B．C．1D．

【答案】D

【知識點】平行線的性質；等腰三角形的判定與性質；正方形的性質；平行線分線段成比例；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：過點M作于點N，設與交與點K，如圖，

四邊形是正方形，

，，

，

.

由題意得：，

，.

.

，

，

，

，

，

.

，

，

，

，

，

.

，，

，

，

，

.

故答案為：D.

【分析】過點M作MN⊥FC于點N，設FA與GH交與點K，根據正方形的性質可得HE=HG=GF=EF，AH∥GF，由已知條件可知AH=GH，則AH=HE=GF=EF，由題意得△ABE≌△BCF≌△ADH≌△CDG，則BE=CF=AH=DG，∠BAE=∠DCG，推出BE=EF=GF=FC，根據等腰三角形的性質可得∠BAE=∠FAE，則∠DCG=∠FAE，由平行線的性質可得∠FAE=∠GFK，進而推出MF=MC，由等腰三角形的性質可得CN=NF，則CN=CG，然后根據平行線分線段成比例的性質進行計算.

二、填空題

9．（2023·北京）如圖，直線AD，BC交于點O，.若，，.則的值為．

【答案】

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵，

又∵，，，

∴，

∴，

故答案為：

【分析】根據平行線分線段成比例結合題意即可求解。

10．（2023·山西）如圖，在四邊形中，，對角線相交于點．若，則的長為．

【答案】

【知識點】等腰三角形的性質；勾股定理；平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：如圖，分別延長BC、AD交于一點H，過點A作AH⊥BC，

∵AB=AC=5，BC=6

∴BH=CH=3，

∴AH===4，

∵∠ADB=∠E+∠CBD=2∠CBD，

∴∠E=∠CBD，

∴BD=DE，

∵∠BCD=90°，BC=6，

∴CE=BC=6，

∴EH=CE+CH=6+3=9，

∴AE==，

∵AH⊥BC，∠BCD=90°，

∴CD∥AH，

∴，

∴AD=AE=；

故答案為：.

【分析】分別延長BC、AD交于一點H，過點A作AH⊥BC，由等腰三角形的性質可得BH=CH=3，由勾股定理求出AH=4，利用三角形外角的性質及等腰三角形的性質可推出CE=BC=6，EH=9，根據勾股定理再求AE=，利用平行線分線段成比例可得，即得AD=AE，據此即得結論.

11．（2023·南開模擬）如圖，正方形中，E為上一點，過B作于G，延長至點F使，延長交于點M，連接，若C為中點，，則的長為．

【答案】

【知識點】等腰三角形的性質；勾股定理；正方形的性質；平行線分線段成比例；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：過C點作于H點，如圖所示：

∵四邊形為正方形，

∴，，

∵，，

∴，

∴，，

∴，

在和中，

∵，，，

∴，

∴，

∵C為的中點，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

解得：，負值舍去，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴．

故答案為：．

【分析】過C點作于H點，證明，可得，易得，根據平行線分線段成比例可得，從而求出，由勾股定理可得，據此求出，即得，易求=45°，根據等角對等邊即可求解.

12．（2022九上·溫州開學考）由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示．將小正方形對角線EF雙向延長，分別交邊AB，和邊BC的延長線于點G，H．若大正方形與小正方形的面積之比為5，GH＝2，則大正方形的邊長為．

【答案】

【知識點】勾股定理；正方形的性質；平行線分線段成比例；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：如圖：

∵大正方形與小正方形的面積之比為5，

∴＝，

∴AD＝EM，

設EM＝a，AE＝b，則AD＝a，

由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，

∴b2+（a+b）2＝（a）2，

∴2b2+2ab﹣4a2＝0，

（b﹣a）（b+2a）＝0，

∵b+2a≠0，

∴b﹣a＝0，

∴b＝a，

∴AE＝DM＝a，

如圖，延長BF交CD于N，

∵BN∥DE，CF＝FM，

∴DN＝CN，

∴EN＝DM＝a，

∵PN∥BG，

∴，

設PN＝x，則BG＝4x，

∵DE＝BF，∠BFG＝∠DEF，∠BGF＝∠DPE，

∴△BFG≌△DEP（AAS），

∴PD＝BG＝4x，

同理得：EG＝FP，

∴DN＝3x＝CN，

∴PC＝2x，

∵CP∥BG，

∴，即，

∴PH＝PG＝，

∵，

∴EF＝a＝GP＝，

∴a＝，

∴AD＝a＝．

故答案為：.

