CT成像資料專(zhuān)業(yè)知識(shí)講座

CT、MRI圖像重建算法上海理工大學(xué)聶升東泰山醫(yī)學(xué)院邱建峰第1頁(yè)常用重建算法二維傅利葉變換法（中心切片理論）一般反投影反投影法平行線(xiàn)束濾波反投影去偽影重建（雷登變換）扇形線(xiàn)束卷積反投影

投影重建迭代法（數(shù)值迭代）

擬和逼近法（算術(shù)擬和）第2頁(yè)兩個(gè)主要工具迪拉克函數(shù)-抽樣卷積-濾波第3頁(yè)

傅里葉變換法

1．二維傅里葉變換法傅利葉變換是將任意一周期信號(hào)或非周期信號(hào)變換成用其本身頻率特性表述一種形式，使信號(hào)變化與頻率變化之間建立內(nèi)在聯(lián)系，從分析頻率特性角度來(lái)揭示信號(hào)本身變化觀律。如圖所示矩形波信號(hào)，通過(guò)傅里葉變換成頻率變化形式。第4頁(yè)二維傅里葉變換法二維傅里葉變換法將各個(gè)投影進(jìn)行一維傅里葉變換，再把各角度上變換成果聚集起來(lái)，在變換成極坐標(biāo)上補(bǔ)足求得傅里葉變換頻域曲面，再改為空間直角坐標(biāo)。按公式進(jìn)行二維傅里葉反變換后即可得到重建圖像。

二維傅里葉變換法是最抱負(fù)圖像重建辦法之一。但該辦法需要進(jìn)行正、反兩次傅里葉變換，計(jì)算量比較大，在實(shí)際應(yīng)用中不易實(shí)現(xiàn)。第5頁(yè)1．二維傅里葉變換法第6頁(yè)二維傅里葉變換法理論根據(jù)：中心切片理論長(zhǎng)處：算法精確缺陷：復(fù)雜耗時(shí)，運(yùn)算量龐大第7頁(yè)定義密度函數(shù)f（x，y）在某一方向上投影函數(shù)gθ（R）一維傅里葉變換函數(shù)Gθ（p），是密度函數(shù)f（x，y）二維傅里葉變換F（p，θ）在p，θ平面上沿同一方向過(guò)原點(diǎn)直線(xiàn)上值。第8頁(yè)中心切片理論第9頁(yè)第10頁(yè)中心切片理論證明特殊情況

θ=900一般情況第11頁(yè)中心切片應(yīng)用指出了投影重建圖像也許性二維傅里葉變換法假如我們?cè)诓灰粯咏嵌认氯〉米銐蚨嗤队昂瘮?shù)數(shù)據(jù)，并進(jìn)行傅里葉變換，那么變換后數(shù)據(jù)將充滿(mǎn)整個(gè)（u，v）平面。得到頻域函數(shù)F（u，v）所有值，將其進(jìn)行傅里葉反變換，得到原始密度函數(shù)f（x，y）即所要圖像。填充（u，v）平面需要按照角度填充，即篩選角度，完成這一步驟需要做極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。第12頁(yè)第13頁(yè)第14頁(yè)空間域雷登空間極坐標(biāo)頻率域第15頁(yè)第16頁(yè)二維傅里葉變換法算法：描述/過(guò)程圖驗(yàn)證：sinc（2R）缺陷：插值/運(yùn)算量大第17頁(yè)2、反投影法反投影法(backprojection)又稱(chēng)總和法，是利用投影數(shù)值近似地復(fù)制出值二維分布。基本原理是將所測(cè)得投影值按其原途徑平均分派到每一點(diǎn)上，各個(gè)方向上投影值反投影后，在影像處進(jìn)行疊加，從而推體出原圖像。第18頁(yè)反投影法第19頁(yè)反投影法第20頁(yè)反投影法第21頁(yè)第22頁(yè)第23頁(yè)第24頁(yè)反投影重建算法一般步驟：原像取投影反投影重建重建后圖像反投影重建算法第25頁(yè)設(shè)被測(cè)人體斷面上器官或組織吸取系數(shù)分布為，X線(xiàn)束掃描時(shí)在某一角度方向投影表達(dá)為：則在角度反投影可表達(dá)為：式中是由沿反方向進(jìn)行反投影所產(chǎn)生吸取系數(shù)，δ-函數(shù)起篩選角度作用。將上式所有角度上反投影值相加，即對(duì)應(yīng)從0變化到π所有反投影值加在一起，可得到圖像重建吸取系數(shù)分布為：第26頁(yè)投影重建算法基本內(nèi)容：“斷層平面中某一點(diǎn)密度值可看作這一平面內(nèi)所有通過(guò)該點(diǎn)射線(xiàn)投影之和（平均值）”。式中xk表達(dá)象素值，pk,i為通過(guò)象素第i條射線(xiàn)投影。能夠這樣理解：其中f(x,y,z)是身體組織密度。反投影重建算法物理概念第27頁(yè)算法舉例123456第28頁(yè)算法舉例根據(jù)反投影算法x1=p5=5 x6=p2+p3+p5=18 …平均化處理，除以投影線(xiàn)數(shù)目 xi=xi/6000005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投影重建后原像素值再除以投影線(xiàn)數(shù)，平均化斷層平面中某一點(diǎn)密度值可看作這一平面內(nèi)所有通過(guò)該點(diǎn)射線(xiàn)投影之和平均值123456第29頁(yè)星狀偽跡反投影重建后，本來(lái)為0點(diǎn)不再為0，形成偽跡00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像素值再除以投影線(xiàn)數(shù)，平均化第30頁(yè)星狀偽跡我們考慮孤立點(diǎn)源反投影重建，中心點(diǎn)A經(jīng)n條投影線(xiàn)投影后，投影值均為1： p1=p2=...=pn=1因此重建后而其他點(diǎn)均為1/n此類(lèi)偽跡成為星狀偽跡1/n1/n1/n1/n11/n1/n1/n1/n000010000第31頁(yè)星狀偽跡產(chǎn)生星狀偽跡原因在于：反投影重建本質(zhì)是把取自有限物體空間射線(xiàn)投影均勻地回抹(反投影)到射線(xiàn)所及無(wú)限空間各點(diǎn)之上，包括原先像素值為零點(diǎn)第32頁(yè)內(nèi)插第33頁(yè)內(nèi)插辦法

