貝葉斯統(tǒng)計(jì)原理在測(cè)量不確定度評(píng)定中的應(yīng)用

貝葉斯統(tǒng)計(jì)原理在測(cè)量不確定度評(píng)定中的應(yīng)用

1累積測(cè)量數(shù)據(jù)的測(cè)量不確定度評(píng)定是一個(gè)固定的現(xiàn)在，實(shí)驗(yàn)室中對(duì)測(cè)量結(jié)果的不確定度評(píng)估越來(lái)越普遍，對(duì)測(cè)量不確定度評(píng)估方法和應(yīng)用的研究也包括不同的方面。無(wú)論是校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室還是檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室,在測(cè)量?jī)x器的校準(zhǔn)周期和檢定周期內(nèi),要為顧客提供多次的校準(zhǔn)、檢測(cè)服務(wù),可積累大量的測(cè)量數(shù)據(jù),若按上述測(cè)量不確定度的評(píng)定方法,這些累積的測(cè)量數(shù)據(jù)在測(cè)量不確定度的評(píng)定中無(wú)法使用,而這些數(shù)據(jù)都是有效測(cè)量數(shù)據(jù),能夠真實(shí)反映在校準(zhǔn)周期和檢定周期內(nèi)測(cè)量?jī)x器真實(shí)測(cè)量狀態(tài),將這些測(cè)量數(shù)據(jù)棄之不用,是數(shù)據(jù)資源的浪費(fèi)。在檢定周期或校準(zhǔn)周期內(nèi),實(shí)驗(yàn)室在嚴(yán)格的受控條件下,測(cè)量數(shù)據(jù)具有相同的統(tǒng)計(jì)特征,即認(rèn)為這些數(shù)據(jù)來(lái)自同一分布總體,有相同的概率分布,所以利用在檢定周期內(nèi)或校準(zhǔn)周期內(nèi)的所累積測(cè)量數(shù)據(jù)評(píng)定測(cè)量不確定度,能充分反映校準(zhǔn)和檢測(cè)儀器的測(cè)量狀態(tài)。利用以前有效的測(cè)量數(shù)據(jù),結(jié)合最新的測(cè)量數(shù)據(jù)評(píng)定測(cè)量不確定度,使數(shù)據(jù)資源充分利用,并能反映母體分布的數(shù)字特征。這一思路符合貝葉斯統(tǒng)計(jì)原理,張健等人對(duì)此已做了一些研究本文將根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)原理,充分利用有效的先驗(yàn)測(cè)量信息,結(jié)合最新的測(cè)量數(shù)據(jù),解決校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室和檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室中微小樣本測(cè)量不確定度評(píng)定問(wèn)題。2后驗(yàn)密度函數(shù)在本文中,先驗(yàn)信息是指已知的有效測(cè)量結(jié)果,易從最新的校準(zhǔn)證書(shū)、合格證書(shū)、檢測(cè)報(bào)告或其他資料中獲取,包括從初始的測(cè)量數(shù)據(jù)中獲取。假設(shè)x根據(jù)貝葉斯定理p(θ,ф/X)為基于當(dāng)前測(cè)量值的θ和ф的后驗(yàn)密度函數(shù);p(θ,ф)為θ和ф的聯(lián)合密度;l(θ,ue788/X)為給定θ和ue788時(shí),當(dāng)前測(cè)量值的似然估計(jì)。2.1公式，ue788，xP(ф)為ф的先驗(yàn)分布,滿足自由度為ν式中:SP(θ/ф)為給定ф時(shí)θ的條件分布,其正態(tài)均值為2.1.2方程l，，x已知X來(lái)自正態(tài)分布N(θ,ф),其似然估計(jì)與給定和ue788時(shí)X的條件密度成比例S2.1.3后驗(yàn)密度根據(jù)前面得到的l(θ,φ/X)與p(θ,ф)的公式,把式(2)和(3)代入式(1),則θ和ф的后驗(yàn)密度為:2.2和的初始分布P(θ/X)為θ的后驗(yàn)分布,也是式(4)中均值的邊緣分布。