【分析】根據正方形的性質結合題意可得AD＝EM，設EM＝a，AE＝b，則AD＝a，由勾股定理可得AE2+DE2＝AD2，代入并化簡得AE＝DM＝a，延長BF交CD于N，則EN＝DM＝a，根據平行線分線段成比例的性質可得，，設PN＝x，則BG＝4x，易證△BFG≌△DEP，得到PD＝BG＝4x，同理得：EG＝FP，則DN＝3x＝CN，PC＝2x，PH=＝PG＝，

EF＝a＝GP，據此求出a的值，進而可得AD.

13．（2022·蘇州）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，分別以A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，過M，N兩點作直線，與BC交于點E，與AD交于點F，連接AE，CF，則四邊形AECF的周長為.

【答案】10

【知識點】線段垂直平分線的性質；菱形的判定與性質；平行線分線段成比例；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：如圖，設AC與MN的交點為O，

根據作圖可得MN⊥AC，且平分AC，

，

四邊形ABCD是平行四邊形，

，

，

又，，

，

，

，

四邊形AECF是平行四邊形，

∵MN垂直平分AC，

，

四邊形AECF是菱形，

，，

，

，

∴E為BC的中點，

中，，，

，

，

四邊形AECF的周長為.

故答案為：.

【分析】設AC與MN的交點為O，根據作圖可得MN⊥AC且平分AC，則AO=OC，根據平行四邊形以及平行線的性質可得∠FAO=∠OCE，證明△AOF≌△COE，得到AF=EC，推出四邊形AECF是平行四邊形，結合EA=EC可得四邊形AECF為菱形，易得EF∥AB，根據平行線分線段成比例的性質可得E為BC的中點，根據勾股定理可得BC，由直角三角形斜邊上中線的性質可得AE=BC，據此求解.

三、解答題

14．（2023九上·西安期末）如圖，在中，，若，求的長.

【答案】解：∵，且，

∴，即，

解得：，

∴

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【分析】根據平行線分線段成比例的性質可得，代入數據可得AE的值，然后根據EC=AC-AE進行計算.

15．（2022九上·楊浦期中）如圖，梯形中，，點E是邊的中點，聯結并延長交的延長線于點F，交于點G．求證：．

【答案】證明：∵，∴，．

∵點E是邊的中點，∴．

∴．∴．

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【分析】根據平行線分線段成比例定理得出，，根據線段中點定義得出AE=DE，從而得出，即可證出EF·GB=BF·GE.

四、作圖題

16．如圖，在由邊長都為1的小正方形組成的網格中，點均為格點，點為線段上的動點，且滿足.

（Ⅰ）當點Q為線段中點時的長度等于▲.

（Ⅱ）當線段取得最小值時，請借助無刻度直尺在給定的網格中畫出點Q，并簡要說明你是怎么畫出點Q的.

【答案】解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）線段取得最小值時，點P，Q必在線段AB的高線的垂足的兩側，并關于垂足對稱，即離垂足的距離為0.5.所以先找到點C關于AB的對稱點，首先先找垂線，因為AB是3×4的格點矩形的對角線，所以只需過點C作3×4的格點矩形的對角線CH即可滿足CH⊥AB垂足為O，下一步找距離相等.可找到D點，構成3×4的格點矩形的對角線CD，則有CD∥AB，且BD=3，同樣找到格點N，L使其為3×4的格點矩形的對角線端點，且BN=3，則有LN與CD到AB的距離相等且平行，延長LN則與CH相交R，則交點即為C關于AB的對稱點.現要保證OQ=0.5，則只需在LR上找到點T，CD上找到點G，使得RT=CG=1，則四邊形RCGT為矩形.因為CD=5，則只需找到CD的五等分點，找到格點E，F，使CF=1，DE=4，且CF∥ED，則CD與EF的交點為G.因為在LR上找的點T不能直接找到，我們可以過點H作AB的平行線HI，并在HI上找到點M使得HM=1，則MG與LR的交點即為T點，且OT=1.則易找到格點I使得HI∥AB，同E，F的找法，找到格點J，K，連接JK交HI于點M，則HM=1，連接MG交LR于點T，再連接TC與AB的交點為Q，則點Q即為所求.

