第4章-多元函數(shù)微積分學(xué)課件

考試內(nèi)容1.多元函數(shù)的概念

鄰域

:(開(kāi))區(qū)域連通的開(kāi)集邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)若點(diǎn)集E

的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),則稱E

為開(kāi)集.若集

E

中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于

E

的折線相連,則稱

E

是連通的.

E開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.1考試內(nèi)容1.多元函數(shù)的概念鄰域:(開(kāi))區(qū)域連通的開(kāi)集邊界用不等式(組)表示區(qū)域:xyoabX-型2用不等式(組)表示區(qū)域:xyoabX-型2用不等式(組)表示區(qū)域:dcxyoY-型3用不等式(組)表示區(qū)域:dcxyoY-型32.二元函數(shù)的幾何意義

n元函數(shù):42.二元函數(shù)的幾何意義n元函數(shù):43.二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念

極限

反之,若沿不同的線路得到不同的極限,則原極限不存在.

(此結(jié)論常用于證明極限不存在)

53.二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念極限反之,連續(xù)4.有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界定理,最值定理,

介值定理.一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).5.多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算本質(zhì)上仍然是一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù),故一元函數(shù)中的求導(dǎo)公式,求導(dǎo)法則都適用于求偏導(dǎo)數(shù).6連續(xù)4.有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界定理,最值定理,6.二階偏導(dǎo)數(shù)76.二階偏導(dǎo)數(shù)7多元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)與可微的關(guān)系可微連續(xù)連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)可偏導(dǎo)7.全微分

8多元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)與可微的關(guān)系可微連續(xù)連續(xù)的偏8.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法與隱函數(shù)求導(dǎo)法

全導(dǎo)數(shù)公式

鏈導(dǎo)公式

(1)(2)注意與的區(qū)別.98.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法與隱函數(shù)求導(dǎo)法全導(dǎo)數(shù)公式鏈導(dǎo)公式隱函數(shù)求導(dǎo)法方法一:方法二:(公式法)

當(dāng)

時(shí),方程兩邊關(guān)于x或y求偏導(dǎo)數(shù);10隱函數(shù)求導(dǎo)法方法一:方法二:(公式法)當(dāng)時(shí)9.多元函數(shù)的極值和條件極值、最大值和最小值記二元函數(shù)的極值求法119.多元函數(shù)的極值和條件極值、最大值和最小值記二元函數(shù)的(拉格朗日乘數(shù)法)條件極值構(gòu)造拉格朗日函數(shù)求出極值可能點(diǎn),再根據(jù)具體問(wèn)題判斷.其中為參數(shù),稱為拉格朗日乘數(shù).

則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為12(拉格朗日乘數(shù)法)條件極值構(gòu)造拉格朗日函數(shù)求出極值可能點(diǎn),10.二重積分的概念、基本性質(zhì)和計(jì)算二重積分的概念直角坐標(biāo)系下,面積元素極坐標(biāo)系下,面積元素1310.二重積分的概念、基本性質(zhì)和計(jì)算二重積分的概念直角坐標(biāo)11.無(wú)界區(qū)域上簡(jiǎn)單的反常二重積分二重積分的性質(zhì)與一元函數(shù)定積分的性質(zhì)完全類似.二重積分的計(jì)算將二重積分轉(zhuǎn)化成累次積分.1411.無(wú)界區(qū)域上簡(jiǎn)單的反常二重積分二重積分的性質(zhì)與一元函數(shù)考試要求1.了解多元函數(shù)的概念,了解二元函數(shù)的幾何意義.3.了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念,會(huì)求多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù),會(huì)求全微分,會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).4.了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念,掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件,了解二元函數(shù)極值存在的充分條件,會(huì)求二元函數(shù)的極值,會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值,會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值,并會(huì)解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念,了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).5.了解二重積分的概念與基本性質(zhì),掌握二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)).了解無(wú)界區(qū)域上較簡(jiǎn)單的反常二重積分并會(huì)計(jì)算.15考試要求1.了解多元函數(shù)的概念,了解二元函數(shù)的幾何意義.3典型例題分析例1解16典型例題分析例1解16最后考察可微性:17最后考察可微性:17實(shí)際上,可微一定連續(xù),不連續(xù)當(dāng)然不可微.18實(shí)際上,可微一定連續(xù),不連續(xù)當(dāng)然不可微.18解法1解法2

令解法3

令例2

討論二重極限時(shí),下列算法是否正確?19解法1解法2令解法3令例2討論二重極限時(shí)分析:解法1解法2

令此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點(diǎn)的情況,此法排除了沿曲線趨于原點(diǎn)的情況.此時(shí)極限為1.第二步未考慮分母變化的所有情況,20分析:解法1解法2令此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點(diǎn)的解法3

令此法忽略了

的任意性,極限不存在!由以上分析可見(jiàn),三種解法都不對(duì),因?yàn)槎疾荒鼙ＷC自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點(diǎn).

特別要注意,在某些情況下可以利用極坐標(biāo)求極限,但要注意在定義域內(nèi)r,

的變化應(yīng)該是任意的.同時(shí)還可看到,本題極限實(shí)際上不存在.21解法3令此法忽略了的任意性,極限不存在!由以解例3故由夾逼準(zhǔn)則知

22解例3故由夾逼準(zhǔn)則知22例4解23例4解23例5解24例5解24例6解法一解法二(公式法)設(shè)則25例6解法一解法二(公式法)設(shè)則25解兩邊微分,解26解兩邊微分,解26解

方程兩邊對(duì)

x

求導(dǎo),得例9

設(shè)其中

f與F分別具有一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù),

求即27解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得例9設(shè)其中f與例10解oxyD28例10解oxyD28oxyD29oxyD29例11解令由實(shí)際問(wèn)題,此即最佳分配方案.30例11解令由實(shí)際問(wèn)題,此即最佳分配方案.30將化為二次積分,其中

D

由直線圍成.解法1先畫(huà)出積分區(qū)域D，先x后y,例1231將化為二次積分,其中D由直線圍成.解法1先畫(huà)出積分區(qū)域解法2先y后x,

32解法2先y后x,32例13先x后y,將D

向y

軸投影,先y后x,將D

向x

軸投影,解

33例13先x后y,將D向y軸投影,先y后x解法1-12例14先x后y,34解法1-12例14先x后y,34選擇積分次序的原則：