1.緊鄰內(nèi)插:在時(shí)，若則以中內(nèi)容直接替代。不然，用替代2.線(xiàn)形內(nèi)插：假如，則第34頁(yè)一般反投影法在反投影法中，反投影重建圖像吸取系數(shù)與實(shí)際圖像之間有關(guān)系：校正含糊失真步驟可先將fb(x，y)作二維傅里葉變換，然后將變換成果用ρ加權(quán)，則得真正圖像二維傅里葉變換式，有：在此基礎(chǔ)上再行二維傅里葉反變換，按公式獲原圖像吸取系數(shù)分布面函數(shù)f（x，y）。顯然仍需進(jìn)行二維傅里葉正、反變換，因此并未減少計(jì)算量。第35頁(yè)直接反投2DIFT2DFTXρ頻域空域一般反投影法第36頁(yè)仍需二維傅里葉變換先反投再修整第37頁(yè)濾波反投影算法清除星狀偽跡兩種辦法：取投影取投影一維濾波器反投影重建二維濾波器反投影重建輸入圖像（原圖像）輸入圖像（原圖像）輸出圖像(同原圖像)輸出圖像(同原圖像)星狀尾跡清除（b）（a）第38頁(yè)第一種辦法中二維濾波器較難實(shí)現(xiàn)。第二種辦法交換了濾波與反投影次序，此時(shí)投影數(shù)據(jù)是一維，易于實(shí)現(xiàn)。此辦法理論基礎(chǔ)仍是中心切片定理先修整再反投濾波反投影算法第39頁(yè)濾波反投影法

濾波反投影法也是解析法中一種。這種辦法為了消除含糊因子1/r影響，并將二維傅里葉變換改為只進(jìn)行一維傅里葉變換，既可校正失真，又可簡(jiǎn)化計(jì)算量，提升圖像重建速度。采取卷積計(jì)算濾波反投影法目前應(yīng)用最為廣泛，故也稱(chēng)卷積反投影法(convolutionbackprojection，CBP)。第40頁(yè)反投1DFTX│ρ│頻域空域?yàn)V波反投影法1DIFT第41頁(yè)第42頁(yè)卷積反投影法濾波反投影仍需1D傅利葉變換能否更簡(jiǎn)單？處理辦法：卷積、濾波第43頁(yè)卷積反投影法在空間域進(jìn)行濾波先濾波再反投，但不需要傅利葉變換第44頁(yè)反投XC（R）空域卷積反投影法第45頁(yè)卷積反投影法成像辦法是在后投影之前，對(duì)所有投影數(shù)據(jù)進(jìn)行卷積，使成果圖像無(wú)所謂“星月樣”暈偽影。成像過(guò)程可提成三步：首先是獲取所有投影數(shù)據(jù)并作預(yù)處理。其次是將所得數(shù)據(jù)與卷積因子相乘，其間須通過(guò)大量數(shù)學(xué)運(yùn)算，同步采取算法還須考慮圖像辨別率和噪聲等。最后，其后投影數(shù)據(jù)值中正負(fù)值互相抵消，根據(jù)系統(tǒng)顯示不一樣矩陣大小，各投影濾過(guò)原始數(shù)據(jù)被投影成像并通過(guò)監(jiān)視器顯示。第46頁(yè)要考慮問(wèn)題│ρ│不可積，其逆變換不存在需要近似函數(shù)替代其逆變換卷積函數(shù)第47頁(yè)卷積反投影重建待建圖像為a(x,y),它2D傅氏變換為:

由中心切片定理：第48頁(yè)卷積反投影重建待建圖像其中第49頁(yè)卷積反投影重建上式物理意義是： 投影通過(guò)傳遞函數(shù)為濾波器濾波后得到修正后投影在處取值。后者恰是通過(guò)給定點(diǎn)射線(xiàn)方程。第50頁(yè)卷積反投影重建可得物理意義： 通過(guò)給定點(diǎn)所有濾波后（射線(xiàn)）投影在0-范圍內(nèi)累加——反投影重建，得出點(diǎn)像素值。第51頁(yè)卷積反投影重建稱(chēng)“濾波反投影方程”，它體現(xiàn)了濾波（卷積）反投影算法三個(gè)步驟：1把在固定視角下測(cè)得投影通過(guò)濾波，得到濾波后投影；2對(duì)每一種，把反投射于滿(mǎn)足射線(xiàn)上所有各點(diǎn)；3將步驟2中反投影值對(duì)所有進(jìn)行累加（積分），得重建后圖像。第52頁(yè)第53頁(yè)濾波函數(shù)選擇為了醒目起見(jiàn)，可將式(4.39)中m作為常數(shù)，于是有：及同理，把當(dāng)作常數(shù)，由及得：

第54頁(yè)常用濾波函數(shù)舉例1.R—L濾波函數(shù)(i)系統(tǒng)函數(shù)式中，B=1/2d，且：第55頁(yè)(ii)對(duì)應(yīng)沖激響應(yīng)

第56頁(yè)(iii)采樣序列采樣間隔為d，對(duì)應(yīng)最高不失真空間頻率為1/(2d)離散形式如下：偶數(shù)奇數(shù)如將離散表達(dá)進(jìn)行線(xiàn)性?xún)?nèi)插，則得另一連續(xù)空域函數(shù)，是一次近似。

第57頁(yè)第58頁(yè)2.S—L濾波函數(shù)選用sinc函數(shù)作為窗函數(shù)。于是有：對(duì)應(yīng)沖激響應(yīng)為：第59頁(yè)如令y=4BXr，則得：第60頁(yè)采樣序列對(duì)進(jìn)行均勻采樣，得：將這一離散形式進(jìn)行線(xiàn)性?xún)?nèi)插，則得連續(xù)空域函數(shù)：第61頁(yè)第62頁(yè)對(duì)經(jīng)線(xiàn)性?xún)?nèi)插后函數(shù)進(jìn)行傅立葉變換得：用S—L濾波函數(shù)重建圖像其振蕩響應(yīng)減小，對(duì)含噪聲數(shù)據(jù)重建質(zhì)量也較R—L濾波函數(shù)情況為好，但在低頻段不及R—L濾波函數(shù)重建質(zhì)量高。第63頁(yè)卷積反投影重建第64頁(yè)濾波反投影法第65頁(yè)濾波或卷積反投影法第66頁(yè)濾波或卷積反投影法第67頁(yè)扇束投影重建算法分類(lèi)重排算法

把一種視圖中采得扇形數(shù)據(jù)重新組合成平行射線(xiàn)投影數(shù)據(jù)，然后用上一節(jié)算法重建。直接重建算法無(wú)須數(shù)據(jù)重排，只需合適加權(quán)即可利用與上一節(jié)類(lèi)似算法重建第68頁(yè)扇形射線(xiàn)型式等角射線(xiàn)型等距射線(xiàn)型第69頁(yè)等角射線(xiàn)扇束數(shù)據(jù)直接重建算法：X射線(xiàn)源：檢測(cè)器陣所在弧線(xiàn)：中心射線(xiàn)