【知識點】勾股定理；矩形的判定與性質；軸對稱的應用-最短距離問題；平行線分線段成比例；直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，，

∴AB==5

∵點Q為線段AB中點

∴；

故答案為：；

【分析】（1）首先根據勾股定理求出AB，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進行計算；

（2）取格點D、E、F，連接CD、EF，它們相交于點G，取格點H、I、J、K，連接HI、JK，它們相交于點M，連接GM，取格點L、N，連接LN并延長，交GM于點T，連接TC交AB于點Q，則點Q即為所求.

五、綜合題

17．（2023·江西）課本再現

思考我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現并證明菱形的一個判定定理；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．

（1）定理證明：為了證明該定理，小明同學畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．

已知：在中，對角線，垂足為．

求證：是菱形．

（2）知識應用：如圖，在中，對角線和相交于點，．

①求證：是菱形；

②延長至點，連接交于點，若，求的值．

【答案】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，

∴，，

∵

∴，

在中，

∴

∴，

同理可得，則，

又∵

∴

∴四邊形是菱形；

（2）解：①證明：∵四邊形是平行四邊形，．

∴

在中，，，

∴，

∴是直角三角形，且，

∴，

∴四邊形是菱形；

②∵四邊形是菱形；

∴

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

如圖所示，過點作交于點，

∴，

∴，

∴．

【知識點】勾股定理的逆定理；平行四邊形的性質；菱形的判定與性質；平行線分線段成比例；三角形的中位線定理

【解析】【分析】（1）利用平行四邊形的性質，通過證明三角形全等得出AB=BC=CD=DA，從而判定四邊形ABCD是菱形；

（2）①在△AOD中，利用三邊長度，根據勾股定理的逆定理，得出∠AOD=90°，然后根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形得出結論；②如圖所示，過點O作OG∥CD交BC于點G，可得：，所以，要求只需求即可，根據菱形的對角線平分一組對角可得∠ACB=∠ACD，結合已知，可得∠E=∠CDE，所以，再根據三角形中位線定理的推論，得出，從而得出，所以。

18．（2023·文成模擬）如圖，在的方格紙中，請按要求畫格點線段（端點在格點上），且線段的端點均不與點A，B，C，D重合.

（1）在圖1中畫一條格點線段，使G，H分別落在邊，上，且與互相平分.

（2）在圖2上畫一條格點線段，使M，N分別落在邊，上，且要求分為兩部分.

【答案】（1）解：如圖1或圖2，即為所求.

如圖1：根據勾股定理可得：，

∵，，

∴四邊形為平行四邊形，

∴與互相平分.

如圖2：根據勾股定理可得：，，

∴四邊形為平行四邊形，

∴與互相平分.

（2）解：如圖∶

∵，

∴點G、H、為EI的三等分點，

∵，

∴點J、K為EF的三點等分點，

過EF的三等分點畫出MN即可.

如圖，M1N1、M2N2、M3N3即為所求.

【知識點】平行四邊形的判定與性質；平行線分線段成比例

【解析】【分析】（1）答案不唯一，將點E向下平移四個單位長度后的對應點記為點H，點F向上平移四個單位長度后的對應點記為點G，連接GE、FG、FH、HE、GH，易得四邊形EGFH是平行四邊形，由平行四邊形的對角線互相平分即可得出GH就是所求的線段；或將點E向下平移四個單位長度后再向右平移一個單位長度的對應點記為點H，點F向上平移四個單位長度后再向左平移一個單位長度的對應點記為點G，連接GE、FG、FH、HE、GH，易得四邊形EGFH是平行四邊形，由平行四邊形的對角線互相平分即可得出GH就是所求的線段；

（2）易得JG∥KH∥FI，由平行線等分線段定理得點J、K為EF的三點等分點，過EF的三等分點畫出MN即可.