根據(jù)文獻(xiàn)[11]可知:定義:則:即θ~t2.2.2方差邊緣分布p(ф/X)為ф的后驗(yàn)分布,也是式(4)中方差的邊緣分布。同樣可得到ф的后驗(yàn)分布為:p(ф/X)是服從自由度為v的反χ2.3貝葉斯的公式根據(jù)式(6)和(7)可知:當(dāng)給定ue788時(shí)θ滿足如果前提假設(shè)條件滿足,由式(5)和式(8)的結(jié)論可以推出基于后驗(yàn)分布的統(tǒng)計(jì)特征值和測(cè)量不確定度評(píng)定公式,這些公式簡(jiǎn)稱(chēng)為貝葉斯方法,此方法由下列公式組成:1)已知信息,包括:先驗(yàn)信息:2)過(guò)程計(jì)算公式:3)測(cè)量不確定度評(píng)定公式:這些公式看起來(lái)似乎很復(fù)雜,但過(guò)程計(jì)算的7個(gè)公式都是GUM中重復(fù)測(cè)量不確定度評(píng)定公式中的派生公式,依據(jù)已知的信息計(jì)算,是一些常規(guī)公式,公式雖多,但比較簡(jiǎn)單,先驗(yàn)信息是給定的或已知的,如(X珔3小樣品測(cè)量不確定度評(píng)價(jià)公式根據(jù)式(9)~(20),在已知先驗(yàn)信息條件下,對(duì)測(cè)量次數(shù)只有1次、2次等微小樣本測(cè)量不確定度評(píng)定公式進(jìn)行推證。3.1樣本體積為1的測(cè)量不確定度評(píng)估公式當(dāng)前測(cè)量值為:x3.1.1與gum方法的比較由式(9)可得:現(xiàn)來(lái)證明式(21)與GUM方法是相等的:將x式(21)與合并樣本后的計(jì)算結(jié)果是相等的。但在實(shí)際應(yīng)用中,由于n3.1.2單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差當(dāng)樣本量為1時(shí),由式(17)和(18)得單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差平方為:s現(xiàn)來(lái)證明式(23)與GUM推薦的頻率方法是相等的。將式(23)進(jìn)行化簡(jiǎn):將x3.1.3先驗(yàn)測(cè)量不確定度評(píng)定當(dāng)只進(jìn)行一次校準(zhǔn)或檢測(cè)時(shí),一般是直接引用先驗(yàn)測(cè)量不確定度信息,即采用B類(lèi)測(cè)量不確定度評(píng)定方法,若用式(24)進(jìn)行評(píng)定,則比較麻煩。但由于n3.1.4首次校準(zhǔn)測(cè)量不確定度評(píng)定在校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室對(duì)某一電量參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn),該電量參數(shù)的先驗(yàn)信息為:(2.8406±0.1179)mV,k=1,v現(xiàn)利用式(21)、(23)、(25)和(26)來(lái)計(jì)算第一次校準(zhǔn)的測(cè)量不確定度報(bào)告。根據(jù)先驗(yàn)信息:現(xiàn)采用貝葉斯方法進(jìn)行評(píng)定,即根據(jù)式(21)和式(24)進(jìn)行評(píng)定。由式(21)得:由式(23)可計(jì)算單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差:由式(26)得:客戶首次校準(zhǔn)測(cè)量不確定度評(píng)定報(bào)告:(2.8570±0.4414)mV,k=1。2種方法有|0.4567-0.4414|=0.0153mV的差值。同理類(lèi)推,可計(jì)算出其他幾次校準(zhǔn)的測(cè)量不確定度結(jié)果,具體如表1所示。根據(jù)表1數(shù)據(jù)作圖1,對(duì)貝葉斯方法和GUM的B類(lèi)方法進(jìn)行對(duì)比分析。