扇形位置由該中心射線(xiàn)與y軸交角

確定，同一扇形中射線(xiàn)由

要求，射線(xiàn)絕對(duì)位置由（，）唯一確定。第70頁(yè)重建算法推導(dǎo)第71頁(yè)扇束算法第72頁(yè)平行束算法第73頁(yè)結(jié)論扇束情況下重建算法較為復(fù)雜，但實(shí)質(zhì)沒(méi)有改變?？刹扇∑叫惺闆r下算法實(shí)現(xiàn)，只需加以適本地修正即可。第74頁(yè)扇束掃描程序第75頁(yè)反投影重建實(shí)際試驗(yàn)CTsimMatlab-radon第76頁(yè)CTsim仿真CT掃描CTsim軟件是由KevinM.Rosenberg等學(xué)者編寫(xiě)開(kāi)發(fā)CT重建仿真程序，其源代碼開(kāi)放。顧客可選擇hermanhead、sheep-logan、unitpulse三種體模，進(jìn)行濾波反投影重建和福利葉變換重建。第77頁(yè)1、選擇要進(jìn)行掃描體模。打開(kāi)CTsim軟件，按file-createphantom選擇體模sheep-logan。第78頁(yè)2、對(duì)體模進(jìn)行平行線(xiàn)束（平移-旋轉(zhuǎn)式）掃描投影。按process-projections，在projectionparameter中選擇geometry-parallel,tracelevel中選擇projections，其他掃描參數(shù)使用默認(rèn)參數(shù)。軟件進(jìn)行體模掃描演示，掃描完成后，將各角度投影值按次序排列在二維平面上。第79頁(yè)第80頁(yè)3、選擇reconstruct-filteredbackprojection，在filteredbackprojectionparameter中選擇filtermethod為FFT。軟件進(jìn)行濾波反投影重建，選用濾波辦法為迅速福里葉變換，取得重建sheep-logan體模圖像。第81頁(yè)第82頁(yè)4、比較重建圖像與原體模差異。5、在tracelevel中選擇plot，反復(fù)1-3步，觀測(cè)掃描過(guò)程中，每個(gè)投影值變化。6、在projectionparameter中選擇geometry-parallel（扇形束掃描），反復(fù)1-3步，觀測(cè)掃描過(guò)程和重建影像。其掃描過(guò)程、投影圖像、重建圖像。比較投影圖像、重建圖像與平行線(xiàn)束掃描取得圖像區(qū)分。第83頁(yè)第84頁(yè)7、選用unitpulse體模，反復(fù)上述過(guò)程，觀測(cè)重建圖像中偽影。8、更換其他體模，進(jìn)行上述辦法，進(jìn)行重建，觀測(cè)重建辦法與重建圖像。第85頁(yè)MATLAB仿真第86頁(yè)迭代重建迭代重建同樣使用反投影，但不進(jìn)行濾波。辦法：反投影重建圖像，對(duì)新圖像進(jìn)行投影，將新投影與真實(shí)投影比較，進(jìn)行修正。一般用兩投影差反投來(lái)改善圖像。并進(jìn)行迭代求最佳。第87頁(yè)迭代法代數(shù)重建算法（ART）最有效、對(duì)噪聲敏感迭代最小平方技術(shù)（ILST）常用ART迭代一、兩次，然后轉(zhuǎn)入ISLT同步迭代重建算法

第88頁(yè)迭代法精確運(yùn)算量大一般迭代十次左右，而濾波反投影法只花迭代一次時(shí)間核素成像常用算法第89頁(yè)MRI重建算法在MRI設(shè)備中，傅立葉成像（fourierimaging）占主流第90頁(yè)修改勞特伯投影重建修改：脈沖NMR使用兩個(gè)梯度線(xiàn)圈投影數(shù)據(jù)進(jìn)行內(nèi)插MRI重建算法第91頁(yè)90度RF脈沖后，外加梯度場(chǎng)，梯度法線(xiàn)方向投影就是FID信號(hào)。用s（t，?）表達(dá)。要建立一種有NXN像，能夠把梯度旋轉(zhuǎn)N次，Δ

?=1800/N，對(duì)應(yīng)每個(gè)Δ

?，投影就是一種FID信號(hào)。對(duì)FID信號(hào)取樣N次就得到N個(gè)投影點(diǎn)。MRI重建算法第92頁(yè)MRI重建算法第93頁(yè)對(duì)傅立葉變換來(lái)講：CT中，R與K是一對(duì)共軛分量；MRI中，w與t是一對(duì)共軛分量。因此，用連續(xù)波NMR得到頻