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2023-2024學年初中數學九年級上冊24.3三角形一邊的平行線同步分層訓練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023七下·東莞期末）某校要舉辦國慶聯歡會，主持人站在舞臺中軸線AB的黃金分割點C處（如圖1）最自然得體．即，在數軸（如題圖2）上最接近的點是（）

A．B．C．D．

2．（2023·吉林）如圖，在中，點D在邊上，過點D作，交于點E．若，則的值是（）

A．B．C．D．

3．（2023·廣東）我國著名數學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻，優(yōu)選法中有一種0.618法應用了（）

A．黃金分割數B．平均數C．眾數D．中位數

4．（2023·福田模擬）小明用地理中所學的等高線的知識在某地進行野外考察，他根據當地地形畫出了“等高線示意圖”，如圖所示(注：若某地在等高線上，則其海拔就是其所在等高線的數值；若不在等高線上，則其海拔在相鄰兩條等高線的數值范圍內)，若點，，三點均在相應的等高線上，且三點在同一直線上，則的值為（）

A．B．C．D．2

5．（2023九下·鹿城月考）如圖，在矩形中，，延長至點，使得，以為直徑的半圓交延長線于點.歐幾里得在《幾何原本》中利用該圖得到結論：矩形的面積等于的平方（即）.現連接并延長交于點，若，則與矩形的面積之比為（）

A．B．C．D．

6．（2023·寶山模擬）在中，點D、E分別在AB、AC上，如果AD：：3，那么下列條件中能夠判斷的是（）

A．B．C．D．

7．（2023八下·鎮(zhèn)海區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD的外部有四個全等的直角三角形，分別為△AEB，△BFG，△CGD，△DHE，連結EC，DF交于點O，若，則的值為（）

A．B．C．D．

8．（2023八上·鄞州期末）如圖，邊長為5的大正方形是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，連結并延長交于點M.若，則的長為（）

A．B．C．1D．

二、填空題

9．（2023·北京）如圖，直線AD，BC交于點O，.若，，.則的值為．

10．（2023·山西）如圖，在四邊形中，，對角線相交于點．若，則的長為．

11．（2023·南開模擬）如圖，正方形中，E為上一點，過B作于G，延長至點F使，延長交于點M，連接，若C為中點，，則的長為．

12．（2022九上·溫州開學考）由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示．將小正方形對角線EF雙向延長，分別交邊AB，和邊BC的延長線于點G，H．若大正方形與小正方形的面積之比為5，GH＝2，則大正方形的邊長為．

13．（2022·蘇州）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，分別以A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，過M，N兩點作直線，與BC交于點E，與AD交于點F，連接AE，CF，則四邊形AECF的周長為.

三、解答題

14．（2023九上·西安期末）如圖，在中，，若，求的長.

15．（2022九上·楊浦期中）如圖，梯形中，，點E是邊的中點，聯結并延長交的延長線于點F，交于點G．求證：．

四、作圖題

16．如圖，在由邊長都為1的小正方形組成的網格中，點均為格點，點為線段上的動點，且滿足.

（Ⅰ）當點Q為線段中點時的長度等于▲.

（Ⅱ）當線段取得最小值時，請借助無刻度直尺在給定的網格中畫出點Q，并簡要說明你是怎么畫出點Q的.

五、綜合題

17．（2023·江西）課本再現

思考我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現并證明菱形的一個判定定理；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．

（1）定理證明：為了證明該定理，小明同學畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．

已知：在中，對角線，垂足為．

求證：是菱形．

（2）知識應用：如圖，在中，對角線和相交于點，．

①求證：是菱形；

②延長至點，連接交于點，若，求的值．

18．（2023·文成模擬）如圖，在的方格紙中，請按要求畫格點線段（端點在格點上），且線段的端點均不與點A，B，C，D重合.

（1）在圖1中畫一條格點線段，使G，H分別落在邊，上，且與互相平分.

（2）在圖2上畫一條格點線段，使M，N分別落在邊，上，且要求分為兩部分.

答案解析部分

1．【答案】C

【知識點】實數在數軸上的表示；黃金分割

【解析】【解答】解：根據點P、Q、M、N的位置可得=，則最接近的是點M.

故答案為：C.

【分析】根據點P、Q、M、N的位置可得=，據此解答.

2．【答案】A

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴=，

故答案為：A

【分析】先根據平行線段成比例即可得到，進而結合題意即可求解。

3．【答案】A

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：我國著名數學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻，優(yōu)選法中有一種0.618法應用了黃金分割數.

故答案為：A

【分析】利用黃金分割的定義，可得答案.

4．【答案】B

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵點A、B、C均在相應的等高線上，且三點在同一直線上，

∴.

故答案為：B.

【分析】根據平行線分線段成比例的性質進行解答.