從圖1可以直觀看出,當(dāng)測(cè)量值只有1個(gè)時(shí),GUM方法中B類(lèi)評(píng)定只用了該電量參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)時(shí)的先驗(yàn)信息,所以測(cè)量不確定度是一個(gè)不變的量(一條直線),而貝葉斯方法不僅應(yīng)用了先驗(yàn)信息,而且結(jié)合當(dāng)前的校準(zhǔn)信息,對(duì)不確定度進(jìn)行重新評(píng)定,前面一次的校準(zhǔn)信息對(duì)下一次校準(zhǔn)是先驗(yàn)信息,從而在不斷積累校準(zhǔn)信息的基礎(chǔ)上,使每一次的不確定度評(píng)定都會(huì)發(fā)生變化(變化的曲線),并且逐漸趨向于真實(shí)的情況,因而這種方法優(yōu)于GUM方法。3.2樣本體積為2的測(cè)量不確定度評(píng)估公式當(dāng)前測(cè)量值為:x3.2.1與gum方法由式(9)可得:現(xiàn)來(lái)證明式(28)與GUM方法是相等的:將x式(28)與合并樣本后的計(jì)算結(jié)果是相等的。但在實(shí)際應(yīng)用中,由于n3.2.2單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差當(dāng)樣本量為2時(shí),由式(17)和式(18)得單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差平方為:3.2.3b類(lèi)測(cè)量不確定度評(píng)定方法適用條件復(fù)雜當(dāng)只進(jìn)行二次校準(zhǔn)或檢測(cè)測(cè)量時(shí),傳統(tǒng)的評(píng)定方法都是直接引用先驗(yàn)測(cè)量不確定度信息,即采用B類(lèi)測(cè)量不確定度評(píng)定方法,若用式(31)進(jìn)行評(píng)定,則比較復(fù)雜和煩瑣。但由于n3.2.4測(cè)量不確定度評(píng)定在校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室對(duì)某一質(zhì)量參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn),該質(zhì)量參數(shù)的先驗(yàn)信息為:(2.8670±0.1233)mg,k=1,ν根據(jù)先驗(yàn)信息:客戶首次校準(zhǔn)測(cè)量不確定度評(píng)定報(bào)告:(3.0952±0.3260)mg,k=1。與用B類(lèi)評(píng)定的有|0.3376-0.3260|=0.0116mg的差值。同理類(lèi)推,可計(jì)算出其他幾次校準(zhǔn)的測(cè)量不確定度結(jié)果,具體如表2所示。根據(jù)上表數(shù)據(jù)做圖2,對(duì)貝葉斯方法和GUM的B類(lèi)方法進(jìn)行對(duì)比分析。與圖1類(lèi)似,從圖2可以直觀看出,當(dāng)測(cè)量值只有2個(gè)時(shí),用貝葉斯方法評(píng)定測(cè)量不確定度,綜合運(yùn)用了先驗(yàn)信息和當(dāng)前的校準(zhǔn)數(shù)據(jù),對(duì)質(zhì)量參數(shù)校準(zhǔn)的不確定度進(jìn)行評(píng)定,使不確定度接近其真實(shí)的情況,優(yōu)于GUM方法對(duì)不確定度評(píng)定的情況。3.3樣本體積為3的測(cè)量不確定度評(píng)估公式當(dāng)前測(cè)量值為:x3.3.1測(cè)量不確度評(píng)定公式同理,可證明當(dāng)測(cè)量次數(shù)只有3個(gè)時(shí),根據(jù)式(16)~(19)等其他相關(guān)公式,可以導(dǎo)出樣本量只有3個(gè)時(shí)的測(cè)量不確定度結(jié)果,這些公式為:3.3.2測(cè)量不確定度計(jì)算及對(duì)比分析在校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室對(duì)某一長(zhǎng)度參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn),該長(zhǎng)度參數(shù)的先驗(yàn)信息為:(28.81±1.32)mm,k=1,ν現(xiàn)利用上述公式來(lái)計(jì)算每次校準(zhǔn)的測(cè)量不確定度,同時(shí)也用GUM的B類(lèi)方法進(jìn)行評(píng)定,計(jì)算結(jié)果如表3所示。