5．【答案】B

【知識點】矩形的性質；平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：如圖，∵OF=2OG，

∴，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD∥AB，

∴，

∴CF=2BC，

設BC=CE=a，則CF=2a，設OC=b，則OE=OC+CE=a+b，

∵DE是半圓O的直徑，

∴DE=2OE=2（a+b），

∴DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，

∴S矩形ABCD=DC·BC=（a+2b）a，

∵S矩形ABCD=CF2=（2a）2=4a2，

∴4a2=a(a+2b），

∴b=，

∵S△OCF=OC·CF=b·2a=，

∴S△OCF∶S矩形ABCD=.

故答案為：B.

【分析】由矩形對邊平行得CD∥AB，由平行線分線段成比例及已知得，則CF=2BC，設BC=CE=a，則CF=2a，設OC=b，則OE=OC+CE=a+b，DE=2OE=2（a+b），由線段的和差得DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，由矩形的面積計算公式及已知得4a2=a(a+2b），則b=，然后用含a的式子表示出三角形OCF的面積，從而此題得解了.

6．【答案】C

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】如圖：

∵AD：BD=1：3，

∴，

∴當時，，

∴DE//BC，

∴C選項能夠判斷DE//BC，

故答案為C.

【分析】利用平行線分線段成比例的性質逐項判斷即可。

7．【答案】A

【知識點】三角形的面積；平行四邊形的判定；平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：如圖，設EC、AF交于點I，連接DI，

，

DE=DC=AB=BG，AE=BF=DH=CG，

由DE=DC，得到為等腰直角三角形，

，

，

為等腰直角三角形，

AE=AI，

，

AI=BF，

AB=IF，，

四邊形DIFC為平行四邊形，

OI=OC，OD=OF，

，

，

，

，

，

，

，

，

.

故答案為：A.

【分析】如圖，設EC、AF交于點I，連接DI，證明出四邊形DIFC為平行四邊形，得到，再根據，推出EI與EC的比，即得出AI與DC的比，即可得出結果.

8．【答案】D

【知識點】平行線的性質；等腰三角形的判定與性質；正方形的性質；平行線分線段成比例；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：過點M作于點N，設與交與點K，如圖，

四邊形是正方形，

，，

，

.

由題意得：，

，.

.

，

，

，

，

，

.

，

，

，

，

，

.

，，

，

，

，

.

故答案為：D.

【分析】過點M作MN⊥FC于點N，設FA與GH交與點K，根據正方形的性質可得HE=HG=GF=EF，AH∥GF，由已知條件可知AH=GH，則AH=HE=GF=EF，由題意得△ABE≌△BCF≌△ADH≌△CDG，則BE=CF=AH=DG，∠BAE=∠DCG，推出BE=EF=GF=FC，根據等腰三角形的性質可得∠BAE=∠FAE，則∠DCG=∠FAE，由平行線的性質可得∠FAE=∠GFK，進而推出MF=MC，由等腰三角形的性質可得CN=NF，則CN=CG，然后根據平行線分線段成比例的性質進行計算.

9．【答案】

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵，

又∵，，，

∴，

∴，

故答案為：

【分析】根據平行線分線段成比例結合題意即可求解。

10．【答案】

【知識點】等腰三角形的性質；勾股定理；平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：如圖，分別延長BC、AD交于一點H，過點A作AH⊥BC，

∵AB=AC=5，BC=6

∴BH=CH=3，

∴AH===4，

∵∠ADB=∠E+∠CBD=2∠CBD，

∴∠E=∠CBD，

∴BD=DE，

∵∠BCD=90°，BC=6，

∴CE=BC=6，

∴EH=CE+CH=6+3=9，

∴AE==，

∵AH⊥BC，∠BCD=90°，

∴CD∥AH，

∴，

∴AD=AE=；

故答案為：.

【分析】分別延長BC、AD交于一點H，過點A作AH⊥BC，由等腰三角形的性質可得BH=CH=3，由勾股定理求出AH=4，利用三角形外角的性質及等腰三角形的性質可推出CE=BC=6，EH=9，根據勾股定理再求AE=，利用平行線分線段成比例可得，即得AD=AE，據此即得結論.

11．【答案】

【知識點】等腰三角形的性質；勾股定理；正方形的性質；平行線分線段成比例；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：過C點作于H點，如圖所示：

∵四邊形為正方形，

∴，，

∵，，

∴，

∴，，

∴，

在和中，

∵，，，

∴，

∴，

∵C為的中點，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

解得：，負值舍去，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴．

故答案為：．

【分析】過C點作于H點，證明，可得，易得，根據平行線分線段成比例可得，從而求出，由勾股定理可得，據此求出，即得，易求=45°，根據等角對等邊即可求解.

12．【答案】

【知識點】勾股定理；正方形的性質；平行線分線段成比例；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：如圖：

∵大正方形與小正方形的面積之比為5，

∴＝，

∴AD＝EM，

設EM＝a，AE＝b，則AD＝a，

由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，

∴b2+（a+b）2＝（a）2，

∴2b2+2ab﹣4a2＝0，

（b﹣a）（b+2a）＝0，

∵b+2a≠0，

∴b﹣a＝0，

∴b＝a，

∴AE＝DM＝a，

如圖，延長BF交CD于N，

∵BN∥DE，CF＝FM，

∴DN＝CN，

∴EN＝DM＝a，

∵PN∥BG，

∴，

設PN＝x，則BG＝4x，

∵DE＝BF，∠BFG＝∠DEF，∠BGF＝∠DPE，

∴△BFG≌△DEP（AAS），

∴PD＝BG＝4x，

同理得：EG＝FP，

∴DN＝3x＝CN，

∴PC＝2x，

∵CP∥BG，

∴，即，

∴PH＝PG＝，

∵，

∴EF＝a＝GP＝，

∴a＝，

∴AD＝a＝．

故答案為：.

【分析】根據正方形的性質結合題意可得AD＝EM，設EM＝a，AE＝b，則AD＝a，由勾股定理可得AE2+DE2＝AD2，代入并化簡得AE＝DM＝a，延長BF交CD于N，則EN＝DM＝a，根據平行線分線段成比例的性質可得，，設PN＝x，則BG＝4x，易證△BFG≌△DEP，得到PD＝BG＝4x，同理得：EG＝FP，則DN＝3x＝CN，PC＝2x，PH=＝PG＝，

EF＝a＝GP，據此求出a的值，進而可得AD.

13．【答案】10

【知識點】線段垂直平分線的性質；菱形的判定與性質；平行線分線段成比例；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：如圖，設AC與MN的交點為O，

根據作圖可得MN⊥AC，且平分AC，

，

四邊形ABCD是平行四邊形，

，

，

又，，

，

，

，

四邊形AECF是平行四邊形，

∵MN垂直平分AC，

，

四邊形AECF是菱形，

，，

，

，

∴E為BC的中點，

中，，，

，

，

四邊形AECF的周長為.

故答案為：.

【分析】設AC與MN的交點為O，根據作圖可得MN⊥AC且平分AC，則AO=OC，根據平行四邊形以及平行線的性質可得∠FAO=∠OCE，證明△AOF≌△COE，得到AF=EC，推出四邊形AECF是平行四邊形，結合EA=EC可得四邊形AECF為菱形，易得EF∥AB，根據平行線分線段成比例的性質可得E為BC的中點，根據勾股定理可得BC，由直角三角形斜邊上中線的性質可得AE=BC，據此求解.

14．【答案】解：∵，且，

∴，即，

解得：，

∴

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【分析】根據平行線分線段成比例的性質可得，代入數據可得AE的值，然后根據EC=AC-AE進行計算.

15．【答案】證明：∵，∴，．

∵點E是邊的中點，∴．

∴．∴．

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【分析】根據平行線分線段成比例定理得出，，根據線段中點定義得出AE=DE，從而得出，即可證出EF·GB=BF·GE.

16．【答案】解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）線段取得最小值時，點P，Q必在線段AB的高線的垂足的兩側，并關于垂足對稱，即離垂足的距離為0.5.所以先找到點C關于AB的對稱點，首先先找垂線，因為AB是3×4的格點矩形的對角線，所以只需過點C作3×4的格點矩形的對角線CH即可滿足CH⊥AB垂足為O，下一步找距離相等.可找到D點，構成3×4的格點矩形的對角線CD，則有CD∥AB，且BD=3，同樣找到格點N，L使其為3×4的格點矩形的對角線端點，且BN=3，則有LN與CD到AB的距離相等且平行，延長LN則與CH相交R，則交點即為C關于AB的對稱點.現要保證OQ=0.5，則只需在LR上找到點T，CD上找到點G，使得RT=CG=1，則四邊形RCGT為矩形.因為CD=5，則只需