根據(jù)表3數(shù)據(jù)做圖3,對(duì)貝葉斯方法和GUM的B類(lèi)方法進(jìn)行類(lèi)比分析。同樣地,類(lèi)似于圖1和圖2,從圖3可以直觀看出,當(dāng)測(cè)量值只有3個(gè)時(shí),用貝葉斯方法評(píng)定測(cè)量不確定度,在結(jié)合先驗(yàn)信息和每一次校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,使長(zhǎng)度參數(shù)校準(zhǔn)時(shí)的不確定度評(píng)定更接近其真實(shí)的情況,它也優(yōu)于只利用先驗(yàn)信息進(jìn)行不確定度評(píng)定的GUM方法。4測(cè)量不確定度評(píng)定的實(shí)現(xiàn)校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室和檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室為客戶提供的測(cè)量服務(wù)通常都是微小樣本,GUM中的A類(lèi)評(píng)定方法無(wú)法應(yīng)用,只能用GUM中的B類(lèi)方法,客戶的測(cè)量數(shù)據(jù)在測(cè)量不確定度評(píng)定中沒(méi)有用上,造成在校準(zhǔn)周期、檢定周期內(nèi)測(cè)量數(shù)據(jù)的浪費(fèi),而且不能有效反映出客戶測(cè)量結(jié)果的真實(shí)測(cè)量不確定度。無(wú)論是校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室還是檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室,只要嚴(yán)格地控制實(shí)驗(yàn)室的測(cè)量環(huán)境并按校準(zhǔn)規(guī)范或檢測(cè)程序進(jìn)行校準(zhǔn)或檢測(cè)活動(dòng),在檢定周期或校準(zhǔn)周期內(nèi),保持和控制“人、機(jī)、料、法、環(huán)”條件相同,對(duì)同數(shù)量級(jí)的同類(lèi)量進(jìn)行的測(cè)量值都具有相同的統(tǒng)計(jì)特性,即這些測(cè)量數(shù)據(jù)都應(yīng)服從相同的概率分布,雖然這些測(cè)量值來(lái)自于不同的客戶、來(lái)自于不同的時(shí)間。在校準(zhǔn)周期或檢定周期內(nèi),這些測(cè)量值具有時(shí)序性和累積性,為客戶提供的校準(zhǔn)和檢測(cè)服務(wù),必須在規(guī)定的工作日內(nèi)給出測(cè)量不確定報(bào)告,不可能等到整個(gè)校準(zhǔn)或檢定周期結(jié)束后,用所有的客戶累積的測(cè)量數(shù)據(jù)評(píng)定測(cè)量不確定度,并給客戶提交測(cè)量不確定度評(píng)定報(bào)告?？蛻舻臏y(cè)量不確定度報(bào)告必須實(shí)時(shí)給出,所以應(yīng)盡可能地利用以前累積的有效測(cè)量結(jié)果,即充分利用先驗(yàn)自信,并利用為客戶提供的當(dāng)前測(cè)量值,雖然是微小樣本,進(jìn)行測(cè)量不確定度評(píng)定,才是科學(xué)合理的。本文基于貝葉斯理論推證的式(5)、(19)和(20),是解決上述問(wèn)題的有效方法,尤其是解決了校準(zhǔn)和檢測(cè)服務(wù)中微小樣本的測(cè)量不確定度評(píng)定問(wèn)題。式中:X為當(dāng)前測(cè)量值向量;2.1.1公式根據(jù)條件概率公式:則θ和ф的聯(lián)合密度為:式中:2.2.1貝葉斯頻率評(píng)定當(dāng)前信息為當(dāng)前的測(cè)量值:(x樣本量為1,即:當(dāng)樣本量為1時(shí),有:式(23)與式(24)是相等的。但在實(shí)際應(yīng)用中,由于s若用GUM方法,只能進(jìn)行B類(lèi)評(píng)定,其結(jié)果為:樣本量為2,即:當(dāng)樣本量為2時(shí)